어떤 운동방정식을 주는 라그랑지언은 유일하지 않다. 예를 들어, 고전역학의 라그랑지언
L
A
(
q
,
q
˙
,
t
)
=
T
(
q
,
q
˙
,
t
)
−
V
(
q
,
t
)
{\displaystyle L_{A}(q,\;{\dot {q}},\;t)=T(q,\;{\dot {q}},\;t)-V(q,\;t)}
f
(
q
,
t
)
{\displaystyle f(q,\;t)}
전미분 을 포함하는 라그랑지언
L
B
(
q
,
q
˙
,
t
)
=
L
A
(
q
,
q
˙
,
t
)
+
d
d
t
f
(
q
,
t
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{B}(q,\;{\dot {q}},\;t)={\mathcal {L}}_{A}(q,\;{\dot {q}},\;t)+{d \over dt}f(q,\;t)}
을 비교해보자. 두 이들이 주는 작용 의 차이는
S
B
=
∫
t
1
t
2
L
B
(
q
,
q
˙
,
t
)
d
t
=
∫
t
1
t
2
L
A
(
q
,
q
˙
,
t
)
d
t
+
∫
t
1
t
2
d
d
t
f
(
q
,
t
)
d
t
=
S
A
+
f
(
q
,
t
)
|
t
=
t
2
−
f
(
q
,
t
)
|
t
=
t
1
{\displaystyle {\begin{aligned}S_{B}&=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{L_{B}(q,\;{\dot {q}},\;t)}\,dt\\&=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{L_{A}(q,\;{\dot {q}},\;t)}\,dt+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{{d \over dt}f(q,\;t)}\,dt\\&=S_{A}+\left.f(q,\;t)\right|_{t=t_{2}}-\left.f(q,\;t)\right|_{t=t_{1}}\end{aligned}}}
이므로
f
(
q
,
t
)
|
t
=
t
2
−
f
(
q
,
t
)
|
t
=
t
1
{\displaystyle \left.f(q,\;t)\right|_{t=t_{2}}-\left.f(q,\;t)\right|_{t=t_{1}}}
변분 을 취하면
δ
S
B
=
δ
S
A
+
δ
[
f
(
q
,
t
)
|
t
=
t
2
−
f
(
q
,
t
)
|
t
=
t
1
]
=
δ
S
A
{\displaystyle \delta S_{B}=\delta S_{A}+\delta \left[\left.f(q,\;t)\right|_{t=t_{2}}-\left.f(q,\;t)\right|_{t=t_{1}}\right]=\delta S_{A}}
가 되어 최종적으로 다음과 같은 오일러-라그랑주 방정식 을 얻게 되며 두 라그랑지언에 의해 얻게 되는 운동방정식은 같게 된다.
d
d
t
∂
L
∂
q
˙
=
∂
L
∂
q
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}={\frac {\partial L}{\partial q}}}
일반적으로, 라그랑지언이 어떤 임의의 함수의 전미분만큼 달라도 같은 오일러-라그랑주 방정식 을 얻는다.
![{\displaystyle \delta S_{B}=\delta S_{A}+\delta \left[\left.f(q,\;t)\right|_{t=t_{2}}-\left.f(q,\;t)\right|_{t=t_{1}}\right]=\delta S_{A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9fe2f4804093554b7f55b2ef34f4e274e3fc584)
