밀도 (다포체)

기하학에서, 다포체의 밀도는 다포체, 특히 고른 다포체나 정다포체의 중심을 둘러싸는 수를 나타낸다. 이것은 중심에서 무한으로 뻗어나가는 반직선에 교차하는 Facet이나 면의 최소 개수를 세서 시각적으로 결정할 수 있다. 다포체의 어떤 facet도 연속인 내부 영역을 지나지 않는 경우에, 밀도는 상수이다. 자기교차하지 않는 (acoptic) 다포체에 대해서, 밀도는 1이다.

겹치는 면을 가지는 테셀레이션은 유사하게 밀도를 주어진 점을 덮는 면의 수로 정의할 수 있다.^[1]

다각형

별 다각형의 밀도는 다각형의 경계가 중심을 둘러싸는 횟수이다; 이것은 중심점 주변의 경계에 대한 감김수이다.

별 정다각형 {p/q}에 대해서, 밀도는 q이다.

이것은 중심에서 무한으로 뻗어나가는 반직선에 교차하는 변의 최소 개수로 시각적으로 결정할 수 있다.

다면체


비볼록 큰 이십면체 {3,5/2}는 오른쪽의 투명하고 졀단면을 보여주는 그림이 보여주듯이 7이다.

아서 케일리는 밀도를 오일러의 다면체 공식 (V − E + F = 2)을 별 정다면체에 적용되도록 수정할 때 사용했다. 이 때, d_v는 꼭짓점 도형의 밀도이고, d_f는 면의 밀도이고 D는 다면체 전체의 밀도이다:

d_v V − E + d_f F = 2D^[2]

예를 들어, 큰 이십면체 {3, 5/2}는 삼각형 면(d_f = 1) 20개가 있고, 모서리 30개와 오각성 꼭짓점 도형(d_v = 2) 12개가 있으므로, 다음을 얻을 수 있다:

2·12 − 30 + 1·20 = 14 = 2D.

이것은 큰 이십면체의 밀도가 7이라는것을 암시한다. 수정되지 않은 오일러의 다면체 공식은 작은 별모양 십이면체 {5/2, 5}와 그 쌍대인 큰 십이면체 {5, 5/2}에서는 V − E + F = −6로 적용되지 않는다.

별 정다면체는 두 쌍대쌍으로 존재하고 각각의 형태는 그 쌍대와 같은 밀도를 가진다: 한 쌍(작은 별모양 십이면체—큰 십이면체)은 밀도가 3이고, 다른 쌍(큰 별모양 십이면체–큰 이십면체)은 밀도가 7이다.

헤스는 더 나아가서 일부가 다른 것 뒤쪽으로 접힐 수 있는 다른 종류의 면을 가지는 별 다면체의 공식으로 일반화했다. 밀도에 대한 결과값은 연관된 구면 다면체가 구를 덮는 횟수에 대응한다.

이것은 콕서터와 그외가 주요한 고른 다면체의 밀도를 결정하게 한다.^[3]

일부 면이 중심을 통과하는 반다면체에 대해서는 밀도를 정의할 수 없다. 비가향 다면체 역시 잘 정의된 밀도는 없다.

폴리코론

밀도가 4, 6, 20, 66, 76, 그리고 191 중에 있는 별 정폴리코론 또는 4차원 다포체(슐레플리-헤스 폴리코론이라고 불린다)는 10개가 있다. 이것은 자기쌍대인 밀도가 6인 것과 66인 것을 제외하고는 쌍대쌍으로 있다. 서로서로 쌍대쌍 관계인 것 중에 밀도가 4인 것은 작은 별모양 백이십포체 {5/2, 5, 3} 와 정이십면체 백이십포체 {3, 5, 5/2} 이고, 밀도가 6인 것은 자기쌍대 다포체인 큰 백이십포체{5, 5/2, 5}, 20인 것은 큰 별모양 백이십포체 {5/2, 3, 5} 와 거대 백이십포체 {5, 3, 5/2} , 그리고 자기쌍대 다포체인 66인 것은 거대 별모양 백이십포체{5/2, 5, 5/2}, 76인 것은 큰 이십면체 백이십포체 {3, 5/2, 5} 와 큰 거대 백이십포체 {5, 5/2, 3}이다. 또한 191인 것은 큰 거대 별모양 백이십포체 {5/2, 3, 3} 및 거대 육백포체 {3, 3, 5/2}이다.

각주

↑ Coxeter, H. S. M; The Beauty of Geometry: Twelve Essays (1999), Dover Publications, 틀:LCCN, ISBN 0-486-40919-8 (206–214, Density of regular honeycombs in hyperbolic space)
↑ Cromwell, P.; Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999). (Page 258)
↑ Coxeter, 1954 (Section 6, Density and Table 7, Uniform polyhedra)

Coxeter, H. S. M.; Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8
Coxeter, H. S. M.; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P. (1954), “Uniform polyhedra”, 《Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences》 246 (916): 401–450, doi:10.1098/rsta.1954.0003, ISSN 0080-4614, JSTOR 91532, MR 0062446
Wenninger, Magnus J. (1979), 〈An introduction to the notion of polyhedral density〉, 《Spherical models》, CUP Archive, 132–134쪽, ISBN 978-0-521-22279-2

외부 링크

Weisstein, Eric Wolfgang. “Polygon density”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.

[1] Coxeter, H. S. M; The Beauty of Geometry: Twelve Essays (1999), Dover Publications, 틀:LCCN, ISBN 0-486-40919-8 (206–214, Density of regular honeycombs in hyperbolic space)

[2] Cromwell, P.; Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999). (Page 258)

[3] Coxeter, 1954 (Section 6, Density and Table 7, Uniform polyhedra)

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