n
{\displaystyle n}
리만 다양체 에서
Δ
{\displaystyle \Delta }
라플라스-벨트라미 연산자 라고 하자. 그렇다면 라플라스 방정식 은 다음과 같은 2차 편미분방정식이다.
Δ
ϕ
=
0
{\displaystyle \Delta \phi =0}
3차원 유클리드 공간에서는
Δ
=
∂
2
∂
x
2
+
∂
2
∂
y
2
+
∂
2
∂
z
2
{\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}
이므로,
∂
2
φ
∂
x
2
+
∂
2
φ
∂
y
2
+
∂
2
φ
∂
z
2
=
0
{\displaystyle {\partial ^{2}\varphi \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\varphi \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}\varphi \over \partial z^{2}}=0}
이 된다.
우변을 주어진 함수
f
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle f(x,y,z)}
Δ
ϕ
=
f
{\displaystyle \Delta \phi =f}
는 푸아송 방정식 이라고 한다. 즉, 라플라스 방정식은
f
=
0
{\displaystyle f=0}
우변을 다음과 같이 바꾸면
Δ
ϕ
=
k
2
ϕ
{\displaystyle \Delta \phi =k^{2}\phi }
헬름홀츠 방정식 을 얻는다. 라플라스 방정식은
k
2
=
0
{\displaystyle k^{2}=0}
코시-리만 방정식 의 해의 두 성분 모두 각각 라플라스 방정식을 만족한다. (즉, 정칙함수 의 실수 또는 허수 성분은 조화함수 다.)
라플라스 방정식의 디리클레 문제 란 어떤 영역
D
{\displaystyle D}
D
{\displaystyle D}
라플라스 방정식의 노이만 경계 조건 은 경계 D에서 함수
φ
{\displaystyle \varphi }
벡터장 의 효과를 알고 있을 때 그 벡터장의 퍼텐셜을 구하는 데 사용한다.
라플라스 방정식의 해를 조화 함수 라고 한다. 조화 함수는 방정식의 해가 되는 영역에서는 항상 해석적 이다. 만일 두 함수가 각각 라플라스 방정식(또는 선형 동차 미분방정식)의 해라면, 두 함수의 선형 결합 도 해이다. 이 성질을 중첩의 원리 라고 하며 복잡한 문제의 해를 간단한 해들로 나타낼 수 있기 때문에 유용하게 쓰인다.
2차원에서 라플라스 방정식은 두 개의 의존변수
∂
2
ψ
∂
x
2
+
∂
2
ψ
∂
y
2
≡
ψ
x
x
+
ψ
y
y
=
0.
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}\equiv \psi _{xx}+\psi _{yy}=0.}
의 형태로 나타난다.
u
(
x
+
h
,
y
)
+
u
(
x
,
y
+
h
)
+
u
(
x
−
h
,
y
)
+
u
(
x
,
y
−
h
)
−
4
u
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle u\left(x+h,y\right)+u\left(x,y+h\right)+u\left(x-h,y\right)+u\left(x,y-h\right)-4u\left(x,y\right)=0}
h
{\displaystyle h}
푸아송 방정식의 차분방정식은 다음과 같다.
u
(
x
+
h
,
y
)
+
u
(
x
,
y
+
h
)
+
u
(
x
−
h
,
y
)
+
u
(
x
,
y
−
h
)
−
4
u
(
x
,
y
)
=
h
2
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle u\left(x+h,y\right)+u\left(x,y+h\right)+u\left(x-h,y\right)+u\left(x,y-h\right)-4u\left(x,y\right)=h^{2}f\left(x,y\right)}
복소 범위의 해석적 함수
f
{\displaystyle f}
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z=x+iy}
f
(
z
)
=
u
(
x
,
y
)
+
i
v
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y)}
라 하자.
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
u
x
=
v
y
,
v
x
=
−
u
y
{\displaystyle u_{x}=v_{y},v_{x}=-u_{y}}
를 만족해야 한다(코시-리만 방정식 ). 여기서
(
u
y
)
y
=
(
−
v
x
)
y
=
−
(
v
y
)
x
=
−
(
u
x
)
x
{\displaystyle (u_{y})_{y}=(-v_{x})_{y}=-(v_{y})_{x}=-(u_{x})_{x}}
이다. 따라서
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
극좌표계
(
r
,
θ
)
{\displaystyle (r,\theta )}
라플라스 연산자 는 다음과 같다.
Δ
=
r
−
1
∂
∂
r
r
∂
∂
r
+
r
−
2
∂
2
∂
θ
2
{\displaystyle \Delta =r^{-1}{\frac {\partial }{\partial r}}r{\frac {\partial }{\partial r}}+r^{-2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}}
따라서 그 일반해는 변수분리법 으로 구할 수 있고, 다음과 같다.
ϕ
(
r
,
θ
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
(
a
n
r
n
cos
n
ϕ
+
b
n
r
n
sin
n
θ
)
{\displaystyle \phi (r,\theta )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(a_{n}r^{n}\cos n\phi +b_{n}r^{n}\sin n\theta \right)}
이는 함수
ϕ
{\displaystyle \phi }
푸리에 급수 임을 알 수 있다. 이는
ϕ
(
r
,
θ
)
=
Re
[
∑
n
=
−
∞
∞
(
a
n
−
i
b
n
)
z
n
]
{\displaystyle \phi (r,\theta )=\operatorname {Re} \left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }(a_{n}-ib_{n})z^{n}\right]}
으로 나타낼 수 있다. 즉, 푸리에 급수의 계수는 로랑 급수 의 계수와 같다.
3차원 공간에서, 구면좌표계
(
r
,
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle (r,\theta ,\phi )}
변수분리법 을 적용하면 라플라스 방정식의 일반해는 다음과 같다.
f
(
r
,
θ
,
ϕ
)
=
∑
l
=
0
∞
∑
m
=
−
l
l
(
a
l
m
r
l
+
b
l
m
r
−
l
−
1
)
Y
l
m
(
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle f(r,\theta ,\phi )=\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}\left(a_{l}^{m}r^{l}+b_{l}^{m}r^{-l-1}\right)Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )}
여기서
Y
l
m
(
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )}
구면 조화 함수 이고,
a
l
m
{\displaystyle a_{l}^{m}}
b
l
m
{\displaystyle b_{l}^{m}}
f
{\displaystyle f}
b
l
m
=
0
{\displaystyle b_{l}^{m}=0}
![{\displaystyle \phi (r,\theta )=\operatorname {Re} \left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }(a_{n}-ib_{n})z^{n}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ac1d86ff90ce4449039845e155cf591b6531517)
