가역행렬

선형대수학에서 가역 행렬(可逆行列, 영어: invertible matrix) 또는 정칙 행렬(正則行列, 영어: regular matrix) 또는 비특이 행렬(非特異行列, 영어: non-singular matrix)은 그와 곱한 결과가 단위 행렬인 행렬을 갖는 행렬이다. 이를 그 행렬의 역행렬(逆行列, 영어: inverse matrix)이라고 한다.

정의

체 $K$ 위에서 정의된 $n\times n$ 행렬 $A,B$ 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다. 이 조건이 성립할 경우 $B$ 를 $A$ 의 역행렬이라고 하며, $B$ 를 $A^{-1}$ 와 같이 표기한다.

$AB=I_{n}$
$BA=I_{n}$
$AB=BA=I_{n}$

체 $K$ 위에서 정의된 $n\times n$ 행렬 $A$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $A$ 를 가역 행렬이라고 한다.

역행렬을 갖는다.
유일한 역행렬을 갖는다.
유한 개의 기본 행렬의 곱이다.
단위 행렬과 행동치이다.
단위 행렬과 열동치이다.
단위 행렬과 동치이다.
방정식 $Ax=0$ 의 해는 $x=\mathbf {0}$ 뿐이다. 즉 $\ker A=\left\{\mathbf {0} \right\}$ 이다.
방정식 $Ax=b$ 의 해는 $b$ 의 값과 무관하게 항상 유일하다.
$A$ 의 열이 $K^{n}$ 의 기저를 이룬다.
$\det A\neq 0$ (여기서 $\det$ 는 행렬식이다.)
$\operatorname {rank} A=n$ (여기서 $\operatorname {rank}$ 는 계수이다.)
$\operatorname {null} A=0$ (여기서 $\operatorname {null} A:=\dim {\ker A}$ 이다.)
0을 고윳값으로 가지지 않는다.

성질

전치 행렬과의 관계

체 $K$ 위에서 정의된 $n\times n$ 행렬 $A$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

$A$ 는 가역 행렬이다.
$A^{\operatorname {T} }$ 는 가역 행렬이다.
$AA^{\operatorname {T} }$ 는 가역 행렬이다.

항등식

체 $K$ 위에서 정의된 $n\times n$ 행렬 $A,B$ 에 및 스칼라 $k\in K$ 에 대하여, 다음과 같은 항등식들이 성립한다.

$(A^{-1})^{-1}=A$
$(kA)^{-1}=k^{-1}A^{-1}$
$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

즉, 체 $K$ 위의 $n\times n$ 가역 행렬의 집합은 군을 이루며, 이를 일반선형군 $\operatorname {GL} (n;K)$ 이라고 한다. 또한, 역행렬은 일반선형군의 자기 반대 동형을 정의한다.

계산

가우스 소거법

가우스 소거법은 어떤 행렬이 가역행렬인지를 판단하고 그 행렬의 역행렬을 구할 수 있는 알고리즘이다. LU 분해를 이용해 두 개의 삼각행렬로 분해하면 가우스 소거법을 더 빨리 계산할 수 있다. 또는 $mn\times mn$ 행렬을 $n\times n$ 을 원소로 갖는 $m\times m$ 행렬로 나누어 재귀적으로 계산하면 행렬의 특성에 따라 더 빠른 계산이 가능하다.

수치해석적 방법

행렬의 공통인자로 이루어진 행렬을 구해 계산하면 작은 크기의 행렬에 대해서는 더 빨리 계산할 수도 있다. (큰 행렬에 대해서는 적당치 않을수있다) 다음과 같이 공통인자 행렬을 구한다.

A^{-1}={1 \over {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}\left(C_{ij}\right)^{T}={1 \over {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}{\begin{pmatrix}C_{11}&C_{21}&\cdots &C_{j1}\\C_{12}&\ddots &&C_{j2}\\\vdots &&\ddots &\vdots \\C_{1i}&\cdots &\cdots &C_{ji}\\\end{pmatrix}}

여기서

i+j

가 홀수일 때 이고(

C_{ji}=-M_{ji}

)

i+j

가 짝수일 때 (

C_{ji}=M_{ji}

)이다. 즉,

C_{ji}=(-1)^{i+j}M_{ji}

이다.

여기서 $|A|$ 는 $A$ 의 행렬식을 가리키고 $C_{ij}$ 는 행렬의 공통인자, $M_{ij}$ 는 행렬의 소행렬식, $A^{T}$ 는 $A$ 의 전치행렬을 가리킨다.

수치 해석에서 대부분의 경우 선형 시스템을 풀기 위해 역행렬을 구할 필요는 없기 때문에 이 방법으로 실제로 역행렬을 구하는 경우는 별로 없다.

2 × 2 행렬의 역행렬

위의 공통인자 방정식에서 $n$ 이 2일 경우 다음과 같은 식을 유도할 수 있다.

A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\\\end{bmatrix}}

2 × 2 행렬의 역행렬은 위 방법을 통해 빠르게 계산할 수 있다.

3 × 3 행렬의 역행렬

위의 공통인자 방정식에서 $n$ 이 3일 경우 다음과 같은 식을 유도할 수 있다.

A^{-1}={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{|A|}}{\begin{bmatrix}ei-fh&-(bi-ch)&bf-ce\\-(di-fg)&ai-cg&-(af-cd)\\dh-eg&-(ah-bg)&ae-bd\end{bmatrix}}={\frac {1}{|A|}}{\begin{bmatrix}ei-fh&ch-bi&bf-ce\\fg-di&ai-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\end{bmatrix}}

|A|=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)=-d(bi-ch)+e(ai-cg)-f(ah-bg)=g(bf-ce)-h(af-cd)+i(ae-bd)\

작은 블록으로 나눠서 계산하는 법

다음과 같은 식을 이용하면 행렬을 몇 개의 작은 블록 행렬로 나누어 계산할 수 있다.

{\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}\\-(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&(D-CA^{-1}B)^{-1}\end{bmatrix}}

$A,B,C,D$ 는 행렬의 임의의 작은 블록이다. 이 방법은 $A$ 가 대각행렬이고 $A$ 의 슈어 보수행렬 $(D-CA^{-1}B)$ 이 작은 크기일 때 특히 유용하다. 두 개의 행렬에 대한 역행렬만 계산하면 되기 때문이다. 이 방법은 행렬을 더 빠르게 곱하는 슈트라센 알고리즘의 개발자 포커 슈트라센이 발견했다.