작은 별모양 십이면체

작은 별모양 십이면체

종류	케플러-푸앵소 다면체
별모양화 중심	정십이면체
원소	F = 12, E = 30 V = 12 (χ = -6)
면의 수{변의 수}	125
슐레플리 기호	{5/2,5}
면 배치	V(5⁵)/2
위토프 기호	5 \| 25/2
콕서터 다이어그램
대칭군	I_h, H₃, [5,3], (*532)
참조	U₃₄, C₄₃, W₂₀
특성	정다면체 비볼록
(5/2)⁵ (꼭짓점 도형)	큰 십이면체 (쌍대다면체)

기하학에서 작은 별모양 십이면체(small stellated dodecahedron)는 아서 케일리에 의해서 이름이 지어졌고 슐레플리 기호가 {5/2,5}인 케플러-푸앵소 다면체이다. 이것은 비볼록 정다면체 네 개 중 하나이다. 이것은 오각성 면 12개로 각 꼭짓점에 5개가 만나게 이루어져 있다.

이것은 볼록 정이십면체와 같은 꼭짓점 배열을 가진다. 이것은 또한 큰 이십면체와 같은 모서리 배열을 가진다.

이것은 정십이면체의 네 별모양화 중 두 번째이다.

오각성 면을 삼각형 면 5개로 생각하면, 이것은 오방십이면체와 같은 표면 위상을 가지지만, 높이가 오각성에 있는 삼각형 다섯 개가 동일 평면에 있는 별 오각뿔의 높이인 이등변삼각형 면을 가진다.

이것을 모서리 30개와 꼭짓점 12개에서 만나는 오각성 12개를 면으로 가진다고 생각하면, 이것을 오일러 공식을 이용해서 종수를 계산할 수 있다:

V-E+F=2-2g

그리고 작은 별모양 십이면체는 종수가 4라는 것을 결론지을 수 있다. 루이 푸앵소에 의해서 이뤄어진 이 관측은 처음에는 혼란스러웠지만, 펠릭스 클라인이 1877년에 작은 별모양 십이면체는 분지점을 각 오각성의 중심에 갖고 있는 종수가 4인 리만 곡면으로 리만 구를 가지 덮기하고 있는 것으로 볼 수 있다는 것을 밝혔다. 사실 브링의 곡선으로 불리는 이 리만 곡면은 종수가 4인 어떤 리만 곡면의 대칭 수 보다도 가장 많은 대칭 수를 가지고 있다: 대칭군 $S_{5}$ 는 자기 동형 사상처럼 행동한다^[1]

그림

투명	수제 모형
(애니메이션)
구면 타일링	별모양화	전개도
이 다면체는 밀도가 3인 구면 타일링을 나타낸다. (윤곽선이 파란색이고 노란색으로 칠해진 구면 오각성 면 하나)	이것은 정십이면체의 첫 번째 별모양화로도 만들어질 수 있고, 웨닝거 모델 [W20]을 가리킨다.	× 12 작은 별모양 십이면체는 종이나 키드지를 다섯 면을 가지는 이등변 삼각형 각뿔을 정십이면체를 만들 때 오각형을 붙이듯이 12개를 연결해서 만들 수 있다.