조화 함수

수학에서 조화 함수(調和函數, harmonic function)는 라플라스 방정식의 해가 되는 함수다.

정의

유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ 의 열린집합 $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ 위의 2차 연속 미분 가능 함수

f\in {\mathcal {C}}^{2}(U,\mathbb {R} )

가 다음 편미분 방정식을 따른다면, 이를 조화 함수라고 한다.

\Delta f=0

여기서

\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}

는 라플라스 연산자이다.

성질

정칙성

조화 함수의 정의는 2차 미분 가능성만을 전제로 하지만, 사실 모든 조화 함수는 항상 매끄러운 함수이자 해석 함수임을 보일 수 있다.

최댓값 원리

열린집합 $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ 의 콤팩트 부분 집합 $K\subsetneq U$ 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, $f\upharpoonright K$ 는 (콤팩트 공간 위의 연속 함수이므로) 최댓값과 최솟값을 갖는다. 이 경우, $f$ 가 최댓값 또는 최솟값을 갖게 되는 점은 (상수 함수가 아니라면) 항상 $K$ 의 경계 $\partial K$ 에 위치한다.

특히, 조화 함수는 상수 함수가 아니라면 최댓값이 아닌 극댓값을 가질 수 없다.

리우빌 정리에 따르면, $\mathbb {R} ^{n}$ 위에 정의된 조화 함수 가운데 유계 함수인 것은 상수 함수 밖에 없다.

등각 변환에 대한 불변

2차원에서, 조화 함수는 등각 변환에 대하여 불변이다. 즉, 임의의 등각 변환

\phi \colon U'\to U

에 대하여, 만약 $f\colon U\to \mathbb {R}$ 가 조화 함수라면 $f\circ \phi \colon U'\to \mathbb {R}$ 역시 조화 함수이다. (그러나 이는 다른 차원에서 일반적으로 성립하지 않는다.)

예

임의의 차원에서, 상수 함수와 선형 함수는 항상 조화 함수이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

$\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$ 위에서,

f({\vec {r}})={\frac {1}{|{\vec {r}}|^{n-2}}}

는 조화 함수이다.

1차원

1차원의 공간 위의 조화 함수는 선형 함수

f(x)=ax+b

이다. 특히, 원 $\mathbb {S} ^{1}$ 위의 조화 함수는 상수 함수 밖에 없다.

2차원

리만 곡면 위의 정칙 함수의 실수 성분(또는 허수 성분)은 조화 함수를 이룬다.

같이 보기

외부 링크

Weisstein, Eric Wolfgang. “Harmonic function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Harmonic function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.