더시터르 공간

일반 상대성 이론과 미분기하학에서 더시터르 공간(de Sitter空間, 영어: de Sitter space)은 로런츠 다양체의 하나다. 양의 우주 상수를 가지는 아인슈타인 방정식의 진공 해이며, 암흑 에너지밖에 없는 진공을 나타낸다. n차원 더시터르 공간의 기호는 dS_n.

우리가 살고 있는 우주는 현재 대부분(69%) 암흑 에너지로 차 있다 (ΛCDM 모형). 따라서, 우리 우주는 더시터르 공간으로 근사할 수 있다.

최근에는, 본래 특수 상대성 이론의 골자로서 민코프스키 공간이 이용된 것을, 이 더시터르 공간을 새로이 이용해서 더시터르 상대성이라는 형식을 세우는 것이 일각에서 고려되고 있다.

역사

1917년에 빌럼 더시터르와 툴리오 레비치비타 가 독자적으로 발견하였다.

정의

n차원 더시터르 공간은 n+1차원 민코프스키 공간의 부분공간으로 정의할 수 있다. n+1차원 민코프스키 공간 $\mathbb {R} ^{1,n}$의 다음과 같은 직교좌표계를 생각하자.

$ds^{2}=-dx_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}dx_{i}^{2}.$

더시터르 공간은 다음 식을 만족하는 쌍곡면으로 표현되는 부분다양체이다.

$-x_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}=\alpha ^{2}$

여기서 $\alpha$는 길이의 차원을 가지는 양의 상수이며, 더시터르 반지름(영어: de Sitter radius)이라고 한다. 더시터르 공간의 계량 텐서는 고차원 민코프스키 공간에서 유도되는 계량 텐서(induced metric)이며, 이 계량이 로런츠 계량 부호수를 가지고 있다는 사실을 보일 수 있다. (만약 위의 정의에서 $\alpha ^{2}$ 을 $-\alpha ^{2}$으로 대치하면 두 장의 쌍곡면을 얻는다. 이 경우 유도 계량은 양의 정부호이며, 각각의 쌍곡면들은 n차원 쌍곡면 공간을 이룬다.)

성질

기하학적 성질

더시터르 공간은 동차공간

$\operatorname {dS} _{n}=O(1,n)/O(1,n-1)$

으로 나타낼 수 있다. 여기서 O(p,q)는 임의의 계량 부호수에 대한 직교군이다.

더시터르 공간의 등거리변환군은 O(1,n) 로런츠 군이다. 그러므로 계랑은 n(n+1)/2 개의 독립적인 킬링 벡터를 가지며, 최대대칭공간(영어: maximally symmetric space)이다. 모든 최대 대칭 공간은 일정한 곡률을 갖는다. 더시터르 공간의 리만 곡률 텐서는 다음과 같다.

$R_{\rho \sigma \mu \nu }={1 \over \alpha ^{2}}(g_{\rho \mu }g_{\sigma \nu }-g_{\rho \nu }g_{\sigma \mu })$

리치 곡률이 계량에 비례하므로, 더시터르 공간은 아인슈타인 다양체이다.

$R_{\mu \nu }={\frac {n-1}{\alpha ^{2}}}g_{\mu \nu }$

따라서, 더시터르 공간은 다음과 같은 우주 상수 $\Lambda$를 갖는, 아인슈타인 방정식의 진공해이다.

$\Lambda ={\frac {(n-1)(n-2)}{2\alpha ^{2}}}.$

더시터르 공간의 스칼라 곡률은 다음과 같다.

$R={\frac {n(n-1)}{\alpha ^{2}}}={\frac {2n}{n-2}}\Lambda .$

4차원 더시터르 공간의 경우 $\Lambda =3/\alpha ^{2}$, $R=4\Lambda =12/\alpha ^{2}$이다.

위상수학적 성질

n차원 더시터르 공간은 $S^{n-1}\times \mathbb {R}$과 위상동형이다. 따라서 2차원이 아닌 더시터르 공간은 단일 연결 공간이다. (2차원 더시터르 공간은 물론 기본군 $\mathbb {Z}$를 가진다.)

펜로즈 그림

더시터르 공간의 펜로즈 그림. 좌변은 공간의 북극, 우변은 공간의 남극을 나타낸다. 윗변은 무한 미래, 아랫변은 무한 과거를 나타낸다.

더시터르 공간의 펜로즈 그림은 정사각형이다. 더시터르 공간의 경우 위상학적으로 $S^{n-1}\times \mathbb {R}$이므로, 정사각형 내부의 각 점은 $S^{n-2}$에 대응한다. 정사각형의 좌변과 우변은 $S^{n-1}$의 남극과 북극을 나타내므로, 좌변과 우변에서의 각 점은 실제 하나의 점에 대응한다. 정사각형의 윗변과 아랫변은 더시터르 공간의 각각 무한한 미래와 과거를 나타내고, 더시터르 공간의 실재하는 점에 대응하지 않는다.

좌표계

더시터르 공간에는 다양한 좌표계들이 존재한다. 그 중 흔히 쓰이는 것들은 다음과 같다.

정적 좌표계

정적 좌표계(靜的座標系, 영어: static coordinate system)로서 $(t,r,\ldots )$ 을 다음과 같이 놓을 수 있다.

$x_{0}={\sqrt {\alpha ^{2}-r^{2}}}\sinh(t/\alpha )$

$x_{1}={\sqrt {\alpha ^{2}-r^{2}}}\cosh(t/\alpha )$

$x_{i}=rz_{i}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 2\leq i\leq n.$

여기서 $z_{i}$은 Rⁿ⁻¹ 안에서의 표준 매장으로서의 (n−2)차원 구면을 나타낸다. 이들 좌표를 가지고, 더시터르 계랑을 다음과 같이 기술할 수 있다.

$ds^{2}=-\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)dt^{2}+\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega _{n-2}^{2}.$

여기서 $r=\alpha$에 사건 지평선이 존재한다. 이를 우주론적 지평선(宇宙論的地平線, 영어: cosmological horizon)이라고 하며, 지평선 안을 관측 가능한 우주(영어: observable universe)라고 한다.

FLRW 좌표계

더시터르 공간은 FLRW 해의 한 종류이며, 공간의 곡률이 +1, 0, 또는 −1인 엽층을 줄 수 있다.

n차원 FLRW 계량은

$ds^{2}=-dt^{2}+a(t)^{2}d\Sigma ^{2}$

이며, 여기서

$d\Sigma ^{2}=d\Omega _{n-1}^{2}$ (n−1차원 초구 계량, $k=+1$인 경우)

$d\Sigma ^{2}=dr^{2}+r^{2}d\Omega _{n-2}^{2}$ (n−1차원 유클리드 공간 계량, $k=0$인 경우)

$d\Sigma ^{2}=dr^{2}+(\sinh ^{2}r)d\Omega _{n-2}^{2}$ (n−1차원 쌍곡공간 계량, $k=-1$인 경우)

이다. 척도인자 $a(t)$는 다음과 같다.

$a(t)=\alpha \cosh(t/\alpha )$ ($k=+1$)

$a(t)=\exp(t/\alpha )$ ($k=0$)

$a(t)=\alpha \sinh(t/\alpha )$ ($k=-1$)

열역학

더시터르 공간은 (반 더시터르 공간과 달리) 우주론적 지평선(cosmological horizon)을 가진다. 이에 따라, 더시터르 공간은 블랙홀과 마찬가지로 유한한 온도와 엔트로피를 가지게 된다.

더시터르 공간에서의 진공 상태는 번치-데이비스 진공(영어: Bunch–Davies vacuum)이라고 불리는 상태이며, 그 온도는

$T={\frac {\hbar }{k_{B}2\pi \alpha }}$

이다. 또한, 더시터르 공간의 지평선의 넓이

$A=\operatorname {vol} (S^{n-2})\alpha ^{n-2}$

는 유한하다. (여기서 $\operatorname {vol} (S^{n-2})$는 반지름이 1인 $n-2$차원 초구의 넓이다.) 따라서 블랙홀 열역학과 유사하게 엔트로피

$S={\frac {k_{B}c^{3}A}{4\hbar G}}={\frac {k_{B}c^{3}\operatorname {vol} (S^{n-2})\alpha ^{n-2}}{4\hbar G}}$

를 계산할 수 있다.

각주

• Moschella, Ugo (2006). 〈The de Sitter and anti-de Sitter sightseeing tour〉. 《Einstein, 1905–2005. Poincaré Seminar 2005》 (영어). Progress in Mathematical Physics 47. Springer. 120–133쪽. doi:10.1007/3-7643-7436-5_4. ISBN 978-3-7643-7435-8. 
• Bousso, Raphael (2003년 10월). 〈Adventures in de Sitter space〉. 《The future of theoretical physics and cosmology: Celebrating Stephen Hawking's Contributions to Physics》 (영어). Cambridge: Cambridge University Press. 539–569쪽. arXiv:hep-th/0205177. Bibcode:2003ftpc.book..539B. ISBN 978-052182081-3. 
• Kim, Yoonbai; Chae Young Oh, Namil Park (2002). “Classical geometry of de Sitter spacetime: an introductory review” (영어). arXiv:hep-th/0212326. Bibcode:2002hep.th...12326K. 
• Klemm, Dietmar; Luciano Vanzo (2004년 11월). “Aspects of quantum gravity in de Sitter spaces”. 《Journal of Cosmology and Astroparticle Physics》 (영어) (Institute of Physics Publishing, Scuola Internazionale Superiore di Studi Avanzati) 2004 (11): 6. arXiv:hep-th/0407255. Bibcode:2004JCAP...11..006K. doi:10.1088/1475-7516/2004/11/006. ISSN 1475-7516. 
• Anninos, Dionysios (2012년 5월 20일). “De Sitter musings”. 《International Journal of Modern Physics A》 (영어) 27 (13): 1230013. arXiv:1205.3855. Bibcode:2012IJMPA..2730013A. doi:10.1142/S0217751X1230013X. ISSN 0217-751X. 

외부 링크

• “De Sitter space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Trodden, Mark (2012년 4월 15일). “De Sitter space and cosmology”. 《Cosmic Variance》 (영어). Discover Magazine. 2014년 9월 3일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 8월 28일에 확인함. 

같이 보기

• 반 더시터르 공간
• dS/CFT 대응성
• 더시터르-슈바르트실트 우주
• 쌍곡면