미분학적 공간

기하학에서, 미분학적 공간(微分學的空間, 영어: diffeological space 디피올로지컬 스페이스^[*])은 매끄러운 다양체의 개념의 일반화이다. 미분학적 공간과 매끄러운 다양체 사이의 관계는 위상 공간과 다양체 사이의 관계와 유사하며, 미분학적 공간의 “차원”은 국소적으로 바뀔 수도, 잘 정의되지 않을 수도 있다.

정의

집합 $X$ 위의 미분학적 구조(微分學的構造, 영어: diffeology 디피올로지^[*]) ${\mathcal {D}}=\{(n_{i},U_{i},f_{i})\}_{i\in I}$는 다음과 같은 꼴의 순서쌍들의 집합이다.

• $(n,U,f)$에서, $n\in \mathbb {N}$은 자연수이며, $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$는 $n$차원 유클리드 공간의 열린집합이며, $f\colon U\to X$는 함수이다.

이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

• 임의의 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$의 열린집합 $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ 및 임의의 원소 $x\in X$에 대하여, $x$ 값의 상수 함수 $(n,U,f\colon U\to X)$는 ${\mathcal {D}}$의 원소이다.
• 임의의 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$의 열린집합 $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ 및 임의의 함수 $f\colon U\to X$에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면, $(n,U,f)\in {\mathcal {D}}$이다.

  임의의 $u\in U$에 대하여, $(n,V,f\upharpoonright V)\in {\mathcal {D}}$인 $u$의 열린 근방 $u\in V\subseteq U$가 존재한다.

• 임의의 $(n,U,f)\in {\mathcal {D}}$ 및 임의의 $V\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ 및 임의의 매끄러운 함수 $\phi \colon V\to U$에 대하여, $(m,V,f\circ \phi )\in {\mathcal {D}}$이다.

미분학적 구조를 갖춘 집합을 미분학적 공간이라고 한다.

두 미분학적 공간 $(X,{\mathcal {D}})$, $(Y,{\mathcal {E}})$ 사이의 매끄러운 함수 $\phi \colon X\to Y$는 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

• 임의의 $(n,U,f)\in {\mathcal {D}}$에 대하여, $(n,U,\phi \circ f)\in {\mathcal {E}}$이다.

이를 통해 미분학적 공간의 범주를 정의할 수 있다.

성질

미분학적 공간 $(X,{\mathcal {D}})$ 위에는 표준적인 위상을 줄 수 있으며, 이 경우 집합이 열린집합일 필요 충분 조건은 다음과 같다.

$B\in \operatorname {Open} (X)\iff \forall (n,U,f)\in {\mathcal {D}}\colon f^{-1}(B)\in \operatorname {Open} (\mathbb {R} ^{n})$

여기서 $\operatorname {Open} (\mathbb {R} ^{n})$은 $\mathbb {R} ^{n}$의 열린집합들의 집합이다. 즉, 이 위상은 모든 함수 $f$들의 연속 함수가 되는 가장 섬세한 위상이다.

미분학적 공간의 범주는 준토포스를 이룬다.

연산

미분학적 공간의 부분 집합은 표준적으로 미분학적 공간을 이룬다.

미분학적 공간의 몫집합은 표준적으로 미분학적 공간을 이룬다.

예

모든 $n$차원 매끄러운 다양체 $M$은 미분학적 공간이다. 이 경우 미분학적 구조는 $\mathbb {R} ^{n}$의 열린집합에서 $M$으로 가는 모든 매끄러운 함수들의 집합이다. 보다 일반적으로, 모든 프레셰 다양체는 미분학적 공간이다.

1차원 유클리드 공간 $\mathbb {R}$의 몫

${\frac {\mathbb {R} }{\mathbb {Z} +\alpha \mathbb {Z} }}$

을 생각하자. 이는 미분학적 공간의 몫이므로 미분학적 공간을 이룬다. 만약 $\alpha$가 유리수라면 이는 원과 동형이지만, 만약 무리수라면 이는 매끄러운 다양체가 아니다. 이 경우, 이는 위상 공간으로서 비이산 공간이나, 이는 자명하지 않은 미분학적 공간이다.

역사

미분학적 공간의 개념을 발견한 장마리 수리오

미분학적 공간의 개념은 장마리 수리오(프랑스어: Jean-Marie Souriau, 1922〜2012)가 1979년에 도입하였다. ‘미분학적 공간’(프랑스어: espace difféologique 에스파스 디페올로지크^[*])이라는 이름은 프랑스어: difféomorphisme 디페오모르피즘^[*](미분 동형 사상)과 프랑스어: espace topologique 에스파스 토폴로지크^[*](위상 공간)의 합성어이다.

외부 링크

• “Diffeological space”. 《nLab》 (영어).