사다리꼴행렬

행사다리꼴행렬(Row Echelon Form matrix, 약자 REF)이라고도 불리는 사다리꼴행렬(echelon form matrix)은 가우스 소거법 및 가우스 조단 소거법 알고리즘을 통해서 알 수 있듯이, 모든 성립하는 연립방정식으로부터 첨가 행렬의 과정을 거쳐 해를 갖는 행사다리꼴행렬(REF) 또는 기약행 사다리꼴행렬(Reduced Row Echelon Form,약자 RREF)로 변환할 수 있다.

이것은, 선형 대수학에서 행렬이 가우스 소거법으로 인해 사다리꼴(에쉴론,echelon) 형태의 모양을 갖는다는 것을 의미한다.

사다리꼴 행렬(Echelon form matrix)은 가우스 소거법이 행과 열에 대해 작동한다는 것을 의미한다. 바꾸어 말하면 행렬이 행의 형태로 다루어지는 경우 행 사다리꼴 형태의 행렬 모양을 갖게 됨으로써 이처럼 일반적으로 행에 대한 사다리꼴 행렬이 고려되지만 여전히 열 사다리꼴 행렬(column echelon form matrix)의 동등한 성질은 행사다리꼴형식의 모든 성질을 전치시킴으로써 얻어낼 수도 있다.

또한, 연립방정식의 풀이가 행렬식의 과정을 통해서 행사다리꼴행렬 및 기약행사다리꼴행렬에 대한 풀이로 귀결될 수 있다면 데카르트 좌표평면상의 경우를 포함해서 수식에 의한 (대수적) 연립방정식보다 상대적으로 쉽고 빠른 결과에 대한 정보를 얻을 수 있게되는데, 이러한 사다리꼴행렬 변환처리는 오늘날 컴퓨터에 의한 그래픽처리 등에 있어서 헤밀턴의 사원수와 함께 주요한 이슈이다.

사다리꼴행렬은 삼각행렬의 특수한 경우이다.

조건

행렬, 특히 행사다리꼴행렬(REF)에서,

• 모든 $0$이 아닌 행(적어도 하나의 $0$이 아닌 요소가 있는 행)은 모두$0$인 행 위에 있는다. (따라서, 모두$0$인 행이 있는 경우 그 행은 모두 행렬의 맨 아래에 있게 된다)
• 모든 $0$이 아닌 행의 선행 계수(최고차 계수)는 항상 그 위 행의 선행 계수의 오른쪽에 있다. (일부 문헌에서는 선행 계수를 $1$로 표기하기도 한다 )

이 두 조건은 선행 계수 아래의 열에 있는 모든 항이$0$임을 의미한다.

• 기약행 사다리꼴 행렬(RREF)의 조건

행사다리꼴행렬(REF)의 두 조건을 모두 만족하고 다음의 조건을 만족할 때 기약행 사다리꼴행렬이라고 한다.

${\color {black}{\rightarrow }}$ 선행 계수 $1$이 존재하는 열에서 그 선행 계수 $1$ 이외의 열의 배열원소가 모두$0$인 경우이다.

이러한 행렬식의 과정에서, 행렬의 많은 속성은 행 및 커널(Kernel)과 같은 행 단위 형식으로부터 추론할 수 있다.

사다리꼴행렬의 형태의 예

• 행사다리꼴행렬

$\left[{\begin{array}{ccccc}x&x&x&x\\0&x&x&x\\0&0&x&x\end{array}}\right]$

$\left[{\begin{array}{ccccc}x&x&x&x&x\\0&0&x&x&x\\0&0&0&x&x\end{array}}\right]$

$\left[{\begin{array}{ccccc}x&x&x&x&x&x\\0&0&x&x&x&x\\0&0&0&0&x&x\end{array}}\right]$

$\left[{\begin{array}{ccccc}0&0\\0&0\end{array}}\right]$

$\left[{\begin{array}{ccccc}x&x&0&x&0&x\\0&0&1&x&0&x\\0&0&0&0&1&x\end{array}}\right]$

• 기약행사다리꼴행렬

$\left[{\begin{array}{ccccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right]$

행 사다리꼴행렬변환

$M={\begin{pmatrix}2&1&1&5\\4&-6&0&-2\\-2&7&2&9\end{pmatrix}}$

첫째 열을 사다리꼴로 변형시키기 위해 첫째 행을 이용하여 나머지 행들을 계산한다.

$M={\begin{pmatrix}{\color {blue}{2}}&{\color {blue}{1}}&{\color {blue}{1}}&{\color {blue}{5}}\\4-({\color {red}{2}}\times {\color {blue}{2}})&-6-({\color {red}{2}}\times {\color {blue}{1}})&0-({\color {red}{2}}\times {\color {blue}{1}})&-2-({\color {red}{2}}\times {\color {blue}{5}})\\-2&7&2&9\end{pmatrix}}$

$M={\begin{pmatrix}2&1&1&5\\0&-8&-2&-12\\-2&7&2&9\end{pmatrix}}$

$M={\begin{pmatrix}{\color {blue}{2}}&{\color {blue}{1}}&{\color {blue}{1}}&{\color {blue}{5}}\\0&-8&-2&-12\\-2-({\color {red}{-1}}\times {\color {blue}{2}})&7-({\color {red}{-1}}\times {\color {blue}{1}})&2-({\color {red}{-1}}\times {\color {blue}{1}})&9-({\color {red}{-1}}\times {\color {blue}{5}})\end{pmatrix}}$

$M={\begin{pmatrix}2&1&1&5\\0&-8&-2&-12\\0&8&3&14\end{pmatrix}}$

둘째 열을 사다리꼴로 변형하기 위해 둘째 행을 이용하여 마지막 행을 계산한다.

$M={\begin{pmatrix}2&1&1&5\\{\color {blue}{0}}&{\color {blue}{-8}}&{\color {blue}{-2}}&{\color {blue}{-12}}\\0-({\color {red}{-1}}\times {\color {blue}{0}})&8-({\color {red}{-1}}\times {\color {blue}{-8}})&3-({\color {red}{-1}}\times {\color {blue}{-2}})&14-({\color {red}{-1}}\times {\color {blue}{-12}})\end{pmatrix}}$

$M={\begin{pmatrix}2&1&1&5\\0&-8&-2&-12\\0&0&1&2\end{pmatrix}}$

이렇게 사다리꼴행렬을 얻을 수 있다.

다음처럼 사다리꼴행렬을 얻을 수도 있다.

${\begin{pmatrix}2&1&1&5\\4&-6&0&-2\\-2&7&2&9\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}{\color {blue}{2}}&{\color {blue}{1}}&{\color {blue}{1}}&{\color {blue}{5}}\\4+({\color {red}{-2}}\times {\color {blue}{2}})&-6+({\color {red}{-2}}\times {\color {blue}{1}})&0+({\color {red}{-2}}\times {\color {blue}{1}})&-2+({\color {red}{-2}}\times {\color {blue}{5}})\\-2&7&2&9\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}2&1&1&5\\0&-8&-2&-12\\-2&7&2&9\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}{\color {blue}{2}}&{\color {blue}{1}}&{\color {blue}{1}}&{\color {blue}{5}}\\0&-8&-2&-12\\-2+({\color {red}{1}}\times {\color {blue}{2}})&7+({\color {red}{1}}\times {\color {blue}{1}})&2+({\color {red}{1}}\times {\color {blue}{1}})&9+({\color {red}{1}}\times {\color {blue}{5}})\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}2&1&1&5\\0&-8&-2&-12\\0&8&3&14\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}2&1&1&5\\{\color {blue}{0}}&{\color {blue}{-8}}&{\color {blue}{-2}}&{\color {blue}{-12}}\\0+({\color {red}{1}}\times {\color {blue}{0}})&8+({\color {red}{1}}\times {\color {blue}{-8}})&3+({\color {red}{1}}\times {\color {blue}{-2}})&14+({\color {red}{1}}\times {\color {blue}{-12}})\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}2&1&1&5\\0&-8&-2&-12\\0&0&1&2\end{pmatrix}}$

이렇게도 같은 사다리꼴행렬을 얻을 수 있다.

사다리꼴행렬의 성질

가우스 소거법을 사용해서, 다음과 같은 행렬 $M$의 단위행렬 $I$을 첨가 행렬로 계산하면, 역행렬 $M^{-1}$를 얻을 수 있다.

$M={\begin{pmatrix}-1&1&2\\3&-1&1\\-1&3&4\end{pmatrix}}$

기본행연산을 가하면, 다음과 같다.

${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}\ M&\vert &I\end{pmatrix}}&\to \left(\left.{\begin{matrix}-1&1&2\\3&-1&1\\-1&3&4\\\end{matrix}}\ \ \right|\ \ {\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}}\right)\\&\to \left(\left.{\begin{matrix}-1&1&2\\0&2&7\\0&2&2\\\end{matrix}}\right|{\begin{matrix}1&0&0\\3&1&0\\-1&0&1\\\end{matrix}}\right)\\&\to \left(\left.{\begin{matrix}-1&1&2\\0&2&7\\0&0&-5\\\end{matrix}}\right|{\begin{matrix}1&0&0\\3&1&0\\-4&-1&1\\\end{matrix}}\right)\\&\to \left(\left.{\begin{matrix}1&-1&-2\\0&1&3.5\\0&0&1\\\end{matrix}}\right|{\begin{matrix}-1&0&0\\1.5&0.5&0\\0.8&0.2&-0.2\\\end{matrix}}\right)\\&\to \left(\left.{\begin{matrix}1&-1&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}}\ \ \right|\ \ {\begin{matrix}0.6&0.4&-0.4\\-1.3&-0.2&0.7\\0.8&0.2&-0.2\\\end{matrix}}\right)\\&\to \left(\left.{\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}}\ \ \right|\ \ {\begin{matrix}-0.7&0.2&0.3\\-1.3&-0.2&0.7\\0.8&0.2&-0.2\\\end{matrix}}\right)\end{aligned}}$

따라서 $M^{-1}$은 다음과 같다.

$M^{-1}={\begin{pmatrix}-0.7&0.2&0.3\\-1.3&-0.2&0.7\\0.8&0.2&-0.2\end{pmatrix}}$

역사

16세기와 17세기 이후 들어 가우스가 제안한 연립방정식 행렬의 삼각행렬로의 변형을 위한 행사다리꼴행렬인 가우스 소거법에 대하여 1888년 조르단은 좀더 강한 변형법으로 가우스-조르단 소거법인 기약행사다리꼴행렬을 제안한 것으로 잘 알려져있지만 프랑스의 동시대의 수학자 클라센(Clasen) 역시 같은 해에 발표한 이와 관련한 자료를 그의 논문에서 볼 수 있다. 조르단과는 독립적으로 기약행사다리꼴행렬을 연구하여 발표한 것으로 여겨진다.

이러한 행렬식(determinant)들은 행,열 및 커널(Kernel)과 같은 행열단위 형식인 배열원소들을 통해서 행렬(matrix)의 많은 속성을 보여줌으로써 순수한 행렬 개념을 정립하는데 많은 기여를 하였다.

같이 보기

• 크래머 공식
• 벡터 공간
• LU 분해
• QR 분해
• 밴드 행렬