토압 (土壓)은 흙에 중력 과 직교하는 방향으로 작용하는 수평 압력 이다.
토압으로 인해 바깥으로 휜 옹벽
수평 토압은 정지 토압(earth pressure at rest, 靜止土壓;
P
0
{\displaystyle P_{0}}
P
a
{\displaystyle P_{a}}
P
p
{\displaystyle P_{p}}
정지 토압 : 흙막이 구조물에 항복을 일으키지 않고 수평방향 변위 가 없는 경우의 토압
주동 토압 : 흙이 팽창 변형을 받아 파괴가 일어나는 순간의 토압(즉 옹벽이 뒤채움 흙의 압력에 의해 전방으로 전도되려는 경우에 작용하는 토압)
수동 토압 : 흙이 압축 변형을 받아 파괴가 일어나는 순간의 수평 토압(벽체가 외력을 받아서 뒤채움 흙쪽으로 눌려 뒤채움 흙이 파괴가 일어날 때의 토압) 수평 토압을 계산하는 이론에는 여러 가지가 있다.
1857년 에 랜킨(Rankine)에 의해 제안된 이론은 소성 평형 상태에서 주동 토압과 수동 토압을 해석적으로 계산할 수 있는 방법을 제시한다. 랜킨의 이론에서는 토압의 합력이 지표면과 평행하게 작용하며, 흙은 점착력이 없으며(c=0), 벽체는 마찰이 없고, 벽체와 흙의 접촉면은 수직하며, 파괴시의 활동면은 평면이라고 가정한다. 주동 토압 계수
K
a
{\displaystyle K_{a}}
K
p
{\displaystyle K_{p}}
K
a
=
cos
β
cos
β
−
cos
2
β
−
cos
2
ϕ
cos
β
+
cos
2
β
−
cos
2
ϕ
{\displaystyle K_{a}=\cos \beta {\frac {\cos \beta -{\sqrt {\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\phi }}}{\cos \beta +{\sqrt {\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\phi }}}}}
K
p
=
cos
β
cos
β
+
cos
2
β
−
cos
2
ϕ
cos
β
−
cos
2
β
−
cos
2
ϕ
{\displaystyle K_{p}=\cos \beta {\frac {\cos \beta +{\sqrt {\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\phi }}}{\cos \beta -{\sqrt {\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\phi }}}}}
여기서
β
{\displaystyle \beta }
ϕ
{\displaystyle \phi }
β
=
0
{\displaystyle \beta =0}
K
a
=
1
−
s
i
n
ϕ
1
+
s
i
n
ϕ
=
t
a
n
2
(
45
∘
−
ϕ
2
)
{\displaystyle K_{a}={\frac {1-sin\phi }{1+sin\phi }}=tan^{2}\left(45^{\circ }-{\frac {\phi }{2}}\right)}
K
p
=
1
+
s
i
n
ϕ
1
−
s
i
n
ϕ
=
t
a
n
2
(
45
∘
+
ϕ
2
)
{\displaystyle K_{p}={\frac {1+sin\phi }{1-sin\phi }}=tan^{2}\left(45^{\circ }+{\frac {\phi }{2}}\right)}
위 식에서
K
a
⋅
K
p
=
1
{\displaystyle K_{a}\cdot K_{p}=1}
사질토에 대한 응력경로는 오른쪽 그림과 같다. 정지토압 상태는 K0 선 상에, 주동 또는 수동토압으로 인해 파괴된 경우는 Kf 선상에 있어야 한다.
초기응력(정지토압 상태) : A점
p
=
(
1
+
K
0
)
σ
v
2
,
q
=
(
1
−
K
0
)
σ
v
2
{\displaystyle p={\frac {(1+K_{0})\sigma _{v}}{2}},\quad q={\frac {(1-K_{0})\sigma _{v}}{2}}}
K0 선 기울기
q
p
=
1
−
K
0
1
+
K
0
{\displaystyle {\frac {q}{p}}={\frac {1-K_{0}}{1+K_{0}}}}
주동토압 : C점
p
=
σ
v
+
σ
a
2
=
(
1
+
K
a
)
σ
v
2
,
q
=
σ
v
+
σ
a
2
=
(
1
−
K
a
)
σ
v
2
{\displaystyle p={\frac {\sigma _{v}+\sigma _{a}}{2}}={\frac {(1+K_{a})\sigma _{v}}{2}},\quad q={\frac {\sigma _{v}+\sigma _{a}}{2}}={\frac {(1-K_{a})\sigma _{v}}{2}}}
1사분면 Kf 선 기울기
tan
α
=
1
−
K
a
1
+
K
a
{\displaystyle \tan \alpha ={\frac {1-K_{a}}{1+K_{a}}}}
수동토압 : B점
p
=
σ
v
+
σ
p
2
=
(
1
+
K
p
)
σ
v
2
,
q
=
σ
v
−
σ
p
2
=
(
1
−
K
p
)
σ
v
2
{\displaystyle p={\frac {\sigma _{v}+\sigma _{p}}{2}}={\frac {(1+K_{p})\sigma _{v}}{2}},\quad q={\frac {\sigma _{v}-\sigma _{p}}{2}}={\frac {(1-K_{p})\sigma _{v}}{2}}}
4사분면 Kf 선 기울기
−
tan
α
=
1
−
K
p
1
+
K
p
{\displaystyle -\tan \alpha ={\frac {1-K_{p}}{1+K_{p}}}}
지표가 수평이고, i=0, c=0인 경우 옹벽에 작용하는 토압 지표가 수평이고, i=0, c=0인 경우 옹벽에 작용하는 토압은 다음과 같다.
주동토압
P
a
=
1
2
γ
H
K
a
×
H
=
1
2
γ
H
2
K
a
{\displaystyle P_{a}={\frac {1}{2}}\gamma HK_{a}\times H={\frac {1}{2}}\gamma H^{2}K_{a}}
수동토압
P
p
=
1
2
γ
H
K
p
×
H
=
1
2
γ
H
2
K
p
{\displaystyle P_{p}={\frac {1}{2}}\gamma HK_{p}\times H={\frac {1}{2}}\gamma H^{2}K_{p}}
작용점
y
=
H
3
{\displaystyle y={\frac {H}{3}}}
편집
지표가 수평이고, i=0, c=0이며 등분포 하중 q가 작용하는 경우 옹벽에 작용하는 토압 지표가 수평이고, i=0, c=0이며 등분포 하중 q가 작용하는 경우 옹벽에 작용하는 토압은 다음과 같다.
주동토압
P
a
=
1
2
γ
H
K
a
×
H
+
q
K
a
H
=
1
2
γ
H
2
K
a
+
q
K
a
H
{\displaystyle P_{a}={\frac {1}{2}}\gamma HK_{a}\times H+qK_{a}H={\frac {1}{2}}\gamma H^{2}K_{a}+qK_{a}H}
수동토압
P
p
=
1
2
γ
H
K
p
×
H
+
q
K
p
H
=
1
2
γ
H
2
K
p
+
q
K
p
H
{\displaystyle P_{p}={\frac {1}{2}}\gamma HK_{p}\times H+qK_{p}H={\frac {1}{2}}\gamma H^{2}K_{p}+qK_{p}H}
지표가 수평이고, 지하수면이 지표면과 일치하는 경우 옹벽에 작용하는 토압 지표가 수평이고, 지하수면이 지표면과 일치하는 경우 옹벽에 작용하는 토압은 다음과 같다. 토립자만에 의한 토압과 물만에 의한 수압을 따로 합력을 구해 서로 더해준다. 이때 수압은 미소 요소에 대해 모든 방향에서 동일하게 작용하므로 토압계수를 곱해주지 않는다.
주동토압
P
a
=
1
2
γ
s
u
b
H
K
a
×
H
+
1
2
γ
w
H
×
H
=
1
2
γ
s
u
b
H
2
K
a
+
1
2
γ
w
H
2
{\displaystyle P_{a}={\frac {1}{2}}\gamma _{sub}HK_{a}\times H+{\frac {1}{2}}\gamma _{w}H\times H={\frac {1}{2}}\gamma _{sub}H^{2}K_{a}+{\frac {1}{2}}\gamma _{w}H^{2}}
수동토압
P
p
=
1
2
γ
s
u
b
H
K
p
×
H
+
1
2
γ
w
H
×
H
=
1
2
γ
s
u
b
H
2
K
p
+
1
2
γ
w
H
2
{\displaystyle P_{p}={\frac {1}{2}}\gamma _{sub}HK_{p}\times H+{\frac {1}{2}}\gamma _{w}H\times H={\frac {1}{2}}\gamma _{sub}H^{2}K_{p}+{\frac {1}{2}}\gamma _{w}H^{2}}
벨(Bell)은 점착력이 있는(
c
≠
0
{\displaystyle c\neq 0}
σ
h
=
K
a
σ
v
−
2
c
K
a
{\displaystyle \sigma _{h}=K_{a}\sigma _{v}-2c{\sqrt {K_{a}}}\ }
σ
h
=
K
p
σ
v
+
2
c
K
p
{\displaystyle \sigma _{h}=K_{p}\sigma _{v}+2c{\sqrt {K_{p}}}\ }
인장 응력이 생기는 한계 깊이인 점착고(인장 균열 깊이) 는 다음과 같다.
z
c
=
2
c
γ
t
a
n
(
45
∘
+
ϕ
2
)
=
2
c
γ
K
p
{\displaystyle z_{c}={\frac {2c}{\gamma }}tan(45^{\circ }+{\frac {\phi }{2}})={\frac {2c}{\gamma }}{\sqrt {K_{p}}}}
한계고 는 토압의 합력이 0이 되는 깊이이며 점성토 에 있어서 연직으로 굴착 가능한 깊이다.
H
c
=
2
z
c
=
4
c
γ
t
a
n
(
45
∘
+
ϕ
2
)
=
4
c
γ
K
p
{\displaystyle H_{c}=2z_{c}={\frac {4c}{\gamma }}tan(45^{\circ }+{\frac {\phi }{2}})={\frac {4c}{\gamma }}{\sqrt {K_{p}}}}
쿨롱(Coulomb)은 흙이 등방성 이고 균질 하며 점착력이 있고, 파괴 토체는 쐐기모양의 강체이며, 벽체의 마찰력 이 존재하고, 전단저항력은 파괴면을 따라 균등하게 작용하며, 파괴면은 평면 이라는 가정 하에 주동 토압과 수동 토압을 각각 계산하는 다음과 같은 식을 제안하였다.
K
a
=
sin
2
(
α
+
ϕ
)
sin
2
α
sin
(
α
−
δ
)
(
1
+
sin
(
ϕ
+
δ
)
sin
(
ϕ
−
β
)
sin
(
α
−
δ
)
sin
(
α
+
β
)
)
2
{\displaystyle K_{a}={\frac {\sin ^{2}\left(\alpha +\phi \right)}{\sin ^{2}\alpha \sin \left(\alpha -\delta \right)\left(1+{\sqrt {\frac {\sin \left(\phi +\delta \right)\sin \left(\phi -\beta \right)}{\sin \left(\alpha -\delta \right)\sin \left(\alpha +\beta \right)}}}\ \right)^{2}}}}
K
p
=
sin
2
(
α
−
ϕ
)
sin
2
α
sin
(
α
+
δ
)
(
1
−
sin
(
ϕ
+
δ
)
sin
(
ϕ
+
β
)
sin
(
α
+
δ
)
sin
(
α
+
β
)
)
2
{\displaystyle K_{p}={\frac {\sin ^{2}\left(\alpha -\phi \right)}{\sin ^{2}\alpha \sin \left(\alpha +\delta \right)\left(1-{\sqrt {\frac {\sin \left(\phi +\delta \right)\sin \left(\phi +\beta \right)}{\sin \left(\alpha +\delta \right)\sin \left(\alpha +\beta \right)}}}\ \right)^{2}}}}
여기서
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
ϕ
{\displaystyle \phi }
δ
{\displaystyle \delta }
쿨롱의 토압이론은 중력식 옹벽 의 설계에 쓰인다.[ 8]
그림 1. 제방의 단면에 대한 그림 토압 합력의 단위는 힘의 단위가 되어야 한다. 제방의 단면도를 그려놓고 토압 합력을 구하는 경우 단위가 힘/길이가 나온다. 합력인데 힘의 단위가 아닌 힘/길이 단위가 나오는 것은 다음과 같은 이유에서다.
우선 단면도에서 임의 깊이 지점에 걸리는 토압을 생각해보자. 편의상 벽체의 뒤채움 흙은 점착력이 없는 비포화 모래지반으로 생각한다.
σ
a
=
γ
z
K
a
{\displaystyle \sigma _{a}=\gamma zK_{a}}
여기서 곱해지는 값들의 단위를 생각해보면
따라서 σa 는 kN/m2 이 된다. 즉 압력과 단위가 같다.
그런데 구하고자 하는 것은 토압의 합력이다. 토압 합력은 토압 분포도의 면적과 같다. 토압분포가 삼각형이므로 삼각형의 면적을 계산하면
P
a
=
1
2
γ
H
K
a
⋅
H
(
∵
z
=
H
a
)
=
1
2
γ
H
2
K
a
{\displaystyle {\begin{aligned}P_{a}&={\frac {1}{2}}\gamma HK_{a}\cdot H\quad (\because z=H_{a})\\&={\frac {1}{2}}\gamma H^{2}K_{a}\\\end{aligned}}}
다시 단위를 생각해보자.
γ : kN/m3
H2 : m2
Ka : 무차원 따라서 Pa 는 kN/m 단위가 된다. 이것은 단위길이(1m)당 토압분포의 합력을 말한다. 일반적으로 제방은 1m만 쌓지 않을 것이다. 그림 2처럼 제방을 L만큼 길게 쌓는다고 한다면 토압 합력은 다음과 같다.
그림 2. 실제 제방은 L만큼의 길이가 있을 것이다.
P
a
t
o
t
a
l
=
P
a
L
=
1
2
γ
H
2
K
a
⋅
L
{\displaystyle {\begin{aligned}P_{a\ total}&=P_{a}L\\&={\frac {1}{2}}\gamma H^{2}K_{a}\cdot L\\\end{aligned}}}
역시 단위를 생각해보자.
γ : kN/m3
H2 : m2
L : m
Ka : 무차원 따라서 Pa total 은 kN 단위가 된다. 토압의 합력을 구할 때, 요구하는 값이 제방의 단위길이 당 값이면 위에서 설명했듯이 단위가 kN/m이다. 벽체를 설계할 때, 제방의 전 길이를 곱해서 구한 총 합력값을 단위길이만큼의 벽체에 사용하진 않을 것이다. 단위길이의 벽체 단면을 설계하려면 단위길이만큼의 토압 합력을 사용해야할 것이다. 그래서 1m당 토압 합력을 구하는 것이다.
↑ 권호진 외. 《기초공학》 2판. 구미서관. 302쪽.
김명모, 《토질역학》, 4판, 文運堂, 2000
김상규, 《개정판 토질역학 -이론과 응용-》, 2판, 淸文閣, 2006
《토목기사 과년도 - 토질 및 기초》, 성안당, 2015
이인모 (2013). 《토질역학의 원리》 2판. 씨아이알. ISBN 9791156100096 
