일계수 다항식

대수학에서 일계수 다항식(一係數多項式, 영어: monic polynomial 모닉 폴리노미얼^[*])은 최고차 항의 계수가 1인 다항식이다. 이들의 집합은 곱셈에 대하여 모노이드를 이루며, 인자(因子) 관계에 대하여 부분 순서 집합을 이룬다.

정의

가환환 $K$ 계수의 다항식환 $K[x]$의 원소

$p=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}\in K[x]\qquad (a_{0},a_{1},\dotsc ,a_{n}\in K)$

를 생각하자. 만약 $a_{n}=1$이라면, 다항식 $p$를 일계수 다항식이라고 한다.

예외적으로, 다항식 $p=0$은 일계수 다항식으로 간주하지 않는다.

일계수 다항식들의 부분 집합을 $\operatorname {Monic} (K[x])$로 표기하자.

성질

곱셈에 대한 닫힘

유한 개의 일계수 다항식들의 곱은 일계수 다항식이다. 즉, 가환환 $K$ 계수의 다항식환 $K[x]$ 속에서, 일계수 다항식들의 집합 $\operatorname {Monic} (K[x])\subseteq K[x]$은 곱셈에 대한 가환 모노이드를 이룬다.

반면, 일계수 다항식들은 일반적으로 덧셈에 대하여 닫혀 있지 않다.

부분 순서

가환환 $K$에 대하여, $(\operatorname {Monic} (K[x]),\mid )$는 다음과 같이 부분 순서 집합을 이룬다. 여기서 $p\mid q$는

$q(x)=p(x)r(x)$

가 되는 다항식 $r\in K[x]$이 존재함을 뜻한다.

(반면, 일계수 다항식 조건을 생략한다면, $(K[x],\mid )$는 일반적으로 원순서 집합이지만 부분 순서 집합이 아닐 수 있다. 예를 들어, 임의의 가역원 $a\in K^{\times }$에 대하여 $1\mid a\mid 1$이지만 $1\neq a$일 수 있다.)

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Monic polynomial”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Monic polynomial”. 《nLab》 (영어).