수반 행렬 은 여기로 연결됩니다. 여인자 행렬의 전치 행렬에 대해서는
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선형대수학 에서, 어떤 복소수 행렬 의 켤레 전치 (-轉置, 영어 : conjugate transpose ) 또는 에르미트 전치 (-轉置, 영어 : Hermitian transpose ) 또는 에르미트 수반 (-隨伴, 영어 : Hermitian adjoint ) 또는 수반 행렬 (隨伴行列, 영어 : adjoint matrix ) 또는 딸림 행렬 (-行列)은 그 행렬의 전치 행렬 을 취한 뒤 성분별 켤레 복소수 를 취하여 얻는 행렬이다. 실수 행렬의 전치 행렬과 복소수 의 켤레 복소수의 공통적인 일반화이다. 기호는
A
∗
{\displaystyle A^{*}}
A
H
{\displaystyle A^{\operatorname {H} }}
A
†
{\displaystyle A^{\dagger }}
복소수
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
행렬
A
{\displaystyle A}
켤레 전치 는 다음과 같은
n
×
m
{\displaystyle n\times m}
A
∗
{\displaystyle A^{*}}
A
∗
=
A
T
¯
=
A
¯
T
{\displaystyle A^{*}={\overline {A^{\operatorname {T} }}}={\overline {A}}^{\operatorname {T} }}
즉, 각 위치의 성분은 다음과 같다.
A
i
j
∗
=
A
j
i
¯
{\displaystyle A_{ij}^{*}={\overline {A_{ji}}}}
보다 일반적으로, 복소수 내적 공간
V
,
W
{\displaystyle V,W}
T
:
V
→
W
{\displaystyle T\colon V\to W}
켤레 전치 선형 변환 (영어 : adjoint linear transformation )은 다음 조건을 만족시키는 선형 변환
T
∗
:
W
→
V
{\displaystyle T^{*}\colon W\to V}
임의의
v
∈
V
{\displaystyle v\in V}
w
∈
W
{\displaystyle w\in W}
⟨
T
v
,
w
⟩
=
⟨
v
,
T
∗
w
⟩
{\displaystyle \langle Tv,w\rangle =\langle v,T^{*}w\rangle }
복소수를 실수로 이루어진 2×2 행렬과 동치라고 하면 행렬의 덧셈과 곱셈이 복소수를 계산한 것과 같은 결과를 보인다는 것이 켤레 전치가 나타나게 된 동기가 되었을 수 있다.
a
+
i
b
≡
(
a
−
b
b
a
)
.
{\displaystyle a+ib\equiv {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}.}
(
a
+
i
b
)
±
(
c
+
i
d
)
≡
(
a
−
b
b
a
)
±
(
c
−
d
d
c
)
=
(
a
±
c
−
(
b
±
d
)
b
±
d
a
±
c
)
≡
(
(
a
±
c
)
+
i
(
b
±
d
)
)
.
{\displaystyle \left(a+ib\right)\pm \left(c+id\right)\equiv {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}\pm {\begin{pmatrix}c&-d\\d&c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\pm c&-\left(b\pm d\right)\\b\pm d&a\pm c\end{pmatrix}}\equiv \left(\left(a\pm c\right)+i\left(b\pm d\right)\right).}
(
a
+
i
b
)
(
c
+
i
d
)
≡
(
a
−
b
b
a
)
(
c
−
d
d
c
)
=
(
a
c
−
b
d
−
(
a
d
+
c
b
)
a
d
+
c
b
a
c
−
b
d
)
≡
(
(
a
c
−
b
d
)
+
i
(
a
d
+
c
b
)
)
.
{\displaystyle \left(a+ib\right)\left(c+id\right)\equiv {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c&-d\\d&c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ac-bd&-\left(ad+cb\right)\\ad+cb&ac-bd\end{pmatrix}}\equiv \left(\left(ac-bd\right)+i\left(ad+cb\right)\right).}
이것은 아르강 도표에서의 선형 변환을 나타내는 2×2 실행렬으로 복소수 z 를 표현할 수 있음을 의미한다.
m ×n 의 복소수 행렬은 이와 같은 방식으로 2m ×2n 의 실행렬으로 표현될 수 있다. 켤레 전치는 이 실행렬을 전치하여 n ×m 의 복소행렬으로 표현하는 과정에서 자연스럽게 등장했다.
켤레 전치는 2차 반쌍선형 반대 동형이다. 즉, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
(
A
+
B
)
∗
=
A
∗
+
B
∗
{\displaystyle (A+B)^{*}=A^{*}+B^{*}}
(
c
A
)
∗
=
c
¯
A
∗
c
∈
C
{\displaystyle (cA)^{*}={\bar {c}}A^{*}\qquad c\in \mathbb {C} }
(
A
B
)
∗
=
B
∗
A
∗
{\displaystyle (AB)^{*}=B^{*}A^{*}}
(
A
∗
)
∗
=
A
{\displaystyle (A^{*})^{*}=A}
유한 차원 내적 공간의 경우, 켤레 전치 선형 변환은 켤레 전치 행렬의 개념과 일치한다. 즉, 서로 켤레 전치 선형 변환은 서로 켤레 전치 행렬을 갖는다. 반대로, 행렬의 왼쪽 곱셈 선형 변환의 켤레 전치 선형 변환은 그 켤레 전치 행렬의 왼쪽 곱셈 선형 변환이다. 즉, 행렬
A
∈
Mat
(
m
,
n
;
C
)
{\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (m,n;\mathbb {C} )}
x
∈
C
n
{\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}
y
∈
C
m
{\displaystyle y\in \mathbb {C} ^{m}}
C
m
{\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}
C
n
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
⟨
A
x
,
y
⟩
=
⟨
x
,
A
∗
y
⟩
{\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle }
만약
A
=
(
1
−
2
−
i
1
+
i
i
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&-2-i\\1+i&i\end{pmatrix}}}
이라면,
A
∗
=
(
1
1
−
i
−
2
+
i
−
i
)
{\displaystyle A^{*}={\begin{pmatrix}1&1-i\\-2+i&-i\end{pmatrix}}}
이다.
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