수학 에서 급수 란 수열 을 구성하는 항들을 합으로 나타낸 것을 말한다. 급수의 수렴에 관한 논의에서 급수는 무한급수 를 말하며, 주요 문제는 주어진 급수의 수렴여부와 수렴할 경우 그 합에 관한 것이다. 수렴급수라고 해도 그 합이 알려져 있지 않은 경우가 많다.
급수
∑
j
=
1
∞
a
j
=
a
1
+
a
2
+
a
3
+
⋯
{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots \,}
의
n
{\displaystyle n\,}
번째 부분합 을
S
n
=
∑
j
=
1
n
a
j
{\displaystyle S_{n}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}\,}
이라고 할 때 부분합이 이루는 수열
{
S
n
}
{\displaystyle \{S_{n}\}\,}
이 수렴 하면 급수
∑
j
=
1
∞
a
j
{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\,}
를 수렴급수 (convergent series)라고 한다.
즉, 부분합이 이루는 수열
{
S
n
}
{\displaystyle \{S_{n}\}\,}
이 어떤 고정된 유한한 수
S
{\displaystyle S\,}
에 수렴하여
lim
n
→
∞
S
n
=
S
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }S_{n}=S\,}
와 같이 쓸 수 있으면
∑
j
=
1
∞
a
j
{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\,}
를 수렴급수 또는 급수
∑
j
=
1
∞
a
j
{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\,}
이
S
{\displaystyle S\,}
로 수렴한다고 한다. 이때
S
{\displaystyle S\,}
를 급수
∑
j
=
1
∞
a
j
{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\,}
의 합 (sum)이라고 한다.
이 관계는
lim
n
→
∞
S
n
=
lim
n
→
∞
(
∑
j
=
1
n
a
j
)
=
∑
j
=
1
∞
a
j
=
S
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }S_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{j=1}^{n}a_{j}\right)=\sum _{j=1}^{\infty }a_{j}=S\,}
와 같이 이해할 수 있다. 수렴급수가 아닌 급수를 발산급수 (divergent series)라고 한다.
수렴급수
∑
j
=
1
∞
(
−
1
)
j
+
1
1
j
=
1
1
−
1
2
+
1
3
−
1
4
+
1
5
−
1
6
+
⋯
=
ln
2.
{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }(-1)^{j+1}{\frac {1}{j}}={1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-{1 \over 6}+\cdots =\ln 2.}
∑
j
=
1
∞
1
2
j
−
1
=
1
1
+
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
+
⋯
=
2.
{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{j-1}}}={1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots =2.}
∑
j
=
1
∞
1
j
2
=
1
1
+
1
4
+
1
9
+
1
16
+
1
25
+
1
36
+
⋯
=
π
2
6
.
{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }{\frac {1}{j^{2}}}={1 \over 1}+{1 \over 4}+{1 \over 9}+{1 \over 16}+{1 \over 25}+{1 \over 36}+\cdots ={\pi ^{2} \over 6}.}
∑
j
=
1
∞
1
j
3
=
1
1
+
1
8
+
1
27
+
⋯
{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }{\frac {1}{j^{3}}}={1 \over 1}+{1 \over 8}+{1 \over 27}+\cdots }
(수렴급수이지만 그 정확한 합은 알려져 있지 않다.)
발산급수
∑
j
=
1
∞
(
−
1
)
j
=
−
1
+
1
−
1
+
⋯
.
{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }(-1)^{j}=-1+1-1+\cdots .}
∑
j
=
1
∞
1
j
=
1
1
+
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
+
⋯
.
{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }{\frac {1}{j}}={1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+\cdots .}
∑
j
=
1
∞
2
j
−
1
5
j
=
1
5
+
3
10
+
5
15
⋯
.
{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }{\frac {2j-1}{5j}}={\frac {1}{5}}+{\frac {3}{10}}+{\frac {5}{15}}\cdots .}
두 수렴급수
∑
j
=
1
∞
a
j
{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\,}
,
∑
j
=
1
∞
b
j
{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }b_{j}\,}
의 합을 각각
A
,
B
{\displaystyle A,\,B\,}
라고 하면 다음이 성립한다.
∑
j
=
1
∞
α
a
j
=
α
∑
j
=
1
∞
a
j
=
α
A
{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }\alpha a_{j}=\alpha \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}=\alpha A\,}
, (
α
:
{\displaystyle \alpha :}
상수)
∑
j
=
1
∞
(
a
j
±
b
j
)
=
∑
j
=
1
∞
a
j
±
∑
j
=
1
∞
b
j
=
A
±
B
{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }(a_{j}\pm b_{j})=\sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\pm \sum _{j=1}^{\infty }b_{j}=A\pm B\,}
급수의 수렴여부를 판정하는 방법은 여러 가지가 알려져 있다. 그러나 어떤 한 가지 방법으로 모든 급수의 수렴여부를 판정하는 것은 어려운 일이다. 또한 수렴여부의 판정이 수렴급수의 합에 대한 정보를 주는 것이 아니므로 수렴급수의 합을 구하는 것은 또 다른 문제이다.
발산판정법 (divergence test):급수
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}
이 수렴하면
lim
n
→
∞
a
n
=
0
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0\,}
이다. 따라서
lim
n
→
∞
a
n
=
0
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0\,}
이 아닌 급수
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}
는 발산급수이다. 이를 이용하여 급수의 발산을 판정하는 방법을 발산판정법(divergence test)이라고 한다.
∑
n
=
1
∞
2
n
4
n
+
1
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2n}{4n+1}}\,}
은
lim
n
→
∞
2
n
4
n
+
1
=
1
2
≠
0
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {2n}{4n+1}}={\frac {1}{2}}\neq 0\,}
이므로 발산급수이다.
급수
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}
이 조건
lim
n
→
∞
a
n
=
0
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0\,}
을 만족한다해도 수렴급수가 아닐 수도 있다.
비교판정법 (comparision test): 급수
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}
의 수렴여부를 판정하기 위해 항
a
n
{\displaystyle a_{n}\,}
과 이미 수렴여부가 알려진 급수
∑
n
=
1
∞
b
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}
의 항
b
n
{\displaystyle b_{n}\,}
를 비교하여 수렴여부를 결정하는 판정법이다. 비교판정법의 내용은 다음과 같다. 모든
n
{\displaystyle n\,}
에 대해
0
≤
a
n
≤
b
n
{\displaystyle 0\leq \ a_{n}\leq \ b_{n}\,}
이고,
∑
n
=
1
∞
b
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\,}
이 수렴급수이면
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}
도 수렴급수이다.
0
≤
b
n
≤
a
n
{\displaystyle 0\leq \ b_{n}\leq \ a_{n}\,}
이고,
∑
n
=
1
∞
b
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\,}
이 발산급수이면
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}
도 발산급수이다.
비판정법 (ratio test): 급수
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}
의 수렴여부를 판정하기 위해 인접한 두 항
a
n
,
a
n
+
1
{\displaystyle a_{n},\,a_{n+1}}
의 비(ratio)의 극한을 이용하는 방법이다. 비판정법의 내용은 다음과 같다. 모든
n
{\displaystyle n\,}
에 대해
a
n
>
0
{\displaystyle a_{n}>0\,}
이고
lim
n
→
∞
a
n
+
1
a
n
=
r
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=r}
일 때
r < 1 이면
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}
은 수렴급수이다.
r > 1 이면
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}
은 발산급수이다.
r = 1 이면 비판정법으로 급수
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}
의 수렴여부를 결정할 수 없다.(즉, 수렴여부의 결정을 위해 다른 방법을 이용해야 한다.)
근판정법 (root test): 급수
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}
의 수렴여부를 판정하기 위해 항
a
n
{\displaystyle a_{n}}
의 n 제곱근(n-th root)의 극한을 이용하는 방법이다. 근판정법의 내용은 다음과 같다. 모든
n
{\displaystyle n\,}
에 대해
a
n
≥
0
{\displaystyle a_{n}\geq 0\,}
이고
lim
n
→
∞
(
a
n
)
1
n
=
r
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n})^{\frac {1}{n}}=r}
일 때
r < 1 이면
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}
은 수렴급수이다.
r > 1 이면
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}
은 발산급수이다.
r = 1 이면 근판정법으로 급수
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}
의 수렴여부를 결정할 수 없다.(즉, 수렴여부의 결정을 위해 다른 방법을 이용해야 한다.)
적분판정법 (integral test): 주어진 급수를 이상적분 과 연계시켜 수렴여부를 판정하는 방법이다.
f
{\displaystyle f\,}
를 구간
[
1
,
∞
)
{\displaystyle [1,\infty )\,}
에서 양의 값을 갖는 단조감소 하는 연속함수 라고 하자.
만약 모든 n 에 대해
f
(
n
)
=
a
n
{\displaystyle f(n)=a_{n}\,}
이고
∫
1
∞
f
(
x
)
d
x
=
lim
t
→
∞
∫
1
t
f
(
x
)
d
x
<
∞
,
{\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,}
이면
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}
는 수렴급수이다. 그러나 위 이상적분 이 존재하지 않으면
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}
는 발산급수이다.
이외에도 극한비교판정법 , 교대급수 에 대한 수렴판정법, 코시의 수렴판정법, 디리클레 판정법, 아벨의 판정법 등이 있다.
급수
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}
의 모든 항이 음이 아닌 값을 가지면(
a
n
≥
0
{\displaystyle a_{n}\geq 0\,}
),
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}
을 양항급수라고 한다. 비교판정법, 비판정법, 근판정법, 적분판정법은 모두 양항급수의 수렴여부를 판정하는 방법이다. 절대수렴의 개념은 양항급수가 아닌 경우에도 이들 판정법을 이용하여 급수의 수렴여부를 판정할 수 있게 해준다.
절대수렴 : 급수
∑
j
=
1
∞
|
a
j
|
{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }|a_{j}|\,}
가 수렴하면
∑
j
=
1
∞
a
j
{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\,}
가 절대수렴한다고 한다. 절대수렴하는 급수는 수렴급수이다. 즉
∑
j
=
1
∞
|
a
j
|
{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }|a_{j}|\,}
가 수렴하면
∑
j
=
1
∞
a
j
{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\,}
도 수렴한다.
조건수렴 :
∑
j
=
1
∞
a
j
{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\,}
는 수렴하지만,
∑
j
=
1
∞
|
a
j
|
{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }|a_{j}|\,}
가 발산하면
∑
j
=
1
∞
a
j
{\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }a_{j}\,}
를 조건수렴한다고 한다.
급수
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
1
n
=
1
−
1
2
+
1
3
−
⋯
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {1}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-\cdots \,}
은 수렴급수이지만,
∑
n
=
1
∞
|
(
−
1
)
n
+
1
1
n
|
=
1
+
1
2
+
1
3
+
⋯
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|(-1)^{n+1}{\frac {1}{n}}\right|=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots \,}
는 발산하므로
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
1
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {1}{n}}\,}
은 절대수렴하지 않는다. 그러므로
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
1
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {1}{n}}\,}
은 조건수렴하는 급수이다.