1차원 공간에서 에너지
E
{\displaystyle E}
V
(
x
)
{\displaystyle V(x)}
파동 함수
Ψ
(
x
)
{\displaystyle \Psi (x)}
슈뢰딩거 방정식 을 따른다.
−
ℏ
2
2
m
d
2
d
x
2
Ψ
(
x
)
+
V
(
x
)
Ψ
(
x
)
=
E
Ψ
(
x
)
{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)=E\Psi (x)}
이제 파동 함수
Ψ
{\displaystyle \Psi }
Ψ
(
x
)
=
exp
(
∫
(
A
(
x
)
+
i
B
(
x
)
)
d
x
)
{\displaystyle \Psi (x)=\exp \left(\int (A(x)+iB(x))\,dx\right)}
이를 슈뢰딩거 방정식에 대입하여 정리하면 다음과 같은 두 방정식을 얻는다.
A
′
(
x
)
+
A
(
x
)
2
−
B
(
x
)
2
=
2
m
ℏ
2
(
V
(
x
)
−
E
)
{\displaystyle A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}
B
′
(
x
)
+
2
A
(
x
)
B
(
x
)
=
0
{\displaystyle B'(x)+2A(x)B(x)=0}
이 연립 미분 방정식 을 풀기 위해, 다음과 같은 반고전 근사법(semiclassical approximation )을 취한다. 우선, 파동 함수 성분
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
디랙 상수
ℏ
{\displaystyle \hbar }
테일러 급수 로 전개한다. (위 식에 따라
A
,
B
=
O
(
1
/
ℏ
)
{\displaystyle A,B=O(1/\hbar )}
ℏ
0
{\displaystyle \hbar ^{0}}
ℏ
−
1
{\displaystyle \hbar ^{-1}}
A
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
ℏ
n
−
1
A
n
(
x
)
{\displaystyle A(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\hbar ^{n-1}A_{n}(x)}
B
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
ℏ
n
−
1
B
n
(
x
)
{\displaystyle B(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\hbar ^{n-1}B_{n}(x)}
디랙 상수는 아주 작으므로, 급수의 가장 낮은 차수의 항부터 먼저 보자.
A
0
(
x
)
2
−
B
0
(
x
)
2
=
2
m
(
V
(
x
)
−
E
)
{\displaystyle A_{0}(x)^{2}-B_{0}(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right)}
A
0
(
x
)
B
0
(
x
)
=
0
{\displaystyle A_{0}(x)B_{0}(x)=0}
두 번째 방정식에 따라
A
0
=
0
{\displaystyle A_{0}=0}
B
0
=
0
{\displaystyle B_{0}=0}
V
(
x
)
<
E
{\displaystyle V(x)<E}
A
0
=
0
{\displaystyle A_{0}=0}
B
0
≠
0
{\displaystyle B_{0}\neq 0}
V
(
x
)
>
E
{\displaystyle V(x)>E}
A
0
≠
0
{\displaystyle A_{0}\neq 0}
B
0
=
0
{\displaystyle B_{0}=0}
터널링 이 일어나는 경우를 나타낸다.
그 다음 차수의 항은 다음과 같다.
A
0
′
(
x
)
+
2
A
0
(
x
)
A
1
(
x
)
−
2
B
0
(
x
)
B
1
(
x
)
=
0
{\displaystyle A_{0}'(x)+2A_{0}(x)A_{1}(x)-2B_{0}(x)B_{1}(x)=0}
B
0
′
(
x
)
+
2
A
0
(
x
)
B
1
(
x
)
+
2
A
1
(
x
)
B
0
(
x
)
=
0
{\displaystyle B_{0}'(x)+2A_{0}(x)B_{1}(x)+2A_{1}(x)B_{0}(x)=0}
첫 번째 식에 의해,
A
0
=
0
{\displaystyle A_{0}=0}
B
1
=
0
{\displaystyle B_{1}=0}
B
0
=
0
{\displaystyle B_{0}=0}
B
1
=
0
{\displaystyle B_{1}=0}
이 경우는 총 에너지
E
{\displaystyle E}
V
(
x
)
{\displaystyle V(x)}
A
0
=
0
{\displaystyle A_{0}=0}
B
0
(
x
)
=
±
2
m
(
E
−
V
(
x
)
)
{\displaystyle B_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}}
이다. 이는 파동 함수의 진폭(
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
다음 차수의 항
A
1
{\displaystyle A_{1}}
A
1
=
−
B
0
′
/
2
B
0
=
−
1
2
(
ln
B
0
)
′
{\displaystyle A_{1}=-B_{0}'/2B_{0}=-{\frac {1}{2}}(\ln B_{0})'}
따라서 파동 함수
Ψ
(
x
)
{\displaystyle \Psi (x)}
Ψ
(
x
)
≈
C
B
0
−
1
/
2
exp
(
i
∫
B
0
d
x
)
=
C
+
exp
(
i
∫
2
m
ℏ
2
(
E
−
V
(
x
)
)
d
x
)
+
C
−
exp
(
−
i
∫
2
m
ℏ
2
(
E
−
V
(
x
)
)
d
x
)
2
m
ℏ
2
(
E
−
V
(
x
)
)
4
{\displaystyle \Psi (x)\approx CB_{0}^{-1/2}\exp \left(i\int B_{0}\,dx\right)={\frac {C_{+}\exp \left(i\int {\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}dx\right)+C_{-}\exp \left(-i\int {\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}dx\right)}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}}}
으로 근사할 수 있다. 여기서
C
+
{\displaystyle C_{+}}
C
−
{\displaystyle C_{-}}
이 경우는 위치 에너지
V
{\displaystyle V}
E
{\displaystyle E}
터널 효과 에 해당한다. 여기에는
B
0
(
x
)
=
0
{\displaystyle B_{0}(x)=0}
A
0
(
x
)
=
±
2
m
(
V
(
x
)
−
E
)
{\displaystyle A_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}}}
이다. 다음 차수의 항
A
1
{\displaystyle A_{1}}
A
1
=
−
A
0
′
/
2
A
0
=
−
1
2
(
ln
A
0
)
′
{\displaystyle A_{1}=-A_{0}'/2A_{0}=-{\frac {1}{2}}(\ln A_{0})'}
따라서 파동 함수
Ψ
(
x
)
{\displaystyle \Psi (x)}
Ψ
(
x
)
≈
D
A
0
−
1
/
2
exp
(
∫
A
0
d
x
)
=
D
+
exp
(
∫
2
m
ℏ
2
(
V
(
x
)
−
E
)
d
x
)
+
D
−
exp
(
−
∫
2
m
ℏ
2
(
V
(
x
)
−
E
)
d
x
)
2
m
ℏ
2
(
V
(
x
)
−
E
)
4
{\displaystyle \Psi (x)\approx DA_{0}^{-1/2}\exp \left(\int A_{0}\,dx\right)={\frac {D_{+}\exp \left(\int {\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}\,dx\right)+D_{-}\exp \left(-\int {\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}\,dx\right)}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}}
으로 근사할 수 있다. 여기서
D
+
{\displaystyle D_{+}}
D
−
{\displaystyle D_{-}}
지수 함수 의 모양을 따른다.
고전적인 경우와 터널 효과 인 경우의 해는
V
≈
E
{\displaystyle V\approx E}
연결 공식 (connection formula )를 사용하여 두 해의 계수
C
±
{\displaystyle C_{\pm }}
D
±
{\displaystyle D_{\pm }}
연속 미분 가능 하게끔) 서로 맞추어야 한다.
고전적인 영역과 터널링 영역이
x
0
{\displaystyle x_{0}}
V
(
x
0
)
=
E
{\displaystyle V(x_{0})=E}
이라고 하자. 그렇다면
x
0
{\displaystyle x_{0}}
V
(
x
)
{\displaystyle V(x)}
V
(
x
)
≈
V
′
(
x
0
)
(
x
−
x
0
)
+
E
{\displaystyle V(x)\approx V'(x_{0})(x-x_{0})+E}
와 같이 근사할 수 있다. 그렇다면 풀어야 할 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.
ℏ
2
2
m
Ψ
″
=
V
′
(
x
0
)
Ψ
(
x
)
(
x
−
x
0
)
{\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''=V'(x_{0})\Psi (x)(x-x_{0})}
이는 에어리 함수 를 사용하여 풀 수 있다. 그 일반적인 해는 다음과 같다.
Ψ
(
x
)
=
a
A
i
(
2
m
V
′
(
x
0
)
/
ℏ
2
3
x
)
+
b
B
i
(
2
m
V
′
(
x
0
)
/
ℏ
2
3
x
)
{\displaystyle \Psi (x)=aAi({\sqrt[{3}]{2mV'(x_{0})/\hbar ^{2}}}x)+bBi({\sqrt[{3}]{2mV'(x_{0})/\hbar ^{2}}}x)}
여기서
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
x
≫
1
{\displaystyle x\gg 1}
A
i
(
x
)
≈
exp
(
−
2
3
x
3
/
2
)
2
π
x
1
/
4
{\displaystyle Ai(x)\approx {\frac {\exp(-{\frac {2}{3}}x^{3/2})}{2{\sqrt {\pi }}x^{1/4}}}}
B
i
(
x
)
≈
exp
(
2
3
x
3
/
2
)
π
x
1
/
4
{\displaystyle Bi(x)\approx {\frac {\exp({\frac {2}{3}}x^{3/2})}{{\sqrt {\pi }}x^{1/4}}}}
A
i
(
−
x
)
≈
sin
(
2
3
x
3
/
2
+
π
/
4
)
π
x
1
/
4
{\displaystyle Ai(-x)\approx {\frac {\sin({\frac {2}{3}}x^{3/2}+\pi /4)}{{\sqrt {\pi }}x^{1/4}}}}
B
i
(
−
x
)
≈
cos
(
2
3
x
3
/
2
+
π
/
4
)
π
x
1
/
4
{\displaystyle Bi(-x)\approx {\frac {\cos({\frac {2}{3}}x^{3/2}+\pi /4)}{{\sqrt {\pi }}x^{1/4}}}}
이를 고전적 영역의 해와 터널링 영역의 해와 비교하면 계수 사이의 관계를 얻을 수 있다. 이를 연결 공식 이라고 한다. 예를 들어,
x
<
x
0
{\displaystyle x<x_{0}}
x
>
x
0
{\displaystyle x>x_{0}}
D
+
−
2
i
D
−
=
2
C
+
exp
(
−
i
π
/
4
)
{\displaystyle D_{+}-2iD_{-}=2C_{+}\exp(-i\pi /4)}
D
+
+
2
i
D
−
=
2
C
−
exp
(
i
π
/
4
)
{\displaystyle D_{+}+2iD_{-}=2C_{-}\exp(i\pi /4)}
이다. 그 반대로,
x
>
x
0
{\displaystyle x>x_{0}}
x
<
x
0
{\displaystyle x<x_{0}}
n
{\displaystyle n}
리만 다양체
M
{\displaystyle M}
V
:
M
→
R
{\displaystyle V\colon M\to \mathbb {R} }
파동 함수 에 대하여 다음과 같은 가설 풀이 를 고르자.
ψ
(
x
)
=
exp
(
i
S
(
x
)
/
ℏ
)
∑
k
=
0
∞
a
k
(
x
)
ℏ
k
{\displaystyle \psi (x)=\exp(iS(x)/\hbar )\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(x)\hbar ^{k}}
여기서, 각 항의 단위는 다음과 같다.
S
(
x
)
{\displaystyle S(x)}
a
k
(
x
)
{\displaystyle a_{k}(x)}
−n /2 [작용]−k 의 단위를 갖는다.이를 슈뢰딩거 방정식
0
=
(
−
ℏ
2
∇
2
+
2
m
(
V
(
x
)
−
E
)
)
ψ
{\displaystyle 0=\left(-\hbar ^{2}\nabla ^{2}+2m(V(x)-E)\right)\psi }
에 대입하여
ℏ
{\displaystyle \hbar }
편미분 방정식 을 얻는다.[ 1] :§2.2
∇
μ
S
(
x
)
∇
μ
S
(
x
)
=
2
m
(
E
−
V
(
x
)
)
{\displaystyle \nabla ^{\mu }S(x)\nabla _{\mu }S(x)=2m\left(E-V(x)\right)}
(
(
∇
2
S
(
x
)
)
+
2
(
∂
μ
S
)
∂
μ
)
a
0
(
x
)
=
0
{\displaystyle \left(\left(\nabla ^{2}S(x)\right)+2(\partial ^{\mu }S)\partial _{\mu }\right)a_{0}(x)=0}
(
(
∇
2
S
(
x
)
)
+
2
(
∂
μ
S
)
∂
μ
)
a
k
(
x
)
=
i
∇
2
a
k
−
1
(
x
)
{\displaystyle \left(\left(\nabla ^{2}S(x)\right)+2(\partial ^{\mu }S)\partial _{\mu }\right)a_{k}(x)=i\nabla ^{2}a_{k-1}(x)}
고전적 영역에서는
S
{\displaystyle S}
S
{\displaystyle S}
처음 두 개의 편미분 방정식 은 다음과 같이 기하학적으로 해석할 수 있다. 우선, 심플렉틱 다양체
T
∗
M
{\displaystyle T^{*}M}
라그랑주 부분 다양체 를 정의하자.
L
=
{
(
x
,
p
)
:
x
∈
M
,
p
=
∂
μ
S
(
x
)
∈
T
x
∗
M
}
⊂
T
∗
M
{\displaystyle L=\{(x,p)\colon x\in M,\;p=\partial _{\mu }S(x)\in T_{x}^{*}M\}\subset T^{*}M}
이 경우, 다음과 같은 자연스러운 사영 사상이 존재하며, 이는 미분 동형 을 이룬다.
π
:
L
→
M
{\displaystyle \pi \colon L\to M}
π
:
(
x
,
p
)
↦
x
{\displaystyle \pi \colon (x,p)\mapsto x}
그렇다면, 처음 두 개의 WKB 방정식은 다음과 같이 해석할 수 있다.[ 1] :§2.2
S
{\displaystyle S}
해밀턴-야코비 방정식 이며, 이는 해밀토니언 을
L
{\displaystyle L}
상수 함수 임을 뜻한다.
H
|
L
=
E
{\displaystyle H|_{L}=E}
a
0
{\displaystyle a_{0}}
∇
μ
(
a
2
∂
μ
S
)
=
0
{\displaystyle \nabla ^{\mu }(a^{2}\partial _{\mu }S)=0}
영어 : transport equation )이며, 이는
L
{\displaystyle L}
밀도
π
∗
(
a
0
2
(
x
)
det
g
(
x
)
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
n
)
{\displaystyle \pi ^{*}\left(a_{0}^{2}(x){\sqrt {\det g(x)}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)}
(
X
H
)
I
=
(
ω
−
1
)
I
J
∂
J
H
{\displaystyle (X_{H})^{I}=(\omega ^{-1})^{IJ}\partial _{J}H}
해밀턴-야코비 방정식 에 의하여, 해밀토니언 벡터장은 항상
L
{\displaystyle L}
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
밀도 의 리 미분 이며,
π
∗
{\displaystyle \pi ^{*}}
π
{\displaystyle \pi }
당김 이다.
L
X
H
π
∗
(
a
0
2
(
x
)
det
g
(
x
)
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
n
)
=
0
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X_{H}}\pi ^{*}\left(a_{0}^{2}(x){\sqrt {\det g(x)}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)=0}
따라서, 처음 두 WKB 방정식은 기하학적 양자화 에서, 라그랑주 부분 다양체 및 그 위에 주어진 ½-밀도 로서 주어진 고전적 상태가 만족시켜야 하는 조건을 나타낸다. 그러나 나머지 WKB 방정식들은 이와 같이 간단한 기하학적 해석을 부여하기 힘들다.
![{\displaystyle \Psi (x)\approx CB_{0}^{-1/2}\exp \left(i\int B_{0}\,dx\right)={\frac {C_{+}\exp \left(i\int {\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}dx\right)+C_{-}\exp \left(-i\int {\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}dx\right)}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bd8bfbdfdbb6622f8ab7555a39fc850e1a754b2)
![{\displaystyle \Psi (x)\approx DA_{0}^{-1/2}\exp \left(\int A_{0}\,dx\right)={\frac {D_{+}\exp \left(\int {\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}\,dx\right)+D_{-}\exp \left(-\int {\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}\,dx\right)}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/518cbd1d5fa9959b4073093667e4052ad29c6688)
![{\displaystyle \Psi (x)=aAi({\sqrt[{3}]{2mV'(x_{0})/\hbar ^{2}}}x)+bBi({\sqrt[{3}]{2mV'(x_{0})/\hbar ^{2}}}x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c1cdcd1a0ee4562b74f8ae7f96089d6b20bb8cc)
