멱 규칙

단항 다항식의 미분법

미적분학에서 멱 규칙(영어: power rule)은 멱함수도함수를 구하는 공식이다.

정의

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멱 규칙에 따르면, 멱함수   ( )의 도함수는 다음과 같다.

 

멱함수의 원함수를 구하는 공식은 다음과 같으며, 이는 멱 규칙과 동치이다. (여기서  적분 상수이다.)

 

보다 일반적으로, 멱함수의 고계 도함수를 구하는 공식은 다음과 같다. (여기서  하강 계승이다.)

 

미분은 선형성을 가지기 때문에, 멱 규칙으로부터 다항식의 도함수를 구하는 공식을 유도할 수 있으며, 이는 다음과 같다.

 

마찬가지로 다항식의 원함수를 구하는 공식은 다음과 같다.

 

증명

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자연수 지수의 경우

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자연수  에 대한 명제는 수학적 귀납법으로 증명 가능하다. 우선  인 경우는 상수 함수의 미분이 0이라는 명제가 되므로 자명하게 성립한다. 이제 어떤  에 대하여 성립한다고 가정하자. 그렇다면, 곱 규칙에 따라,  에 대한 명제

 

역시 성립한다. 수학적 귀납법에 따라 멱 규칙은 임의의 자연수에 대하여 성립한다. 자연수 지수의 멱 규칙은 이항 정리를 통해 다음과 같이 증명할 수도 있다.

 

실수 지수의 경우

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음의 정수 지수  에 대한 명제는 자연수의 경우와 몫의 법칙을 통해 다음과 같이 증명할 수 있다.

 

유리수 지수  에 대한 명제는 정수의 경우와 연쇄 법칙을 통해 다음과 같이 증명할 수 있다.

 

실수 지수  에 대한 명제는 지수 함수로그 함수의 미분과 연쇄 법칙을 통해 다음과 같이 증명할 수 있다.

 

예를 들어, 낮은 양의 정수 차수의 멱함수의 도함수 공식은 다음과 같다.

 
 
 
 
 

자연수가 아닌 경우에 대한 몇 가지 예시는 다음과 같다.

 
 
 
 
 
 

다항식의 도함수를 구하는 예시는 다음과 같다.

 
 

같이 보기

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외부 링크

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