르장드르 다항식

르장드르 다항식(Legendre polynomial) $P_{n}(x)$ 는 르장드르 미분 방정식(Legendre differential equation)이라고 불리는 다음 미분 방정식의 해가 되는 함수들이다.

(1-x^{2}){d^{2} \over dx^{2}}P(x)-2x{d \over dx}P(x)+n(n+1)P(x)=0

스튀름-리우빌 형식으로 쓰면,

{d \over dx}\left[(1-x^{2}){d \over dx}P(x)\right]+n(n+1)P(x)=0

이다. 이 함수와 미분 방정식의 이름은 프랑스의 수학자 아드리앵마리 르장드르의 이름을 따 명명되었다. 이 상미분 방정식은 물리와 공학의 여러 분야에서 자주 등장한다. 특히, 구면좌표계에서 라플라스 방정식을 풀 때 등장한다.

르장드르 다항식

구체적인 몇몇 르장드르 다항식의 형태는 다음과 같다.

$n$	$P_{n}(x)$
0	$1$
1	$x$
2	${\frac {1}{2}}(3x^{2}-1)$
3	${\frac {1}{2}}(5x^{3}-3x)$
4	${\frac {1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3)$
5	${\frac {1}{8}}(63x^{5}-70x^{3}+15x)$
6	${\frac {1}{16}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5)$
7	${\frac {1}{16}}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x)$
8	${\frac {1}{128}}(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35)$
9	${\frac {1}{128}}(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x)$
10	${\frac {1}{256}}(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63)$

$n=1,2,3,4,5$ 인 경우의 구간 [-1,1]사이에서의 르장드르 다항식의 그래프는 다음과 같다.

성질

간단한 성질

르장드르 다항식에는 다음과 같은 몇몇 간단한 성질이 있다.

$P_{n}(-x)=(-1)^{n}P_{n}(x)$
$P_{n}(1)=1$
$P_{n}(-1)=(-1)^{n}$
$P'_{n}(1)={\frac {n(n+1)}{2}}$
$n$ 이 홀수이면 $P_{n}(0)=0$
$n$ 이 짝수이면 $P'_{n}(0)=0$

수직 관계

르장드르 다항식 끼리 구간 [-1,1]에서 $L^{2}$ 내적을 취하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

\left(P_{n},P_{m}\right)=\int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx={\frac {2}{2n+1}}\delta _{mn}

.

여기서 $\delta _{mn}$ 은 크로네커 델타를 의미한다. 따라서, 르장드르 다항식은 구간 [-1,1]에서 서로 수직함을 알 수 있다. 이는 르장드르 방정식이 스튀름-리우빌 문제에 속하기 때문이다. 즉, 르장드르 미분 방정식을 다음과 같이 스튀름-리우빌 형식으로 놓을 수 있다.