다음 데이터가 주어졌다고 하자.
리만 다양체
(
M
,
g
)
{\displaystyle (M,g)}
매끄러운 벡터 다발
E
↠
M
{\displaystyle E\twoheadrightarrow M}
E
{\displaystyle E}
위의 코쥘 접속
∇
:
Γ
∞
(
E
)
→
Γ
∞
(
E
⊗
T
∗
M
)
{\displaystyle \nabla \colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(E\otimes \mathrm {T} ^{*}M)}
E
⊗
E
∗
{\displaystyle E\otimes E^{*}}
의 매끄러운 단면
T
∈
Γ
∞
(
E
⊗
E
∗
)
{\displaystyle T\in \Gamma ^{\infty }(E\otimes E^{*})}
. (흔히
T
=
0
{\displaystyle T=0}
으로 잡는다.)
그렇다면, 라플라스 연산자
Δ
=
g
μ
ν
∇
μ
∇
ν
:
Γ
∞
(
E
)
→
Γ
∞
(
E
)
{\displaystyle \Delta =g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(E)}
및 일반화 라플라스 연산자
Δ
+
T
:
Γ
∞
(
E
)
→
Γ
∞
(
E
)
{\displaystyle \Delta +T\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(E)}
를 정의할 수 있다.
이 경우, 디랙 연산자
D
:
Γ
∞
(
E
)
→
Γ
∞
(
E
)
{\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(E)}
는
D
2
=
Δ
{\displaystyle D^{2}=\Delta }
를 만족시키는 1차 미분 연산자 이다.
보다 일반적으로, 디랙형 연산자 (Dirac形演算子, 영어 : Dirac-type operator ) 또는 일반화 디랙 연산자 (영어 : generalized Dirac operator )
D
:
Γ
∞
(
E
)
→
Γ
∞
(
E
)
{\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(E)}
는 그 제곱이 라플라스형 연산자 가 되는 1차 미분 연산자 이다. 즉,
D
2
=
Δ
+
T
{\displaystyle D^{2}=\Delta +T}
를 만족시키는 1차 미분 연산자 이다.
클리퍼드 대수 는 자연스럽게
Z
/
2
{\displaystyle \mathbb {Z} /2}
-등급 대수 를 이룬다.
Cliff
(
V
,
Q
;
K
)
=
Cliff
+
(
V
,
Q
;
K
)
⊕
Cliff
−
(
V
,
Q
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)=\operatorname {Cliff} ^{+}(V,Q;K)\oplus \operatorname {Cliff} ^{-}(V,Q;K)}
이에 따라, 디랙 연산자의 등급과의 호환 조건을 정의할 수 있다.[ 1] :116, Definition 3.36
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
리만 다양체
(
M
,
g
)
{\displaystyle (M,g)}
두 매끄러운 벡터 다발
E
±
↠
M
{\displaystyle E^{\pm }\twoheadrightarrow M}
. 편의상
E
=
E
+
⊕
E
−
{\displaystyle E=E^{+}\oplus E^{-}}
로 표기하자.
E
{\displaystyle E}
위의 초접속
∇
:
Ω
∙
(
M
;
E
)
→
Ω
∙
+
1
(
M
;
E
)
{\displaystyle \nabla \colon \Omega ^{\bullet }(M;E)\to \Omega ^{\bullet +1}(M;E)}
E
±
⊗
(
E
∓
)
∗
{\displaystyle E^{\pm }\otimes (E^{\mp })^{*}}
의 매끄러운 단면
T
±
∈
Γ
∞
(
E
±
⊗
E
∓
∗
)
{\displaystyle T^{\pm }\in \Gamma ^{\infty }(E^{\pm }\otimes {E^{\mp }}^{*})}
(복부호 동순 )
그렇다면, 마찬가지로 일반화 라플라스 연산자
Δ
+
T
:
Γ
∞
(
E
)
→
Γ
∞
(
E
)
{\displaystyle \Delta +T\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(E)}
를 정의할 수 있다.
그렇다면, 등급 디랙 연산자 (영어 : graded Dirac operator )
D
±
:
Γ
∞
(
E
±
)
→
Γ
∞
(
E
∓
)
{\displaystyle D^{\pm }\colon \Gamma ^{\infty }(E^{\pm })\to \Gamma ^{\infty }(E^{\mp })}
(복부호 동순 )
는
D
−
D
+
=
Δ
+
T
{\displaystyle D^{-}D^{+}=\Delta +T}
D
+
D
−
=
Δ
+
T
{\displaystyle D^{+}D^{-}=\Delta +T}
를 만족시키는 두 미분 연산자 이다.
리만 다양체
(
M
,
g
)
{\displaystyle (M,g)}
위의 클리퍼드 가군 다발
E
{\displaystyle E}
위의 코쥘 접속
∇
{\displaystyle \nabla }
가 다음 조건을 만족시킨다면, 클리퍼드 가군 다발 접속 이라고 하자.
∇
X
(
a
⋅
s
)
=
a
⋅
∇
X
s
+
(
∇
X
a
)
⋅
s
∀
a
∈
Γ
∞
(
Cliff
(
T
M
,
g
)
)
,
s
∈
Γ
∞
(
E
)
,
X
∈
Γ
∞
(
T
M
)
{\displaystyle \nabla _{X}(a\cdot s)=a\cdot \nabla _{X}s+(\nabla _{X}a)\cdot s\qquad \forall a\in \Gamma ^{\infty }(\operatorname {Cliff} (\mathrm {T} M,g)),\;s\in \Gamma ^{\infty }(E),\;X\in \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} M)}
여기서
∇
X
a
{\displaystyle \nabla _{X}a}
는 클리퍼드 다발 위에 리만 계량 으로부터 자연스럽게 정의된 코쥘 접속 (레비치비타 접속 )이다.
마찬가지로, 클리퍼드 가군 다발 초접속 을 클리퍼드 다발의 작용과 호환되는,
Z
/
2
{\displaystyle \mathbb {Z} /2}
-등급 매끄러운 벡터 다발 위의 코쥘 초접속 으로 정의할 수 있다.
리만 다양체
(
M
,
g
)
{\displaystyle (M,g)}
위의 매끄러운 벡터 다발
E
{\displaystyle E}
위에 디랙 연산자
D
{\displaystyle D}
가 주어졌을 때,
E
{\displaystyle E}
위에는 자연스럽게 클리퍼드 다발
Cliff
(
T
M
,
g
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (\mathrm {T} M,g)}
의 왼쪽 작용이 주어져, 각 올
E
x
{\displaystyle E_{x}}
이 클리퍼드 대수
Cliff
(
T
x
M
,
g
x
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (\mathrm {T} _{x}M,g_{x})}
의 왼쪽 가군 을 이룬다.[ 1] :116, Proposition 3.38 구체적으로, 이는 다음과 같다.
D
(
f
s
)
−
f
(
D
s
)
=
(
d
f
)
⋅
s
{\displaystyle D(fs)-f(Ds)=(\mathrm {d} f)\cdot s}
여기서
f
∈
C
∞
(
M
;
R
)
{\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )}
는
M
{\displaystyle M}
위의 실수 값 매끄러운 함수 이다.
d
f
∈
Ω
1
(
M
)
=
Γ
∞
(
T
∗
M
)
{\displaystyle \mathrm {d} f\in \Omega ^{1}(M)=\Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} ^{*}\!M)}
은 그 기울기 인 1차 미분 형식 이다. 이 경우, 자연스러운 벡터 다발 포함 사상
Ω
1
(
M
)
↪
Cliff
(
T
∗
M
,
g
−
1
)
≅
Cliff
(
T
M
,
g
)
{\displaystyle \Omega ^{1}(M)\hookrightarrow \operatorname {Cliff} (\mathrm {T} ^{*}\!M,g^{-1})\cong \operatorname {Cliff} (\mathrm {T} M,g)}
이 존재한다.
⋅
{\displaystyle \cdot }
은 클리퍼드 대수 의 원소의 작용이다.
클리퍼드 다발
Cliff
(
T
M
,
g
)
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (\mathrm {T} M,g)}
의 매끄러운 단면 은 벡터장
X
=
(
d
f
)
♯
{\displaystyle X=(\mathrm {d} f)^{\sharp }}
으로 생성되며, 그 작용은 국소적이므로, 위 등식은 클리퍼드 다발 의 작용을 완전히 정의한다. 이에 따라,
E
{\displaystyle E}
는 클리퍼드 가군 다발을 이룬다.
또한, 클리퍼드 가군 다발 위의 클리퍼드 가군 다발 (초)접속은 디랙 연산자(또는 등급 디랙 연산자)를 정의한다. 즉,
디랙 연산자는 클리퍼드 가군 다발 + 클리퍼드 가군 다발 접속과 일대일 대응한다.
주어진 클리퍼드 가군 다발
E
{\displaystyle E}
+ 클리퍼드 가군 다발 접속 위의 디랙형 연산자의 공간은
End
(
E
)
{\displaystyle \operatorname {End} (E)}
꼴의 아핀 공간 이다.
등급 디랙 연산자는 클리퍼드 가군
Z
/
2
{\displaystyle \mathbb {Z} /2}
-등급 다발 + 클리퍼드 가군 다발 초접속과 일대일 대응한다.
주어진 클리퍼드 가군 다발
Z
/
2
{\displaystyle \mathbb {Z} /2}
-등급 다발
E
±
{\displaystyle E^{\pm }}
+ 클리퍼드 가군 다발 접속 위의 디랙형 연산자의 공간은
End
+
(
E
)
{\displaystyle \operatorname {End} ^{+}(E)}
꼴의 아핀 공간 이다.
계량이 주어진 곡선
γ
{\displaystyle \gamma }
위의 다발
E
↠
γ
{\displaystyle E\twoheadrightarrow \gamma }
의 경우, 디랙 연산자는 단순히
D
=
∇
{\displaystyle D=\nabla }
이다.
리만 다양체
(
M
,
g
)
{\displaystyle (M,g)}
위의 접다발
T
M
{\displaystyle \mathrm {T} M}
에는 자연스러운 레비치비타 접속 이 존재한다. 만약
M
{\displaystyle M}
이 스핀 다양체 라면, 접다발을 스피너 다발
T
M
↪
S
M
{\displaystyle \mathrm {T} M\hookrightarrow \mathrm {S} M}
으로 확장시켜, 그 위에 디랙 연산자를 정의할 수 있다.
S
M
{\displaystyle \mathrm {S} M}
은
2
⌊
dim
M
/
2
⌋
{\displaystyle 2^{\lfloor \dim M/2\rfloor }}
차원 복소수 벡터 다발이며, 이는 클리퍼드 다발
Cl
(
T
M
,
g
)
{\displaystyle \operatorname {Cl} (\mathrm {T} M,g)}
위의 클리퍼드 가군 다발 이다. 이 경우 매장
γ
:
T
M
↪
Cl
(
M
,
g
)
{\displaystyle \gamma \colon \mathrm {T} M\hookrightarrow \operatorname {Cl} (M,g)}
γ
:
v
i
↦
v
i
γ
i
{\displaystyle \gamma \colon v^{i}\mapsto v^{i}\gamma _{i}}
이 존재한다.
이 경우 디랙 연산자는
D
=
g
i
j
γ
i
∇
j
{\displaystyle D=g^{ij}\gamma _{i}\nabla _{j}}
이다. 즉,
D
2
=
{
D
,
D
}
/
2
=
1
2
{
γ
i
γ
j
}
∇
i
∇
j
=
g
i
j
∇
i
∇
j
=
Δ
{\displaystyle D^{2}=\{D,D\}/2={\frac {1}{2}}\{\gamma ^{i}\gamma ^{j}\}\nabla _{i}\nabla _{j}=g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}=\Delta }
이다.
만약
M
{\displaystyle M}
이 짝수 차원이라면, 그 스피너 다발 은 자연스럽게 다음과 같이 오른쪽·왼쪽 바일 스피너 다발로 분해된다.
S
M
=
S
+
M
⊕
S
−
M
{\displaystyle \mathrm {S} M=\mathrm {S} ^{+}M\oplus \mathrm {S} ^{-}M}
이 경우 디랙 연산자는 역시 다음과 같이 분해된다.
D
±
=
(
D
↾
Γ
∞
(
S
±
M
)
)
:
Γ
∞
(
S
±
M
)
→
Γ
∞
(
S
∓
M
)
)
{\displaystyle D^{\pm }=(D\upharpoonright \Gamma ^{\infty }(\mathrm {S} ^{\pm }M))\colon \Gamma ^{\infty }(\mathrm {S} ^{\pm }M)\to \Gamma ^{\infty }(\mathrm {S} ^{\mp }M))}
(복부호 동순 )
따라서, 이는
S
±
M
{\displaystyle \mathrm {S} ^{\pm }M}
위의 등급 디랙 연산자를 이룬다.
매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
위의 미분 형식 의 다발
E
=
⋀
∙
T
∗
M
{\displaystyle E=\bigwedge ^{\bullet }\mathrm {T} ^{*}M}
을 생각하자. 즉,
Γ
(
E
)
=
Ω
(
M
)
{\displaystyle \Gamma (E)=\Omega (M)}
이다. 만약
M
{\displaystyle M}
이 콤팩트 다양체라면, 외미분
d
:
Ω
∙
(
M
)
→
Ω
∙
+
1
(
M
)
{\displaystyle \mathrm {d} \colon \Omega ^{\bullet }(M)\to \Omega ^{\bullet +1}(M)}
의 에르미트 수반
d
†
:
Ω
∙
(
M
)
→
Ω
∙
−
1
(
M
)
{\displaystyle \mathrm {d} ^{\dagger }\colon \Omega ^{\bullet }(M)\to \Omega ^{\bullet -1}(M)}
을 정의할 수 있다. 그렇다면,
(
d
+
d
†
)
2
=
{
d
,
d
†
}
=
Δ
{\displaystyle (\mathrm {d} +\mathrm {d} ^{\dagger })^{2}=\{\mathrm {d} ,\mathrm {d} ^{\dagger }\}=\Delta }
이 된다. 여기서
Δ
{\displaystyle \Delta }
는 미분 형식의 호지-라플라스 연산자 이다. 따라서
D
=
d
+
d
†
{\displaystyle D=\mathrm {d} +\mathrm {d} ^{\dagger }}
를 정의하면,
D
{\displaystyle D}
는
E
{\displaystyle E}
위의 디랙 연산자를 이룬다.
↑ 이동: 가 나 다 라 Berline, N.; Getzler, E.; Vergne, M. (1992). 《Heat kernels and Dirac operators》. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (영어) 298 . Springer-Verlag.
↑ Friedrich, Thomas (1997Mathematics). 《Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie mit einem Ausblick auf die Seiberg-Witten-Theorie》. Advanced Lectures in Mathematics (독일어) 25 . Vieweg-Verlag. ISBN 978-3-528-06926-1 . ISSN 0932-7134 .
↑ Esposito, Giampiero (1995). “Dirac operator and eigenvalues in Riemannian geometry” (영어). arXiv :gr-qc/9507046 . Bibcode :1995gr.qc.....7046E .