순간자

양자역학과 양자장론에서 순간자(瞬間子, 영어: instanton 인스턴톤^[*]) 또는 잠깐알은 윅 회전을 가한 이론의, 유한한 작용을 가진 고전해이다. 이는 윅 회전을 한 유클리드 시공간에서 국소화되어 있어, 유클리드 시공간에서 입자처럼 간주할 수 있다. (물론 이는 민코프스키 시공간에서는 성립하지 않는다.) 순간자의 존재는 섭동 이론에는 나타나지 않는 터널 효과를 나타낸다. WKB 근사에 의한 터널 효과를 다룰 때나, 양-밀스 이론(양자 색역학)에 등장한다. 초대칭 게이지 이론과도 관련이 있다.

역사

알렉산드르 벨라빈(러시아어: Алекса́ндр Абрамо́вич Бела́вин), 알렉산드르 마르코비치 폴랴코프, 알베르트 시바르츠, 유리 스테파노비치 튭킨(러시아어: Юрий Степанович Тюпкин)이 순간자수가 1인 순간자를 최초로 발견하였다. 이들은 유사입자(영어: pseudoparticle)라는 이름을 사용하였다.^:271 헤라르뒤스 엇호프트가 이러한 해들을 어떤 시간 간격에만 존재했다가 사라진다는 의미로 "순간자"(영어: instanton)라고 이름붙였다.^:271

양자역학에서의 순간자

양자역학에서, 순간자는 두 고전적 안정 상태 사이의 터널 효과를 나타낸다. 예를 들어, 어떤 퍼텐셜 $V(x)$가 두 개의 극소점 $a,b$를 갖는다고 하고, $V(a)=V(b)=0$으로 놓자. 고전적으로는 이 두 점 모두 안정적인 상태지만, 양자역학적으로 두 상태 사이 터널 효과가 일어날 수 있다.

WKB 근사에 따라, 질량이 $m$이며 에너지가 $E$인 입자가 $a$에서 $b$로 터널 효과를 겪을 확률 진폭은 다음에 비례한다.

$\langle b|a\rangle \sim \exp \left(-{\frac {1}{\hbar }}\int _{a}^{b}{\sqrt {2mV(x)}}\,dx\right)$

이는 순간자를 사용하여 다음과 같이 계산할 수 있다. 윅 회전을 통해, 다음과 같은 유클리드 작용을 정의하자.

$S_{E}=\int \left({\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}+V(x)\right)\,dt$

즉, 이는 퍼텐셜 $-V(x)$ 속에서 움직이는 입자를 나타낸다. 이 경우, 에너지 보존에 따라 (총 에너지가 0인 경우)

${\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-V(x)=0$

다. $a$에서 $b$로 가는, 유클리드 작용의 해를 순간자라고 하며, 그 작용은

$S_{E}=\int m{\dot {x}}^{2}\,dt=\int _{a}^{b}m{\dot {x}}\,dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {2mV(x)}}\,dx$

이다. 따라서,

$\langle b|a\rangle \sim \exp(-S_{E}/\hbar )$

임을 알 수 있다. 즉, 터널 효과의 확률 진폭은 순간자의 작용 $S_{E}$로 계산된다.

양-밀스 이론의 순간자

 이 부분의 본문은 양-밀스 순간자입니다.

순간자의 가장 대표적인 예는 4차원 유클리드 공간의 양-밀스 이론에서 작용을 국소적으로 최소화시키는 상태들이다. 이들은 보고몰니-프라사드-소머필드 부등식(영어: Bogomol’nyi–Prasad–Sommerfield bound, BPS 부등식)을 충족시킨다.

4차원 유클리드 공간 위에, 게이지 군 $G$를 가진 양-밀스 이론을 생각하자. 그 작용은 다음과 같다.

$S={\frac {1}{2e^{2}}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {tr} F^{2}\,d^{4}x$

여기서

$F_{ij}=t^{a}F_{ij}^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }+i[A_{\mu },A_{\nu }]$

는 게이지 장세기이고, $t^{a}$는 리 대수 ${\mathfrak {g}}$의 기저이다. 리 대수의 기저는

$\operatorname {tr} (t^{a}t^{b})={\frac {1}{2}}t^{a}t^{b}$

$[t^{a},t^{b}]=if^{abc}t^{c}$

가 되게 규격화한다.

이 이론에서, 작용이 유한한 상태들을 생각하자. 작용이 유한하므로, 원점에서 무한히 먼 곳$\Vert x\Vert \to \infty$에서는 $F\to 0$이어야 한다. 그러나 이 경우 게이지 퍼텐셜 $A_{\mu }$는 위상수학적으로 자명하지 않을 수 있다. 즉,

$A_{\mu }(x)=g(x)^{-1}\partial _{\mu }g(x)$ ($g(x)\in G$)

의 꼴의 퍼텐셜은 장세기가 0이다. 4차원 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{4}$의 무한대는 $S^{3}$이므로, 무한대에서 게이지 퍼텐셜은 연속함수

$A\colon S^{3}\to G$

를 정의한다. 서로 호모토픽한 게이지 퍼텐셜들은 물리적으로 같은 상태를 나타내지만, 호모토픽하지 않은 상태들은 서로 다른 상태를 나타낸다. 따라서, 유한 작용 상태들은 게이지 군 $G$의 3차 호모토피 군에 의하여 분류된다.

$[A]\in \pi _{3}(G)$

흔히 쓰이는 게이지 군의 경우,

$\pi _{3}(\operatorname {SU} (N))=\mathbb {Z}$ ($N\geq 2$)

$\pi _{3}(\operatorname {SO} (N))=\mathbb {Z}$ ($N=3$ 또는 $N>5$)

이다. 이 경우, 무한대에서의 게이지 퍼텐셜의 호모토피류는 정수에 의하여 분류된다. 이 수를 순간자수(영어: instanton number)라고 하며, 대략 순간자의 수를 나타낸다. 만약 순간자수가 음수라면, 이는 반순간자(영어: anti-instanton)가 존재함을 뜻한다. $SU(N)$의 경우, 순간자수 $k$는 다음과 같다.

$k={\frac {1}{24\pi ^{2}}}\int _{\Vert x\Vert =\infty }d^{3}x\,{\hat {n}}_{\mu }\operatorname {tr} \left(A_{\nu }A_{\rho }A_{\sigma })\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\right)$

$A_{\mu }=(\partial _{\mu }g)g^{-1}$

여기서 ${\hat {n}}^{\mu }$는 $S^{3}$의 단위 수직 벡터이며, $\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }$는 (유클리드 계량 부호수) 레비치비타 기호다.

4차원 리만 다양체 $M$에서, 2차 미분형식들은 호지 쌍대에 따라

$*\colon \Omega ^{2}(M)\to \Omega ^{2}(M)$

가 존재한다. 또한, 유클리드 계량 부호수에서는 2차 미분형식에 대하여

$*^{2}=1$

이므로, 호지 쌍대 연산자 $*$의 고윳값은 $\pm 1$이다. 따라서, 2차 미분형식들의 공간은 고윳값에 따라

$\Omega ^{2}(M)=\Omega _{+}^{2}(M)\oplus \Omega _{-}^{2}(M)$

으로 분해된다. 여기서 $\Omega _{+}^{2}(M)$의 원소는 자기쌍대(영어: self-dual), $\Omega _{-}^{2}(M)$의 원소는 반자기쌍대(영어: anti-self-dual)라고 한다. 구체적으로, 2차 미분형식 $F$가 주어지면,

$F=F_{+}+F_{-}$

$*F_{\pm }=\pm F_{\pm }$

$F_{\pm }=(F\pm *F)/2$

으로 분해할 수 있다. 또한, (리 대수 값을 갖는) 2차 미분형식들의 공간에서는 다음과 같은 내적 $\langle ,\rangle$이 존재한다.

$\langle A,B\rangle ={\frac {1}{2e^{2}}}\int _{M}d^{4}x\,\operatorname {tr} (A_{\mu \nu }B^{\mu \nu })$

이에 따라 양-밀스 작용은

$S=\langle F,F\rangle$

가 된다.

장세기를 자기쌍대 및 반자기쌍대 성분으로 분해하자.

$F=F_{+}+F_{-}$

그렇다면

$S=\langle F,F\rangle =\langle F_{+},F_{+}\rangle +\langle F_{-},F_{-}\rangle \geq |\langle F_{+},F_{+}\rangle -\langle F_{-},F_{-}\rangle |=|\langle F,*F\rangle |={\frac {8\pi ^{2}}{e^{2}}}|k|$

이다. 여기서 $k$는 순간자수이다. 따라서, 주어진 순간자수 $k$를 가진 상태의 작용은 다음과 같은 BPS 부등식을 만족시킨다.

$S\geq {\frac {8\pi ^{2}}{e^{2}}}|k|$

이 부등식을 등식으로 만드는 게이지 퍼텐셜들을 순간자라고 한다. 이들은

$F_{+}=0$ 또는 $F_{-}=0$,

즉

$F_{\mu \nu }=\pm *F_{\mu \nu }$

를 만족시킨다. 이런 상태들은 자동적으로 오일러-라그랑주 방정식

$D_{\mu }F^{\mu \nu }=D_{\mu }(*F)^{\mu \nu }=0$

을 만족시키므로, 작용을 최소화시킴을 알 수 있다.

각주

• Forkel, Hilmar (2000년 8월). “A primer on instantons in QCD” (영어). arXiv:hep-ph/0009136. Bibcode:2000hep.ph....9136F. 
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• Belitsky, A.V.; Stefan Vandoren, Peter van Nieuwenhuizen (2000). “Yang-Mills- and D-instantons”. 《Classical and Quantum Gravity》 (영어) 17 (17): 3521–3570. arXiv:hep-th/0004186. Bibcode:2000CQGra..17.3521B. doi:10.1088/0264-9381/17/17/305. 
• 't Hooft, Gerard (1999년 9월). “Monopoles, Instantons and Confinement” (영어). arXiv:hep-th/0010225. Bibcode:2000hep.th...10225. 
• Bianchi, Massimo; Stefano Kovacs, Giancarlo Rossi (2008). 〈Instantons and supersymmetry〉. 《String Theory and Fundamental Interactions. Gabriele Veneziano and Theoretical Physics: Historical and Contemporary Perspectives》. Lecture Notes in Physics (영어) 737. Springer. 303–470쪽. arXiv:hep-th/0703142. Bibcode:2008LNP...737..303B. doi:10.1007/978-3-540-74233-3_14. ISBN 978-3-540-74232-6. ISSN 0075-8450. 
• Prasad, M. K. (1980년 6월). “Instantons and monopoles in Yang-Mills gauge field theories”. 《Physica D: Nonlinear Phenomena》 (영어) 1 (2): 167–191. Bibcode:1980PhyD....1..167P. doi:10.1016/0167-2789(80)90010-X. 
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같이 보기

• 도널드슨 이론
• 자기 홀극
• 솔리톤

외부 링크

• Byun, Yanghyun (2010년 8월 4일). “An Introduction to ASD instantons and holomorphic Structures”. KAIST 대수구조 및 응용 연구센터. 2016년 3월 5일에 원본 문서 (윈도우 미디어 비디오)에서 보존된 문서. 2013년 4월 29일에 확인함. 
• 이원종 (2004년 12월). “Confinement and Lattice QCD” (PDF). 《물리학과 첨단기술》 13 (12): 10–12. ISSN 1225-2336. 2016년 3월 5일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 2월 6일에 확인함.