슈라이어 정리

군론에서 슈라이어 정리(영어: Schreier theorem)는 임의의 군의 두 정규 부분군의 열을 서로 ‘동치’가 되도록 세분할 수 있다는 정리이다.

정의

군 $G$의 정규 부분군들의 열

$1=G_{0}\vartriangleleft G_{1}\vartriangleleft G_{2}\vartriangleleft \cdots \vartriangleleft G_{m}=G$

$1=H_{0}\vartriangleleft H_{1}\vartriangleleft H_{2}\vartriangleleft \cdots \vartriangleleft H_{n}=G$

이 주어졌다고 하자. 만약 전자에 유한 개의 부분군을 추가하여 후자를 얻을 수 있다면, 후자가 전자의 세분(영어: refinement)이라고 한다. 만약 $m=n$이며, 모든 $i=1,\dots ,n$에 대하여 몫군 $G_{i}/G_{i-1}$와 $H_{\sigma (i)}/H_{\sigma (i)-1}$이 동형이 되는, $i=1,\dots ,n$의 순열 $\sigma$가 존재한다면, 두 열이 서로 동치(영어: equivalent)라고 한다.

슈라이어 정리에 따르면, 군 $G$의 두 정규 부분군의 열은 서로 동치인 세분을 갖는다.^{:22, §I.3, Theorem 3.4}

슈라이어 정리의 증명:

군 $G$의 두 정규 부분군의 열

$1=G_{0}\vartriangleleft G_{1}\vartriangleleft G_{2}\vartriangleleft \cdots \vartriangleleft G_{m}=G$

$1=H_{0}\vartriangleleft H_{1}\vartriangleleft H_{2}\vartriangleleft \cdots \vartriangleleft H_{n}=G$

이 주어졌다고 하자.

$G_{ij}=G_{i-1}(H_{j}\cap G_{i})\qquad (i=1,\dots ,m,\;j=0,\dots ,n)$

$H_{ij}=H_{j-1}(G_{i}\cap H_{j})\qquad (i=0,\dots ,m,\;j=1,\dots ,n)$

라고 하자. 그렇다면, 나비 보조정리에 따라 각 $i=1,\dots ,m$ 및 $j=1,\dots ,n$에 대하여

$G_{i,j-1}\vartriangleleft G_{ij}$

$H_{i-1,j}\vartriangleleft H_{ij}$

이며, 다음과 같은 ($mn$쌍의) 몫군의 동형이 성립한다.

$G_{ij}/G_{i,j-1}\cong H_{ij}/H_{i-1,j}$

따라서, 두 열의 세분

$1=G_{0}=G_{10}\vartriangleleft G_{11}\vartriangleleft \cdots \vartriangleleft G_{1n}=G_{1}=G_{20}\vartriangleleft G_{21}\vartriangleleft \cdots \vartriangleleft G_{mn}=G$

$1=H_{0}=H_{01}\vartriangleleft G_{11}\vartriangleleft \cdots \vartriangleleft G_{m1}=H_{1}=H_{02}\vartriangleleft H_{12}\vartriangleleft \cdots \vartriangleleft H_{mn}=G$

은 서로 동치이다.