스테인하우스-모서 표기법

수학에서 스테인하우스-모서 표기법(영어: Steinhaus–Moser notation)은 특정한 매우 큰 수를 표현하는 표기법으로, 스테인하우스의 다각형 표기법의 확장판이다.

정의

삼각형 안에

n

을 쓴 수는

n n

을 의미한다.

사각형 안에

n

을 쓴 수는 "중첩된 삼각형

n

개 안에

n

을 쓴 수"와 같다.

오각형 안에

n

을 쓴 수는 "중첩된 사각형

n

개 안에

n

을 쓴 수"와 같다.

etc.: ( $m + 1$ )각형 안에 $n$ 을 쓴 수는 "중첩된 $m$ 각형 $n$ 개 안에 $n$ 을 쓴 수"와 같다. 다각형이 여러 개 중첩되어 있을 때, associated inward이다. 삼각형 두 개 안에 $n$ 을 쓴 것은 삼각형 안에 $n n$ 을 쓴 것과 같고, $n n$ 의 $n n$ 제곱과 같다.

스테인하우스는 삼각형, 사각형, 그리고 위에서 정의한 오각형과 동일한 원 만을 정의했다.

특수값

스테인하우스는 다음을 정의했다:

mega는 원 안에 2를 쓴 수이다: ②
megiston은 원 안에 10을 쓴 수이다: ⑩

모서 수(영어: Moser's number)는 "megagon 안에 2를 쓴 수"를 나타내고, megagon은 "mega"각형을 의미하며, 백만각형(영어: megagon)과 혼동해서는 안된다.

다른 표기법:

함수 square(x)와 triangle(x)를 사용한다
M(n, m, p)를 중첩된 p각형 m개 안에 n을 쓴 수를 의미한다. 즉, 규칙은 다음과 같다:
- $M(n,1,3)=n^{n}$
- $M(n,1,p+1)=M(n,n,p)$
- $M(n,m+1,p)=M(M(n,1,p),m,p)$
그리고
- mega = $M(2,1,5)$
- megiston = $M(10,1,5)$
- moser = $M(2,1,M(2,1,5))$

Mega

mega (②)는 다음을 보면 알 수 있듯이 그 자체로도 매우 큰 수이다: ② = square(square(2)) = square(triangle(triangle(2))) = square(triangle(2²)) = square(triangle(4)) = square(4⁴) = square(256) = triangle(triangle(triangle(...triangle(256)...))) [256 triangles] = triangle(triangle(triangle(...triangle(256²⁵⁶)...))) [255 triangles] ~ triangle(triangle(triangle(...triangle(3.2 × 10⁶¹⁶)...))) [254 triangles] = ...

다른 표기법을 사용하면:

mega = M(2,1,5) = M(256,256,3)

함수 $f(x)=x^{x}$ 를 사용하면 mega = $f^{256}(256)=f^{258}(2)$ 이고, 이 때 지수는 대수적인 거듭제곱이 아닌 함수의 거듭제곱을 의미한다.

우리는 다음을 알고 있다(거듭제곱이 오른쪽에서 왼쪽으로 계산하는 관습을 주목하라):

M(256,2,3) = $(256^{\,\!256})^{256^{256}}=256^{256^{257}}$
M(256,3,3) = $(256^{\,\!256^{257}})^{256^{256^{257}}}=256^{256^{257}\times 256^{256^{257}}}=256^{256^{257+256^{257}}}$ ≈ $256^{\,\!256^{256^{257}}}$

유사하게:

M(256,4,3) ≈ ${\,\!256^{256^{256^{256^{257}}}}}$
M(256,5,3) ≈ ${\,\!256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}}$

etc.

따라서:

mega = $M(256,256,3)\approx (256\uparrow )^{256}257$ 이고, 이 때 $(256\uparrow )^{256}$ 는 함수 $f(n)=256^{n}$ 의 함수 거듭제곱을 의미한다.

더 근사하면 (끝의 257을 256으로 바꾸면), 커누스 윗화살표 표기법으로 mega ≈ $256\uparrow \uparrow 257$ 을 얻을 수 있다.

처음 몇 단계 이후 $n^{n}$ 의 값은 근사적으로 $256^{n}$ 과 같아진다. 사실은 $10^{n}$ 과도 같아진다 (매우 큰 수에 대한 근사적 산술을 보라). 십진법을 사용하면 다음을 얻을 수 있다:

$M(256,1,3)\approx 3.23\times 10^{616}$
$M(256,2,3)\approx 10^{\,\!1.99\times 10^{619}}$ ( $\log _{10}616$ 을 616에 더한 값이다)
$M(256,3,3)\approx 10^{\,\!10^{1.99\times 10^{619}}}$ ( $619$ 가 $1.99\times 10^{619}$ 에 더해졌지만 무시할 수 있기 때문에 단순히 아래에 10이 더 생겼다)
$M(256,4,3)\approx 10^{\,\!10^{10^{1.99\times 10^{619}}}}$

...

mega = $M(256,256,3)\approx (10\uparrow )^{255}1.99\times 10^{619}$ , 이 때 $(10\uparrow )^{255}$ 는 함수 $f(n)=10^{n}$ 의 함수적 거듭제곱을 의미한다. 따라서 $10\uparrow \uparrow 257<{\text{mega}}<10\uparrow \uparrow 258$ 이다.