브라마굽타 공식

기하학에서 브라마굽타 공식(Brahmagupta公式, 영어: Brahmagupta's formula)은 원에 내접하는 사각형의 넓이를 네 변의 길이에 대한 대칭 함수로 나타내는 공식이다.

정의

내접 사각형 $ABCD$ 의 네 변의 길이를 $AB=a$ , $BC=b$ , $CD=c$ , $DA=d$ 라고 하자. 브라마굽타 공식에 따르면, 이 사각형의 넓이는 다음과 같다.

S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}

여기서

s={\frac {a+b+c+d}{2}}

는 반둘레이다.

증명

삼각법 증명

내접 사각형의 두 대각은 서로 보각이라는 성질에 의하여,

B+D=180^{\circ }

이다. 삼각형 $ABC$ 와 $ACD$ 에 코사인 법칙을 적용하면 각각

AC^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos B

와

{\begin{aligned}AC^{2}&=c^{2}+d^{2}-2cd\cos D\\&=c^{2}+d^{2}+2cd\cos B\end{aligned}}

를 얻으며, 이를 연립하면

2(ab+cd)\cos B=a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}

를 얻는다. 사각형 $ABCD$ 의 넓이는 삼각형 $ABC$ 와 $ACD$ 의 넓이의 합이므로,

{\begin{aligned}S&={\frac {1}{2}}ab\sin B+{\frac {1}{2}}cd\sin D\\&={\frac {1}{2}}(ab+cd)\sin B\end{aligned}}

이다. 따라서

{\begin{aligned}16S^{2}&=4(ab+cd)^{2}\sin ^{2}B\\&=4(ab+cd)^{2}-4(ab+cd)^{2}\cos ^{2}B\\&=(2ab+2cd)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}\\&=(2ab+2cd-a^{2}-b^{2}+c^{2}+d^{2})(2ab+2cd+a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})\\&=((c+d)^{2}-(a-b)^{2})((a+b)^{2}-(c-d)^{2})\\&=(c+d-a+b)(c+d+a-b)(a+b-c+d)(a+b+c-d)\\&=2(s-a)\cdot 2(s-b)\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-d)\\&=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)\end{aligned}}

가 성립한다.

특수한 경우

헤론의 공식

헤론의 공식은 브라마굽타 공식의 특수한 경우이다. 브라마굽타 정리에서 두 꼭짓점 C와 D가 같다고 하면, 사각형 ABCD는 삼각형 ABC가 되고, d=0, s=1/2(a+b+c)가 되어, 삼각형 ABC의 넓이는

S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}

가 된다.

이중중심 사각형의 넓이

외, 내접을 모두하는 사각형 $ABCD$ 의 네 변의 길이를 $AB=a$ , $BC=b$ , $CD=c$ , $DA=d$ 라고 하자. 그렇다면 이 사각형의 넓이는 다음과 같다.

S={\sqrt {abcd}}

이는 이 사각형이 내접 사각형이므로 브라마굽타 공식이 성립하고, 또한 외접 사각형이므로

a+c=b+d=s

이기 때문이다.

일반화

브레치나이더 공식

브레치나이더 공식(Bretschneider公式, 영어: Bretschneider's formula)은 브라마굽타 공식을 원에 내접하지 않을 수 있는 임의의 사각형에까지 일반화한다. 이에 따르면, 임의의 사각형 $ABCD$ 의 네 변의 길이를 $AB=a$ , $BC=b$ , $CD=c$ , $DA=d$ 라고 하고, 반둘레를 $s$ , 넓이를 $S$ 라고 할 경우 다음이 성립한다.

S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}{\frac {A+C}{2}}}}

내접 사각형에서는 $A+C=180^{\circ }$ 이므로

\cos {\frac {A+C}{2}}=0

이다. 즉, 브라마굽타 공식은 브레치나이더 공식의 특수한 경우이다.

역사

인도의 수학자 브라마굽타가 7세기경에 제시하였다.^[1]^{:57, §3.2} 그러나 그는 이에 대한 증명을 제시하지는 않았으며, 사각형이 원에 내접해야 한다고 명시하지도 않았다.^[2]^{:188-189, §9.3}

각주

↑ Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1967). 《Geometry Revisited》 (영어). Buehler, George H. 삽화. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-619-0.
↑ Kline, Morris (1972). 《Mathematical Thoughts from Ancient to Modern Times. Volume 1》 (영어). New York, New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-506135-7.

외부 링크

Weisstein, Eric Wolfgang. “Brahmagupta's formula”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Brahmagupta's formula”. 《ProofWiki》 (영어).

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