해석학 에서, 수열 의 극한 (極限, 영어 : limit )은 수열 이 한없이 가까워지는 값이다. 직관적으로, an 이 n 이 커짐에 따라 어떤 고정된 값 a 에 제한이 없이 가까워진다면, (an ) 이 a 로 수렴 (收斂)한다고 하며, a 를 (an ) 의 극한이라고 한다. 어디로도 수렴하지 않는 수열을 발산 (發散)한다고 한다. 예를 들어, 수열 (1/n ) 은 0에 한없이 가까워지므로 수렴하며, 그 극한은 0이다. 반면 수열 ((-1)n 은 어떤 고정된 값에 한없이 가까워지지 않으므로 발산한다. 수열의 극한의 개념은 실수 공간을 비롯한 거리 공간 을 비롯한 위상 공간 에서 논의할 수 있다.
단위원 의 외접 n 각형 의 둘레 의 수열 의 극한은 단위원의 둘레(=2π)와 같다. 단위원의 내접 n 각형 의 둘레의 수열의 극한 역시 이와 같다.
엘레아의 제논 은 극한 과정과 관련된 역설인 제논의 역설 로 유명하다.
레우키포스 · 데모크리토스 · 안티폰 · 크니도스의 에우독소스 · 아르키메데스 는 실진법 , 즉 무한수열에 의한 근사를 통해 넓이나 부피를 구하는 방법을 만들었다. 아르키메데스는 지금은 기하 급수 라고 불리는 것의 합을 구하는 데 성공했다.
아이작 뉴턴 은 그의 《무한 급수 해석》(1669년 작성, 1711년 원고 출판) · 《유율법과 무한 급수》(1671년 작성, 1736년 영어 번역본 출판) · 《곡선 구적법 논문》(1693년 작성, 1704년 그의 《광학》의 부록에 출판)에서 급수에 대해 다루었다.
18세기, 레온하르트 오일러 를 비롯한 수학자들은 일부 발산 급수의 합을 정확한 때에 멈추는 방법을 통해 계산하였다. 이들은 계산만 가능하면 급수의 수렴 여부에 관심을 갖지 않았다. 18세기 말, 조제프루이 라그랑주 는 《해석 함수 이론》(라틴어 : Théorie des fonctions analytiques , 1797년)에서 엄밀한 논의의 결여가 미적분학의 더 이상의 발전을 막고 있다고 주장하였다. 카를 프리드리히 가우스 는 그의 초기하 급수 작품(1813년)에서 급수가 수렴할 조건을 처음 엄밀하게 연구하였다.
베르나르트 볼차노 는 《이항 정리》(독일어 : Der binomische Lehrsatz , 1816년)에서 수열의 극한의 현대적 정의를 제시하였으나, 당시에는 주목받지 못했다. 카를 바이어슈트라스 역시 1870년대에 수열의 극한의 현대적 정의를 제시하였다
실수 수열
(
a
n
)
n
=
0
∞
∈
R
N
{\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}
극한 은 다음 조건을 만족시키는 실수
a
∈
R
{\displaystyle a\in \mathbb {R} }
임의의 실수
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
n
>
N
{\displaystyle n>N}
|
a
n
−
a
|
<
ϵ
{\displaystyle |a_{n}-a|<\epsilon }
N
∈
N
{\displaystyle N\in \mathbb {N} }
이를
a
n
→
a
(
n
→
∞
)
{\displaystyle a_{n}\to a\qquad (n\to \infty )}
또는
lim
n
→
∞
a
n
=
a
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=a}
와 같이 표기한다. 즉, 실수 수열의 극한은 항이 궁극적으로 임의 오차 범위 이내로 근접하는 값이다.
수렴하는 수열은 다음과 같은 성질을 갖는다.
수렴 수열
(
a
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}
유계 수열 이다. 수렴 수열
(
a
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}
(
b
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (b_{n})_{n=0}^{\infty }}
n
>
N
{\displaystyle n>N}
a
n
≤
b
n
{\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}
N
{\displaystyle N}
lim
n
→
∞
a
n
≤
lim
n
→
∞
b
n
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}}
수렴 수열
(
a
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}
(
b
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (b_{n})_{n=0}^{\infty }}
lim
n
→
∞
a
n
<
lim
n
→
∞
b
n
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}<\lim _{n\to \infty }b_{n}}
n
>
N
{\displaystyle n>N}
a
n
<
b
n
{\displaystyle a_{n}<b_{n}}
N
{\displaystyle N}
수열의 수렴성은 다음과 같이 판정할 수 있다.
(샌드위치 정리 ) 수열
(
a
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}
(
b
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (b_{n})_{n=0}^{\infty }}
(
c
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (c_{n})_{n=0}^{\infty }}
n
>
N
{\displaystyle n>N}
a
n
≤
b
n
≤
c
n
{\displaystyle a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}}
N
{\displaystyle N}
lim
n
→
∞
a
n
=
lim
n
→
∞
c
n
=
L
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }c_{n}=L}
lim
n
→
∞
b
n
=
L
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=L}
(단조 수렴 정리 ) 단조 유계 수열 은 수렴 수열이다.
(실수의 완비성 ) 모든 실수 코시 수열 은 수렴 수열이다. 주어진 수열
(
a
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}
부분 수열 은, 어떤 강한 증가 함수
n
:
N
→
N
{\displaystyle n\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} }
k
↦
n
k
{\displaystyle k\mapsto n_{k}}
(
a
n
k
)
k
=
0
∞
{\displaystyle (a_{n_{k}})_{k=0}^{\infty }}
수렴 수열의 모든 부분 수열은 같은 극한으로 수렴한다. 실수열에 대한 사칙 연산 과 극한 연산의 순서는 교환 가능하다. 즉, 두 수렴 수열
(
a
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}
(
b
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (b_{n})_{n=0}^{\infty }}
lim
n
→
∞
a
n
=
a
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=a}
lim
n
→
∞
b
n
=
b
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=b}
라고 하면, 다음이 성립한다.
lim
n
→
∞
(
a
n
+
b
n
)
=
a
+
b
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}+b_{n})=a+b}
lim
n
→
∞
(
a
n
−
b
n
)
=
a
−
b
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}-b_{n})=a-b}
lim
n
→
∞
a
n
b
n
=
a
b
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}b_{n}=ab}
lim
n
→
∞
a
n
b
n
=
a
b
(
b
n
≠
0
∀
n
∈
N
;
b
≠
0
)
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {a}{b}}\qquad (b_{n}\neq 0\forall n\in \mathbb {N} ;b\neq 0)}
수렴 수열의 예는 다음과 같다.
lim
n
→
∞
c
=
c
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }c=c}
c
{\displaystyle c}
lim
n
→
∞
1
n
p
=
0
(
p
>
0
)
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{p}}}=0\qquad (p>0)}
lim
n
→
∞
a
n
=
0
(
|
a
|
<
1
)
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a^{n}=0\qquad (|a|<1)}
lim
n
→
∞
a
n
=
1
(
a
>
0
)
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a}}=1\qquad (a>0)}
lim
n
→
∞
n
n
=
1
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=1}
십진법 에 의한 내림 근사 통해, 임의의 실수로 수렴하는 수열을 만들 수 있다. 이렇게 만든 수열은 모두 코시 수열 이다. 수열 (0.3, 0.33, 0.333, ...) 은 1 / 3 (1.4, 1.41, 1.414, ...) 은 √2 더 많은 예는 다음과 같다.
lim
n
→
∞
(
1
+
1
n
)
n
=
e
=
2.71828
⋯
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=e=2.71828\cdots }
자연로그의 밑 )
lim
n
→
∞
(
1
+
x
n
)
n
=
e
x
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}=e^{x}}
lim
n
→
∞
n
(
x
1
n
−
1
)
=
ln
x
(
x
>
0
)
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }n\left(x^{\frac {1}{n}}-1\right)=\ln x\qquad (x>0)}
lim
n
→
∞
(
1
+
1
2
+
1
3
+
⋯
+
1
n
−
ln
n
)
=
γ
=
0.57721
⋯
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln {n}\right)=\gamma =0.57721\cdots }
오일러-마스케로니 상수 )산술 평균 과 기하 평균 에 의한 두 점화 수열 은 모두 산술 기하 평균 으로 수렴한다.다음 예들은 수열이 무한대로 발산하는 속도의 비교를 반영한다.
lim
n
→
∞
ln
n
n
p
=
0
(
p
>
0
)
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\ln n}{n^{p}}}=0\qquad (p>0)}
lim
n
→
∞
n
n
!
n
=
e
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e}
lim
n
→
∞
n
p
a
n
=
0
(
a
>
1
)
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n^{p}}{a^{n}}}=0\qquad (a>1)}
lim
n
→
∞
a
n
n
!
=
0
(
a
>
1
)
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a^{n}}{n!}}=0\qquad (a>1)}
lim
n
→
∞
n
!
n
n
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{n^{n}}}=0}
실수 수열
(
a
n
)
n
=
0
∞
∈
R
N
{\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}
무한대 극한 은 다음과 같은 두 경우로 정의된다. 극한이 무한대인 수열은 일반적으로 수렴 수열로 간주되지 않는다.
만약 임의의 실수
K
∈
R
{\displaystyle K\in \mathbb {R} }
n
>
N
{\displaystyle n>N}
a
n
>
K
{\displaystyle a_{n}>K}
N
∈
N
{\displaystyle N\in \mathbb {N} }
(
a
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}
a
n
→
∞
(
n
→
∞
)
{\displaystyle a_{n}\to \infty \,(n\to \infty )}
lim
n
→
∞
a
n
=
∞
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty }
만약 임의의 실수
K
∈
R
{\displaystyle K\in \mathbb {R} }
n
>
N
{\displaystyle n>N}
a
n
<
K
{\displaystyle a_{n}<K}
N
∈
N
{\displaystyle N\in \mathbb {N} }
(
a
n
)
n
=
0
∞
{\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}
a
n
→
−
∞
(
n
→
∞
)
{\displaystyle a_{n}\to -\infty \,(n\to \infty )}
lim
n
→
∞
a
n
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty }
예를 들어,
lim
n
→
∞
n
=
∞
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }n=\infty }
lim
n
→
∞
(
−
n
)
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }(-n)=-\infty }
무한대 발산은 발산과 다른 개념인 데 주의하자. 예를 들어,
수열 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ... 은 발산 수열이나, 양이나 음의 무한대로 발산하지 않는다.
수열 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, ... 은 발산 수열이자 무계 수열이나, 양이나 음의 무한대로 발산하지 않는다.
거리 공간
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
X
{\displaystyle X}
집합 ,
d
{\displaystyle d}
거리 함수 )의 점렬
(
x
n
)
n
=
0
∞
∈
X
N
{\displaystyle (x_{n})_{n=0}^{\infty }\in X^{\mathbb {N} }}
극한 은 서로 동치인 다음 두 조건을 만족시키는, 거리 공간의 원소
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
모든
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
n
>
N
{\displaystyle n>N}
d
(
x
n
,
x
)
<
ϵ
{\displaystyle d(x_{n},x)<\epsilon }
N
∈
N
{\displaystyle N\in \mathbb {N} }
lim
n
→
∞
d
(
x
n
,
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }d(x_{n},x)=0}
이를
x
n
→
x
(
n
→
∞
)
{\displaystyle x_{n}\to x\,(n\to \infty )}
lim
n
→
∞
x
n
=
x
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x}
(
X
,
d
)
=
(
R
,
|
x
−
y
|
)
{\displaystyle (X,d)=(\mathbb {R} ,|x-y|)}
수렴 점렬의 극한은 유일하다. (이는, 어떤 점렬도 동시에 두 다른 점으로 그 둘 사이의 거리의 반 이내로 접근할 수는 없기 때문이다.)
수렴 점렬은 항상 유계 점렬이다.
코시 점렬이 항상 수렴 점렬일 필요는 없다. 코시 점렬이 항상 수렴 점렬인 거리 공간을 완비 거리 공간 이라고 한다. 그러나, 만약 코시 점렬에게 수렴 부분 점렬이 존재한다면, 그 코시 점렬은 수렴한다.
거리 공간 위의 함수
f
:
X
→
X
{\displaystyle f\colon X\to X}
동치 이다.
f
{\displaystyle f}
연속 함수 이다.임의의
(
x
n
)
n
=
0
∞
∈
X
N
{\displaystyle (x_{n})_{n=0}^{\infty }\in X^{\mathbb {N} }}
lim
n
→
∞
x
n
=
x
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x}
lim
n
→
∞
f
(
x
n
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(x)}
f
{\displaystyle f}
유클리드 공간 속 점렬
(
x
k
)
k
=
0
∞
∈
(
R
n
)
N
{\displaystyle (x_{k})_{k=0}^{\infty }\in (\mathbb {R} ^{n})^{\mathbb {N} }}
동치 이다.
(점렬 수렴)
lim
k
→
∞
x
k
=
x
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }x_{k}=x}
(각 좌표 성분 수렴) 임의의
i
∈
{
1
,
2
,
…
,
n
}
{\displaystyle i\in \{1,2,\ldots ,n\}}
lim
k
→
∞
x
k
,
i
=
x
i
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }x_{k,i}=x_{i}}
또한, 유클리드 공간 위의 임의의 Lp 거리
위상 공간
(
X
,
τ
)
{\displaystyle (X,\tau )}
X
{\displaystyle X}
집합 ,
τ
{\displaystyle \tau }
위상 )의 점렬
(
x
n
)
n
=
0
∞
∈
X
N
{\displaystyle (x_{n})_{n=0}^{\infty }\in X^{\mathbb {N} }}
극한 은 서로 동치인 다음 두 조건을 만족시키는, 위상 공간의 원소
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
x
{\displaystyle x}
근방
U
{\displaystyle U}
n
>
N
{\displaystyle n>N}
x
n
∈
U
{\displaystyle x_{n}\in U}
N
∈
N
{\displaystyle N\in \mathbb {N} }
x
{\displaystyle x}
열린 집합
O
{\displaystyle O}
n
>
N
{\displaystyle n>N}
x
n
∈
O
{\displaystyle x_{n}\in O}
N
∈
N
{\displaystyle N\in \mathbb {N} }
이를
x
n
→
x
(
n
→
∞
)
{\displaystyle x_{n}\to x\,(n\to \infty )}
lim
n
→
∞
x
n
=
x
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x}
표준 위상 을 사용하면, 거리 공간에 대한 정의는 위상 공간에 대한 정의에 포함된다.
수렴 점렬의 극한이 유일할 필요는 없다. 예를 들어, 비이산 공간 속의 임의의 점렬은 그 속의 임의의 점으로 수렴한다. 그러나 하우스도르프 공간 의 경우, 수렴 점렬의 극한은 유일하다. 위상 공간 사이의 연속 함수 는 점렬의 극한을 보존한다. 그러나, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a}}=1\qquad (a>0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cc5adee31786a29c076c08bfdce8e0cd690baf3)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad8399b997df7368a350c447667a7003822626e1)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e67d9f7e2588c9b3d418f1107e9ea27b8f330ed)
