방멱

기하학에서 방멱(方冪, 영어: power)은 평면 위의 어떤 점과 원에 의하여 결정되는 수이다. 이는 점과 원의 중심 사이의 거리의 제곱과 원의 반지름의 제곱의 차와 같다. 원 외부의 점의 방멱은 이 점을 지나는 원의 접선의 길이의 제곱이며, 원 내부의 점의 방멱은 이 점을 지나는 원의 가장 짧은 반현의 길이의 제곱의 −1배이다.^[1]^{:29, §41}

정의

평면 위에서, 중심이 $O$ 이고 반지름이 $r$ 인 원 $\Gamma$ 의 점 $P$ 에 대한 방멱은 다음과 같이 정의된다.

OP^{2}-r^{2}

점원에 대한 방멱

한 점 $O$ 로 이루어진 집합은 중심이 $O$ 이고 반지름이 0인 원으로 볼 수 있으며, 이를 점원이라고 한다. 이 경우 점원 $O$ 에 대한 $P$ 의 방멱은 단순히

OP^{2}

이다.^[2]^{:30, §43}

직선에 대한 방멱

직선 $l$ 은 반지름이 무한대인 원으로 볼 수 있다. 이 경우 직선 $l$ 에 대한 $P$ 의 방멱은 정의되지 않는다. 그러나 방멱과 지름의 비의 절댓값은 다음과 같은 과정을 통해 직선에까지 확장할 수 있다. 우선 $P$ 를 지나는 $l$ 의 수선의 발이 $A$ 라고 하고, 직선 $PA$ 위의 점 $O$ 를 중심으로 하고 $A$ 를 지나는 원 $\Gamma$ 가 직선 $PA$ 와 두 점 $A,B$ 에서 만난다고 하자. 그렇다면, $\Gamma$ 에 대한 $P$ 의 방멱과 $\Gamma$ 의 지름의 비의 절댓값은

\left|{\frac {OP^{2}-r^{2}}{2r}}\right|={\frac {|OP+r||OP-r|}{2r}}={\frac {PA\cdot PB}{AB}}

이다. $A$ 가 고정되고 $O$ 와 $B$ 가 $A$ 에서 무한히 멀어질 때, $PB$ 와 $AB$ 의 비는 1로 수렴하므로, 방멱과 지름의 비의 극한은 $PA$ 로 수렴한다. 따라서, 직선 $l$ 과 점 $P$ 사이의 거리

d(P,l)

을 '방멱과 지름의 비의 절댓값'으로 삼을 수 있다.^[2]^{:30, §43}

성질

평면 위에서 원 $\Gamma$ 와 점 $P$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

$P$ 가 $\Gamma$ 내부의 점일 필요충분조건은 $\Gamma$ 에 대한 $P$ 의 방멱이 양수인 것이다.
$P$ 가 $\Gamma$ 위의 점일 필요충분조건은 $\Gamma$ 에 대한 $P$ 의 방멱이 0인 것이다.
$P$ 가 $\Gamma$ 외부의 점일 필요충분조건은 $\Gamma$ 에 대한 $P$ 의 방멱이 음수인 것이다.

평면 위에서 중심이 $O$ 이고 반지름이 $r$ 인 원 $\Gamma$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $\Gamma$ 에 대한 방멱이 $k$ 인 점들의 집합은 $k>-r^{2}$ 일 경우 중심이 $O$ 이고 반지름이 ${\sqrt {r^{2}+k}}$ 인 원이며, $k=-r^{2}$ 일 경우 점원 $O$ 이며, $k<-r^{2}$ 일 경우 공집합이다.^[2]^{:30, §44}

평면 위에서 동심원이 아닌 두 원 $\Gamma ,\Gamma '$ 에 대한 방멱이 같은 점들의 집합은 직선을 이룬다. 이를 두 원 $\Gamma ,\Gamma '$ 의 근축이라고 부른다.

방멱 정리

평면 위에서 점 $P$ 를 지나는 직선이 원 $\Gamma$ 와 (같을 수 있는) 두 점 $A,B$ 에서 만나며, $P$ 를 지나는 또 다른 직선이 $\Gamma$ 와 (같을 수 있는) 두 점 $C,D$ 에서 만난다고 하자. 방멱 정리(方冪定理, 영어: power theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.^[3]^{:28, §2.1, Theorem 2.11}

{\overrightarrow {PA}}\cdot {\overrightarrow {PB}}={\overrightarrow {PC}}\cdot {\overrightarrow {PD}}

여기서 $\cdot$ 은 벡터의 스칼라곱이다. 특히, 한 직선이 $O$ 를 지나도록 하면 이 스칼라곱은 방멱임을 알 수 있다. 이에 따라, ${\overrightarrow {PA}}\cdot {\overrightarrow {PB}}$ 는 직선 $PAB$ 의 선택과 무관하다. 방멱 정리는 흔히 원 $C$ 에 대한 점 $P$ 의 상대적인 위치와 직선의 두 교점이 같은지 여부에 따라 다음과 같은 경우로 나뉘어 서술된다.

두 현에 대한 방멱 정리

원 $\Gamma$ 의 두 현 $AB$ 와 $CD$ 가 $\Gamma$ 내부의 점 $P$ 에서 만난다고 하자. 그렇다면,

PA\cdot PB=PC\cdot PD

이다. 특히, 이는 $\Gamma$ 에 대한 $P$ 의 방멱의 −1배와 같다.

증명:^[3]^{:28, §2.1}

각 $\angle BAD$ 와 $\angle DCB$ 는 모두 호 $BD$ 에 대한 원주각이므로,

\angle BAD=\angle DCB

이다. 각 $\angle APD$ 와 $\angle BPC$ 는 맞꼭지각이므로,

\angle APD=\angle BPC

이다. 따라서, 삼각형 $\triangle PDA$ 와 $\triangle PBC$ 는 서로 닮음이며, 따라서

{\frac {PA}{PC}}={\frac {PD}{PB}}

이다.

두 할선에 대한 방멱 정리

원 $\Gamma$ 의 두 현 $AB$ 와 $CD$ 의 연장선이 $\Gamma$ 외부의 점 $P$ 에서 만난다고 하자. 그렇다면,

PA\cdot PB=PC\cdot PD

이다. 특히, 이는 $\Gamma$ 에 대한 $P$ 의 방멱과 같다.

증명:^[3]^{:28, §2.1}

편의상 $PA<PB$ 이고 $PC<PD$ 라고 하자. 그렇다면 각 $\angle ABC$ 와 $ADC$ 는 호 $AC$ 에 대한 원주각이므로,

\angle {ABC}=\angle {ADC}

이다. 또한 삼각형 $\triangle PBC$ 와 $\triangle PDA$ 는 각 $\angle P$ 를 공유하므로, 서로 닮음이다. 따라서

{\frac {PA}{PC}}={\frac {PD}{PB}}

이다.

할선과 접선에 대한 방멱 정리

원 $\Gamma$ 의 현 $AB$ 의 연장선과 $\Gamma$ 위의 점 $T$ 에서의 접선 $PT$ 가 $\Gamma$ 외부의 점 $P$ 에서 만난다고 하자. 그렇다면,

PA\cdot PB=PT^{2}

이다. 특히, 이는 $\Gamma$ 에 대한 $P$ 의 방멱과 같다.

증명:^[3]^{:28, §2.1}

편의상 $PA<PB$ 라고 하자. 그렇다면 각 $\angle PBT$ 와 $\angle PTA$ 는 각각 호 $AT$ 에 대한 원주각과 접현각이므로,

\angle PBT=\angle PTA

이다. 또한 삼각형 $PBT$ 와 $PTA$ 는 각 $\angle P$ 를 공유하므로, 서로 닮음이다. 따라서

{\frac {PA}{PT}}={\frac {PT}{PB}}

이다.

방멱 정리의 역

반대로, 만약 직선 $AB$ 와 $CD$ 가 점 $P$ 에서 만나고,

{\overrightarrow {PA}}\cdot {\overrightarrow {PB}}={\overrightarrow {PC}}\cdot {\overrightarrow {PD}}

를 만족시킨다면, $A,B,C,D$ 는 공원점이다.^[2]^{:30, §42}

증명:^[2]^{:30, §42}

편의상 $C$ 가 직선 $AB$ 위의 점이 아니라고 하자. 점 $A,B,C$ 를 지나는 원 $\Gamma$ 가 직선 $CD$ 와 점 $D'$ 에서 만난다고 하자. 그렇다면, 방멱 정리에 의하여

{\overrightarrow {PA}}\cdot {\overrightarrow {PB}}={\overrightarrow {PC}}\cdot {\overrightarrow {PD'}}

이므로, $D=D'$ 이다.

원의 직교와의 관계

중심이 $O,O'$ 이고 반지름이 $r,r'$ 인 두 원 $\Gamma ,\Gamma '$ 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

$\Gamma$ 와 $\Gamma '$ 은 서로 직교한다. (즉, 교점에서의 접선이 서로 수직이다.)
$\Gamma$ 에 대한 $O'$ 의 방멱은 ${r'}^{2}$ 이다.
$\Gamma '$ 에 대한 $O$ 의 방멱은 $r^{2}$ 이다.

역사

'방멱'이라는 개념은 스위스의 수학자 야코프 슈타이너가 처음 사용하였다.^[3]^{:30, §2.1}

같이 보기

각주

↑ Eves, Howard Whitley (1995). 《College Geometry》 (영어). Jones and Bartlett Publishers. ISBN 0-86720-475-3.
↑ ^가 ^나 ^다 ^라 ^마 Johnson, Roger A. (1960) [1929]. 《Advanced Euclidean Geometry》 (영어). New York, N. Y.: Dover Publications.
↑ ^가 ^나 ^다 ^라 ^마 Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1967). 《Geometry Revisited》 (영어). Buehler, George H. 삽화. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-619-0.

외부 링크

“Degree of a point”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Circle power”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.

[Eves-1] Eves, Howard Whitley (1995). 《College Geometry》 (영어). Jones and Bartlett Publishers. ISBN 0-86720-475-3.

[Johnson-2] 가 ^나 ^다 ^라 ^마 Johnson, Roger A. (1960) [1929]. 《Advanced Euclidean Geometry》 (영어). New York, N. Y.: Dover Publications.

[Coxeter-3] 가 ^나 ^다 ^라 ^마 Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1967). 《Geometry Revisited》 (영어). Buehler, George H. 삽화. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-619-0.

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