순서론 에서 원순서 집합 (原順序集合, 영어 : preordered set, proset )은 그 속의 두 원소를 추이적 으로 비교할 수 있는 집합 이다. 부분 순서 집합 과, 동치 관계 를 갖는 집합의 공통적인 일반화이다. 어떤 집합의 몫집합 위의 부분 순서로도 생각할 수 있다.
원순서 집합 의 개념은 다음과 같이 세 가지로 정의할 수 있으며, 이들은 서로 동치 이다.
집합
X
{\displaystyle X}
원순서 는 다음 조건들을 만족시키는 이항 관계
≲
⊆
X
2
{\displaystyle {\lesssim }\subseteq X^{2}}
(반사성) 임의의
a
∈
X
{\displaystyle a\in X}
a
≲
a
{\displaystyle a\lesssim a}
(추이성 ) 임의의
a
,
b
,
c
∈
X
{\displaystyle a,b,c\in X}
a
≲
b
≲
c
{\displaystyle a\lesssim b\lesssim c}
a
≲
c
{\displaystyle a\lesssim c}
원순서를 갖춘 집합을 원순서 집합 (영어 : preordered set , proset )이라고 한다. 이 정의에 반대칭성(
a
≲
b
∧
b
≲
a
⟹
a
=
b
{\displaystyle a\lesssim b\land b\lesssim a\implies a=b}
부분 순서 를 얻는다.
얇은 범주 (-範疇, 영어 : thin category )
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
범주 이다.
임의의 두 대상
X
,
Y
∈
C
{\displaystyle X,Y\in {\mathcal {C}}}
f
,
g
:
X
→
Y
{\displaystyle f,g\colon X\to Y}
f
=
g
{\displaystyle f=g}
hom
C
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)}
한원소 집합 이거나 공집합 이다. 범주론 적으로, 원순서 집합 은 얇은 작은 범주 이다. 구체적으로, 원순서 집합
(
X
,
≲
)
{\displaystyle (X,\lesssim )}
범주 로 여길 수 있다.
(
X
,
≲
)
{\displaystyle (X,\lesssim )}
X
{\displaystyle X}
(
X
,
≲
)
{\displaystyle (X,\lesssim )}
사상 은
a
≲
b
{\displaystyle a\lesssim b}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
hom
(
a
,
b
)
=
{
{
(
a
,
b
)
}
a
≲
b
∅
a
≴
b
{\displaystyle \hom(a,b)={\begin{cases}\{(a,b)\}&a\lesssim b\\\varnothing &a\not \lesssim b\end{cases}}}
알렉산드로프 공간 (Александров空間, 영어 : Alexandrov space )은 임의의 열린집합 들의 (유한 또는 무한) 족의 교집합 이 열린집합 인 위상 공간 이다.
알렉산드로프 공간의 개념은 원순서 집합의 개념과 동치 이다. 구체적으로, 임의의 위상 공간
X
{\displaystyle X}
x
≲
y
⟺
x
∈
cl
{
y
}
{\displaystyle x\lesssim y\iff x\in \operatorname {cl} \{y\}}
여기서
cl
{
y
}
{\displaystyle \operatorname {cl} \{y\}}
한원소 집합 의 폐포 이다. 반대로, 임의의 원순서 집합
(
X
,
≲
)
{\displaystyle (X,\lesssim )}
상집합 을 열린집합 으로, 하집합 을 닫힌집합 으로 하는 위상 을 부여할 수 있으며, 이렇게 하여 얻는 위상 공간은 항상 알렉산드로프 공간이다. 사실, 이러한 대응 관계는 원순서 집합과 순서 보존 함수 의 범주
Proset
{\displaystyle \operatorname {Proset} }
연속 함수 의 범주
Top
{\displaystyle \operatorname {Top} }
수반 함자
Proset
⇆
Top
{\displaystyle \operatorname {Proset} \leftrightarrows \operatorname {Top} }
를 이루며,
Top
{\displaystyle \operatorname {Top} }
원순서 집합
(
X
,
≲
)
{\displaystyle (X,\lesssim )}
X
{\displaystyle X}
동치 관계 를 정의하자.
a
∼
b
⟺
def
a
≲
b
∧
b
≲
a
{\displaystyle a\sim b{\stackrel {\text{def}}{\iff }}a\lesssim b\land b\lesssim a}
이에 따른 몫집합
X
/
∼
{\displaystyle X/{\sim }}
≲
{\displaystyle \lesssim }
부분 순서 를 정의한다. 반대로, 어떤 집합
X
{\displaystyle X}
몫집합 위에 부분 순서가 주어졌다면, 이는
X
{\displaystyle X}
크기가
n
{\displaystyle n}
유한 집합 위의 가능한 원순서의 수는 다음과 같다 (
n
=
0
,
1
,
2
,
…
{\displaystyle n=0,1,2,\dots }
1, 1, 4, 29, 355, 6942, 209527, 9535241, 642779354, (OEIS 의 수열 A798 ) 유한 집합 위의 위상 들과 원순서들 사이에는 표준적인 일대일 대응 이 존재한다. 구체적으로, 위상
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
열린집합 들의 집합)가 주어졌다면,
a
≲
b
⟺
def
(
∀
U
∈
T
:
b
∈
U
⟹
a
∈
U
)
{\displaystyle a\lesssim b{\stackrel {\text{def}}{\iff }}\left(\forall U\in {\mathcal {T}}\colon b\in U\implies a\in U\right)}
와 같이 원순서를 정의할 수 있다. 반대로, 원순서
≲
{\displaystyle \lesssim }
{
{
a
:
a
≲
b
}
:
b
}
{\displaystyle \{\{a\colon a\lesssim b\}\colon b\}}
를 기저 로 하는 위상을 정의할 수 있다.
범주
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
X
∈
C
{\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}
Mono
(
C
)
/
X
{\displaystyle \operatorname {Mono} ({\mathcal {C}})/X}
Mono
(
C
)
/
X
{\displaystyle \operatorname {Mono} ({\mathcal {C}})/X}
공역 이
X
{\displaystyle X}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
단사 사상
m
:
Y
↪
X
{\displaystyle m\colon Y\hookrightarrow X}
Mono
(
C
)
/
X
{\displaystyle \operatorname {Mono} ({\mathcal {C}})/X}
ι
∈
hom
C
(
Y
,
X
)
{\displaystyle \iota \in \hom _{\mathcal {C}}(Y,X)}
ι
′
∈
hom
C
(
Y
′
,
X
)
{\displaystyle \iota '\in \hom _{\mathcal {C}}(Y',X)}
f
:
ι
→
ι
′
{\displaystyle f\colon \iota \to \iota '}
ι
=
ι
′
∘
f
{\displaystyle \iota =\iota '\circ f}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
f
:
Y
→
Y
′
{\displaystyle f\colon Y\to Y'}
그렇다면,
Mono
(
C
)
/
X
{\displaystyle \operatorname {Mono} ({\mathcal {C}})/X}
단사 사상 의 정의에 따라) 얇은 범주이다. 이에 대응하는 부분 순서 모임은
X
{\displaystyle X}
부분 대상 들의 모임
Sub
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Sub} (X)}
마찬가지로, 범주
X
∖
Epi
(
C
)
{\displaystyle X\backslash \operatorname {Epi} ({\mathcal {C}})}
X
∖
Epi
(
C
)
{\displaystyle X\backslash \operatorname {Epi} ({\mathcal {C}})}
정의역 이
X
{\displaystyle X}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
전사 사상
π
:
X
↠
Y
{\displaystyle \pi \colon X\twoheadrightarrow Y}
X
∖
Epi
(
C
)
{\displaystyle X\backslash \operatorname {Epi} ({\mathcal {C}})}
π
∈
hom
C
(
X
,
Y
)
{\displaystyle \pi \in \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)}
π
′
∈
hom
C
(
X
,
Y
′
)
{\displaystyle \pi '\in \hom _{\mathcal {C}}(X,Y')}
f
:
π
→
π
′
{\displaystyle f\colon \pi \to \pi '}
f
∘
π
=
π
′
{\displaystyle f\circ \pi =\pi '}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
f
:
Y
→
Y
′
{\displaystyle f\colon Y\to Y'}
그렇다면,
X
∖
Epi
(
C
)
{\displaystyle X\backslash \operatorname {Epi} ({\mathcal {C}})}
전사 사상 의 정의에 따라) 얇은 범주이다. 이에 대응하는 부분 순서 모임은
X
{\displaystyle X}
몫 대상 들의 모임
Quot
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Quot} (X)}
