유클리드 공간
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
열린집합
U
⊂
R
n
{\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}
U
{\displaystyle U}
콤팩트 지지 매끄러운 함수 들의 실수 벡터 공간 을
C
0
∞
(
U
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(U)}
D
(
U
)
{\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}
U
{\displaystyle U}
시험 함수 (試驗函數, 영어 : test function )라고 한다.
여기에 다음과 같은 위상 을 주자. 함수열
f
i
∈
D
(
U
)
{\displaystyle f_{i}\in {\mathcal {D}}(U)}
f
∈
D
(
U
)
{\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(U)}
수렴 할 필요충분조건 은 다음 두 조건이 모두 성립하는 것과 동치 이다.
어떤 콤팩트 집합
K
⊂
U
{\displaystyle K\subset U}
⋃
i
=
0
∞
supp
f
i
⊆
K
{\displaystyle \bigcup _{i=0}^{\infty }\operatorname {supp} f_{i}\subseteq K}
모든 다중지표
α
∈
N
n
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{n}}
∂
α
f
i
→
unif
f
{\displaystyle \partial ^{\alpha }f_{i}{\xrightarrow {\text{unif}}}f}
여기서
supp
{\displaystyle \operatorname {supp} }
지지 집합 을 뜻하며,
→
unif
{\displaystyle {\xrightarrow {\text{unif}}}}
균등 수렴 을 뜻한다.
이 위상에 따라, 시험 함수 공간
D
(
U
)
{\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}
완비 거리화 가능 국소 볼록 공간 을 이룬다.
D
(
U
)
{\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}
연속 쌍대 공간
D
′
(
U
)
{\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}
분포 공간 (分布空間, 영어 : space of distributions )이라고 하고, 그 원소를 분포 (分布, 영어 : distribution )라고 한다. 분포
F
{\displaystyle F}
f
∈
D
(
U
)
{\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(U)}
F
(
f
)
{\displaystyle F(f)}
F
(
f
)
=
∫
U
F
(
x
)
f
(
x
)
d
n
x
{\displaystyle F(f)=\int _{U}F(x)f(x)\,d^{n}x}
물론
x
∈
U
{\displaystyle x\in U}
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
분포
F
∈
D
′
(
U
)
{\displaystyle F\in {\mathcal {D}}'(U)}
지지 집합 영어 : support )
supp
F
{\displaystyle \operatorname {supp} F}
x
∉
supp
F
{\displaystyle x\not \in \operatorname {supp} F}
x
{\displaystyle x}
열린 근방
V
∋
x
{\displaystyle V\ni x}
F
(
f
)
=
0
∀
f
∈
D
(
V
)
{\displaystyle F(f)=0\qquad \forall f\in {\mathcal {D}}(V)}
분포의 지지 집합은 (열린집합 들의 합집합의 여집합 이므로) 항상
U
{\displaystyle U}
닫힌집합 이다.
분포
F
∈
D
′
(
U
)
{\displaystyle F\in {\mathcal {D}}'(U)}
특이 지지 집합 (特異支持集合, 영어 : singular support )
s
i
n
g
s
u
p
p
F
{\displaystyle \operatorname {sing\,supp} F}
x
∉
s
i
n
g
s
u
p
p
F
{\displaystyle x\not \in \operatorname {sing\,supp} F}
x
{\displaystyle x}
열린 근방
V
∋
x
{\displaystyle V\ni x}
F
|
V
{\displaystyle F|_{V}}
매끄러운 함수 이다. 즉,
T
f
=
F
|
V
{\displaystyle T_{f}=F|_{V}}
f
∈
C
∞
(
V
)
{\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(V)}
분포의 특이 지지 집합 역시
U
{\displaystyle U}
닫힌집합 이다.
특이 지지 집합과 관련된 개념으로 파면 집합
열린집합
U
{\displaystyle U}
F
∈∈
D
′
(
U
)
{\displaystyle F\in \in {\mathcal {D}}'(U)}
부분 집합
V
⊆
U
{\displaystyle V\subseteq U}
ι
V
U
:
D
(
V
)
↪
D
(
U
)
{\displaystyle \iota _{VU}\colon {\mathcal {D}}(V)\hookrightarrow {\mathcal {D}}(U)}
ι
V
U
:
f
↦
(
x
↦
{
f
(
x
)
x
∈
V
0
x
∈
U
∖
V
)
{\displaystyle \iota _{VU}\colon f\mapsto \left(x\mapsto {\begin{cases}f(x)&x\in V\\0&x\in U\setminus V\end{cases}}\right)}
F
{\displaystyle F}
V
{\displaystyle V}
제한 (영어 : restriction )은 다음과 같다.
F
|
V
∈
D
′
(
V
)
{\displaystyle F|_{V}\in {\mathcal {D}}'(V)}
F
|
V
:
f
↦
F
(
ι
V
U
f
)
{\displaystyle F|_{V}\colon f\mapsto F(\iota _{VU}f)}
이에 따라, 분포 공간은 실수 벡터 공간 의 층 을 이룬다.
일반적으로, 분포
F
∈
D
′
(
U
)
{\displaystyle F\in {\mathcal {D}}'(U)}
x
∈
U
{\displaystyle x\in U}
x
{\displaystyle x}
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
x
∉
s
i
n
g
s
u
p
p
F
{\displaystyle x\not \in \operatorname {sing\,supp} F}
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
매끄러운 함수 의 값으로 정의할 수 있다. 또한, 다른 층 과 마찬가지로,
F
{\displaystyle F}
x
{\displaystyle x}
싹 을 정의할 수 있다.
부분 적분 공식에 따라, 분포의 미분
∂
∂
x
i
F
:
f
↦
−
F
(
∂
∂
x
i
f
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{i}}}F\colon f\mapsto -F\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}f\right)}
이를 일반화하여, 임의의 다중지표
α
∈
N
n
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{n}}
F
{\displaystyle F}
∂
α
F
{\displaystyle \partial ^{\alpha }F}
∂
α
F
:
f
↦
(
−
1
)
|
α
|
F
(
∂
α
f
)
{\displaystyle \partial ^{\alpha }F\colon f\mapsto (-1)^{|\alpha |}F(\partial ^{\alpha }f)}
두 분포의 곱셈은 일반적으로 정의할 수 없다.[ 2]
쌍선형이다.
곱 규칙 이 성립한다.두 국소 적분 가능 함수의 (함수로서의) 곱셈은 분포로서의 곱셈과 일치한다. 예를 들어, 실수선 위의 단위 계단 함수
θ
(
x
)
=
{
0
x
<
0
1
x
>
1
{\displaystyle \theta (x)={\begin{cases}0&x<0\\1&x>1\end{cases}}}
를 생각하자. 그렇다면 함수의 곱셈으로서 임의의 양의 정수
n
{\displaystyle n}
θ
=
θ
n
{\displaystyle \theta =\theta ^{n}}
가 성립한다. 양변에 곱 규칙 을 적용하고,
n
>
1
{\displaystyle n>1}
δ
=
n
θ
n
−
1
δ
=
n
θ
δ
{\displaystyle \delta =n\theta ^{n-1}\delta =n\theta \delta }
가 된다 (
δ
{\displaystyle \delta }
디랙 델타 분포 ). 이는 임의의
n
>
1
{\displaystyle n>1}
δ
=
n
θ
δ
=
0
{\displaystyle \delta =n\theta \delta =0}
다만, 두 분포의 파면 집합 이 적절한 조건을 만족시킨다면 그 곱셈을 정의할 수 있다.[ 3] :Theorem 13 매끄러운 함수 라면, 분포와 함수의 곱셈을 다음과 같이 정의할 수 있다. 임의의
F
∈
D
′
(
U
)
{\displaystyle F\in {\mathcal {D}}'(U)}
f
∈
C
∞
(
U
)
{\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(U)}
f
F
:
g
↦
F
(
f
g
)
{\displaystyle fF\colon g\mapsto F(fg)}
이에 따라,
D
′
(
U
)
{\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}
가환환
C
∞
(
U
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(U)}
가군 을 이루며, 나아가 가환환층
C
∞
(
U
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(U)}
가군층 을 이룬다.
시험 함수의 푸리에 변환은 일반적으로 시험 함수가 아니므로, 분포 공간 전체에 푸리에 변환을 정의할 수 없다. 그러나 시험 함수 대신 푸리에 변환에 대하여 닫힌 더 큰 공간인 슈바르츠 함수 를 사용하면, 조절 분포
분포 공간
D
′
(
U
)
{\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}
연속 쌍대 공간 이므로, 그 위에 다양한 위상이 존재한다. 흔히 사용되는 위상은 다음과 같다.
U
{\displaystyle U}
국소 적분 가능 함수 (영어 : locally integrable function )란 다음 조건을 만족시키는 함수
f
:
U
→
R
{\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }
임의의 콤팩트 집합
K
⊂
U
{\displaystyle K\subset U}
(
|
f
|
)
|
K
{\displaystyle (|f|)|_{K}}
르베그 적분 가능 함수이다. 모든 연속 함수 와 임의의
p
{\displaystyle p}
Lp 함수 는 국소 적분 가능 함수이다. 국소 적분 가능 함수의 공간을
L
loc
1
(
U
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{loc}}^{1}(U)}
Lp 공간 과 마찬가지로, 임의의
f
,
g
∈
L
loc
1
(
U
)
{\displaystyle f,g\in {\mathcal {L}}_{\text{loc}}^{1}(U)}
f
−
g
{\displaystyle f-g}
거의 어디서나 0인 경우
f
∼
g
{\displaystyle f\sim g}
L
loc
1
(
U
)
=
L
loc
1
(
U
)
/
∼
{\displaystyle L_{\text{loc}}^{1}(U)={\mathcal {L}}_{\text{loc}}^{1}(U)/{\sim }}
으로 정의하자.
국소 적분 가능 함수
f
{\displaystyle f}
T
f
∈
D
′
(
U
)
{\displaystyle T_{f}\in {\mathcal {D}}'(U)}
T
f
:
D
(
U
)
→
R
{\displaystyle T_{f}\colon {\mathcal {D}}(U)\to \mathbb {R} }
T
f
:
g
↦
∫
U
f
g
{\displaystyle T_{f}\colon g\mapsto \int _{U}fg}
(이는 항상 연속 함수 라는 것을 보일 수 있다.) 따라서, 이는 실수 벡터 공간의 단사 선형 변환
T
:
L
loc
1
(
U
)
↪
D
′
(
U
)
{\displaystyle T\colon L_{\text{loc}}^{1}(U)\hookrightarrow {\mathcal {D}}'(U)}
을 정의한다.
U
{\displaystyle U}
라돈 측도
μ
{\displaystyle \mu }
T
μ
∈
D
′
(
U
)
{\displaystyle T_{\mu }\in {\mathcal {D}}'(U)}
T
μ
:
D
(
U
)
→
R
{\displaystyle T_{\mu }\colon {\mathcal {D}}(U)\to \mathbb {R} }
T
μ
:
g
↦
∫
U
g
d
μ
{\displaystyle T_{\mu }\colon g\mapsto \int _{U}g\,d\mu }
반대로, 분포
F
∈
D
′
(
U
)
{\displaystyle F\in {\mathcal {D}}'(U)}
∀
f
∈
D
(
U
)
:
(
∀
x
∈
U
:
f
(
x
)
≥
0
)
⟹
F
(
f
)
≥
0
{\displaystyle \forall f\in {\mathcal {D}}(U)\colon (\forall x\in U\colon f(x)\geq 0)\implies F(f)\geq 0}
그렇다면,
T
μ
=
f
{\displaystyle T_{\mu }=f}
라돈 측도
μ
{\displaystyle \mu }
리스 표현 정리 와 유사하다.
하지만 위 조건이 성립하지 않을 경우, 일반적인 분포는 (부호 붙은) 측도로 나타낼 수 없다. 예를 들어, 실수선 위의, 디랙 델타 분포 의 미분
δ
′
{\displaystyle \delta '}
열린집합
U
⊆
R
n
{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
F
∈
D
′
(
U
)
{\displaystyle F\in {\mathcal {D}}'(U)}
다중지표 와 연속 함수 들
(
α
1
,
f
1
)
,
…
,
(
α
k
,
f
k
)
{\displaystyle (\alpha _{1},f_{1}),\dots ,(\alpha _{k},f_{k})}
F
=
∑
i
=
1
k
∂
α
k
f
k
{\displaystyle F=\sum _{i=1}^{k}\partial ^{\alpha _{k}}f_{k}}
다시 말해, 분포 공간은 연속 함수 들의 모든 유한차 미분을 포함하는 최소의 벡터 공간 이다.
모든 국소 적분 가능 함수 는 분포를 이룬다. 마찬가지로, 모든 라돈 측도 역시 분포를 이룬다. 보다 일반적으로, 부호 붙은 라돈 측도, 즉 두 라돈 측도의 차
μ
+
−
μ
−
{\displaystyle \mu _{+}-\mu _{-}}
실수선 위에 다음과 같은 연속 함수 를 생각하자.
f
(
x
)
=
max
{
x
,
0
}
{\displaystyle f(x)=\max\{x,0\}}
이 함수에 도함수를 취하면, 다음과 같은 분포들을 얻는다.
f
′
(
x
)
{\displaystyle f'(x)}
단위 계단 함수 이다. 이는 국소 적분 가능 함수로 나타낼 수 있지만, 연속 함수가 아니다.
f
″
(
x
)
=
δ
(
x
)
{\displaystyle f''(x)=\delta (x)}
디랙 델타 분포 이다. 이는 더 이상 함수가 아니지만, 라돈 측도 이며, 다음과 같다.
∫
δ
(
x
)
g
(
x
)
=
g
(
0
)
{\displaystyle \int \delta (x)g(x)=g(0)}
f
″
(
x
)
=
δ
′
(
x
)
{\displaystyle f''(x)=\delta '(x)}
라돈 측도 조차 아니며, 다음과 같다.
∫
δ
′
(
x
)
g
(
x
)
=
−
∫
g
′
(
x
)
δ
(
0
)
=
−
g
′
(
0
)
∀
g
∈
D
(
R
)
{\displaystyle \int \delta '(x)g(x)=-\int g'(x)\delta (0)=-g'(0)\qquad \forall g\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )}
계속해서 도함수를 취하면, 다음과 같다.
∫
δ
(
n
)
(
x
)
g
(
x
)
=
(
−
1
)
n
g
(
n
)
(
0
)
∀
g
∈
D
(
R
)
{\displaystyle \int \delta ^{(n)}(x)g(x)=(-1)^{n}g^{(n)}(0)\qquad \forall g\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )}
실수선 위에,
f
(
x
)
=
x
(
ln
|
x
|
−
1
)
{\displaystyle f(x)=x(\ln |x|-1)}
연속 함수 를 이룬다. 이 함수의 도함수들은 다음과 같다.
f
′
(
x
)
=
ln
|
x
|
{\displaystyle f'(x)=\ln |x|}
국소 적분 가능 함수 이다.
f
″
(
x
)
=
pv
1
/
x
{\displaystyle f''(x)=\operatorname {pv} 1/x}
pv
{\displaystyle \operatorname {pv} }
코시 주요값 이다.)
∫
f
″
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
ϵ
→
0
+
(
∫
−
ϵ
ϵ
f
″
(
x
)
g
(
x
)
+
∫
ϵ
∞
g
(
x
)
−
g
(
−
x
)
x
)
=
lim
ϵ
→
0
+
(
g
(
ϵ
)
−
g
(
−
ϵ
)
2
ϵ
2
ϵ
ln
|
ϵ
|
−
(
g
′
(
ϵ
)
+
g
′
(
−
ϵ
)
)
ϵ
(
ln
|
ϵ
|
−
1
)
+
∫
−
ϵ
ϵ
x
(
ln
|
x
|
−
1
)
g
″
(
x
)
+
∫
ϵ
∞
g
(
x
)
−
g
(
−
x
)
x
)
=
lim
ϵ
→
0
+
∫
ϵ
∞
g
(
x
)
−
g
(
−
x
)
x
=
pv
∫
g
(
x
)
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\int f''(x)g(x)&=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left(\int _{-\epsilon }^{\epsilon }f''(x)g(x)+\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {g(x)-g(-x)}{x}}\right)\\&=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left({\frac {g(\epsilon )-g(-\epsilon )}{2\epsilon }}2\epsilon \ln |\epsilon |-\left(g'(\epsilon )+g'(-\epsilon )\right)\epsilon (\ln |\epsilon |-1)+\int _{-\epsilon }^{\epsilon }x(\ln |x|-1)g''(x)+\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {g(x)-g(-x)}{x}}\right)\\&=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {g(x)-g(-x)}{x}}\\&=\operatorname {pv} \int {\frac {g(x)}{x}}\end{aligned}}}
f
‴
(
x
)
=
−
fp
1
/
x
2
{\displaystyle f'''(x)=-\operatorname {fp} 1/x^{2}}
fp
{\displaystyle \operatorname {fp} }
아다마르 유한 성분 (프랑스어 : partie finie )이다.)
∫
f
‴
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
ϵ
→
0
+
(
∫
−
ϵ
ϵ
f
‴
(
x
)
g
(
x
)
−
∫
ϵ
∞
g
(
x
)
+
g
(
−
x
)
x
2
)
=
lim
ϵ
→
0
+
(
[
f
″
(
x
)
g
(
x
)
]
−
ϵ
ϵ
−
[
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
]
−
ϵ
ϵ
+
[
f
(
x
)
g
″
(
x
)
]
−
ϵ
ϵ
−
∫
−
ϵ
ϵ
f
(
x
)
g
‴
(
x
)
−
∫
ϵ
∞
g
(
x
)
+
g
(
−
x
)
x
2
)
=
lim
ϵ
→
0
+
(
g
(
ϵ
)
+
g
(
−
ϵ
)
ϵ
+
0
+
0
+
0
−
∫
ϵ
∞
g
(
x
)
+
g
(
−
x
)
x
2
)
=
lim
ϵ
→
0
+
(
2
g
(
0
)
/
ϵ
+
0
+
0
+
0
−
∫
ϵ
∞
g
(
x
)
+
g
(
−
x
)
x
2
)
=
−
pf
∫
g
(
x
)
x
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\int f'''(x)g(x)&=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left(\int _{-\epsilon }^{\epsilon }f'''(x)g(x)-\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {g(x)+g(-x)}{x^{2}}}\right)\\&=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left([f''(x)g(x)]_{-\epsilon }^{\epsilon }-[f'(x)g'(x)]_{-\epsilon }^{\epsilon }+[f(x)g''(x)]_{-\epsilon }^{\epsilon }-\int _{-\epsilon }^{\epsilon }f(x)g'''(x)-\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {g(x)+g(-x)}{x^{2}}}\right)\\&=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left({\frac {g(\epsilon )+g(-\epsilon )}{\epsilon }}+0+0+0-\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {g(x)+g(-x)}{x^{2}}}\right)\\&=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left(2g(0)/\epsilon +0+0+0-\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {g(x)+g(-x)}{x^{2}}}\right)\\&=-\operatorname {pf} \int {\frac {g(x)}{x^{2}}}\end{aligned}}}
보다 일반적으로,
f
(
n
)
=
(
−
1
)
n
pf
x
1
−
n
{\displaystyle f^{(n)}=(-1)^{n}\operatorname {pf} x^{1-n}}
∫
f
(
n
)
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
ϵ
→
0
+
(
∫
−
ϵ
ϵ
f
(
n
)
(
x
)
g
(
x
)
+
∫
ϵ
∞
g
(
x
)
+
(
−
1
)
n
−
1
g
(
−
x
)
x
n
−
1
)
=
lim
ϵ
→
0
+
(
∑
i
=
0
n
−
1
(
−
)
i
[
f
(
n
−
1
−
i
)
g
(
i
)
]
−
ϵ
ϵ
+
(
−
1
)
n
∫
−
ϵ
ϵ
f
(
x
)
g
(
n
)
(
x
)
+
∫
ϵ
∞
g
(
x
)
+
(
−
1
)
n
−
1
g
(
−
x
)
x
n
−
1
)
=
lim
ϵ
→
0
+
(
2
∑
j
=
0
⌊
(
n
−
3
)
/
2
⌋
ϵ
−
2
j
−
1
g
(
n
−
2
j
−
3
)
(
0
)
∑
k
=
0
n
−
2
j
−
3
1
k
!
+
∫
ϵ
∞
(
−
1
)
n
g
(
x
)
−
g
(
−
x
)
x
n
−
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\int f^{(n)}(x)g(x)&=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left(\int _{-\epsilon }^{\epsilon }f^{(n)}(x)g(x)+\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {g(x)+(-1)^{n-1}g(-x)}{x^{n-1}}}\right)\\&=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left(\sum _{i=0}^{n-1}(-)^{i}[f^{(n-1-i)}g^{(i)}]_{-\epsilon }^{\epsilon }+(-1)^{n}\int _{-\epsilon }^{\epsilon }f(x)g^{(n)}(x)+\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {g(x)+(-1)^{n-1}g(-x)}{x^{n-1}}}\right)\\&=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left(2\sum _{j=0}^{\lfloor (n-3)/2\rfloor }\epsilon ^{-2j-1}g^{(n-2j-3)}(0)\sum _{k=0}^{n-2j-3}{\frac {1}{k!}}+\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}g(x)-g(-x)}{x^{n-1}}}\right)\\\end{aligned}}}
사토 초함수 영어 : Sato hyperfunction )는 분포와 유사하지만, 정칙 함수 를 기반으로 하는 이론이다.
콜롱보 대수 영어 : Colombeau algebra )는 분포와 달리 곱셈이 정의되는 일반화 함수 이론이다. 콜롱보 대수의 원소는 분포로 수렴하는 함수열로 구성되는데, 콜롱보 대수에서의 곱셈은 일반적으로 함수열에 의존한다.
흐름 (영어 : current )은 분포의 개념을 미분 형식 으로 일반화한 것이며, 조르주 드 람 이 도입하였다.
n
{\displaystyle n}
유클리드 공간 에서
n
{\displaystyle n}
매끄러운 다양체 에서는 이는 성립하지 않는다.
↑ “초함수 (distribution, generalized function )” . 《과학백과》. 북한과학기술네트워크. [깨진 링크 (과거 내용 찾기 )] ↑ 가 나 Schwartz, L. (1954). “Sur l’impossibilité de la multiplication des distributions”. 《Comptes Rendus de l’Académie des Sciences》 (프랑스어) 239 : 847–848. Zbl 0056.10602 . ↑ Brouder, Christian; Nguyen Viet Dang; Hélein, Frédéric (2014년 11월 7일). “A smooth introduction to the wavefront set”. 《Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical》 (영어) 47 (44): 443001. arXiv :1404.1778 . doi :10.1088/1751-8113/47/44/443001 . ↑ Soboleff, S. (1936), “Méthode nouvelle à résoudre le problème de Cauchy pour les équations linéaires hyperboliques normales” , 《Математический сборник》 (프랑스어) 1 (1): 39–72, JFM 62.0568.01 , Zbl 0014.05902 ↑ Schwartz, Laurent (1950). 《Théorie des distributions. Tome 1》. Actualités scientifiques et industrielles (프랑스어) 1091 . 파리 : Hermann et Compagnie. Zbl 0037.07301 . ↑ Schwartz, Laurent (1951). 《Théorie des distributions. Tome 2》. Actualités scientifiques et industrielles (프랑스어) 1122 . 파리 : Hermann et Compagnie. Zbl 0042.11405 .
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![{\displaystyle {\begin{aligned}\int f'''(x)g(x)&=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left(\int _{-\epsilon }^{\epsilon }f'''(x)g(x)-\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {g(x)+g(-x)}{x^{2}}}\right)\\&=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left([f''(x)g(x)]_{-\epsilon }^{\epsilon }-[f'(x)g'(x)]_{-\epsilon }^{\epsilon }+[f(x)g''(x)]_{-\epsilon }^{\epsilon }-\int _{-\epsilon }^{\epsilon }f(x)g'''(x)-\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {g(x)+g(-x)}{x^{2}}}\right)\\&=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left({\frac {g(\epsilon )+g(-\epsilon )}{\epsilon }}+0+0+0-\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {g(x)+g(-x)}{x^{2}}}\right)\\&=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left(2g(0)/\epsilon +0+0+0-\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {g(x)+g(-x)}{x^{2}}}\right)\\&=-\operatorname {pf} \int {\frac {g(x)}{x^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b42cae2f9a421168a4dd332cb57e5569d005f821)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int f^{(n)}(x)g(x)&=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left(\int _{-\epsilon }^{\epsilon }f^{(n)}(x)g(x)+\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {g(x)+(-1)^{n-1}g(-x)}{x^{n-1}}}\right)\\&=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left(\sum _{i=0}^{n-1}(-)^{i}[f^{(n-1-i)}g^{(i)}]_{-\epsilon }^{\epsilon }+(-1)^{n}\int _{-\epsilon }^{\epsilon }f(x)g^{(n)}(x)+\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {g(x)+(-1)^{n-1}g(-x)}{x^{n-1}}}\right)\\&=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\left(2\sum _{j=0}^{\lfloor (n-3)/2\rfloor }\epsilon ^{-2j-1}g^{(n-2j-3)}(0)\sum _{k=0}^{n-2j-3}{\frac {1}{k!}}+\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}g(x)-g(-x)}{x^{n-1}}}\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82f684ed22237409327607350f6375b2cb662d2a)