커누스 윗화살표 표기법 (Knuth's up-arrow notation)은 도널드 커누스 가 1976년 에 개발한 아주 큰 수 를 표기하는 방법이다. 이 표기법은 아커만 함수 와 특히 하이퍼 연산 수열과 매우 밀접한 관련이 있으며, 곱셈 은 반복되는 덧셈 으로 볼 수 있고, 거듭제곱 도 반복되는 곱셈 으로 볼 수 있다는 사실에 기반해서 아이디어를 얻었다. 이런 방식으로 계속하면 테트레이션 (반복된 거듭제곱)과 보통 커누스 윗화살표 표기법으로 표시되는 하이퍼 연산 수열의 나머지로 이어진다. 이 표기법은 명시적으로 쓸 수 있는 수보다 훨씬 더 큰 수를 간단하게 표기할 수 있다.
윗화살표 한 개는 거듭제곱 (반복되는 곱셈)을 의미하고, 한 개 이상의 윗화살표는 한 개 적은 화살표를 반복하는 것을 의미한다.
예를 들어,
윗화살표 한 개는 곱셈의 반복(거듭제곱 )이다
2
↑
4
=
2
∗
(
2
∗
(
2
∗
2
)
)
=
2
4
=
16
{\displaystyle 2\uparrow 4=2*(2*(2*2))=2^{4}=16}
윗화살표 두 개는 거듭제곱의 반복(테트레이션 )이다
2
↑↑
4
=
2
↑
(
2
↑
(
2
↑
2
)
)
=
2
2
2
2
=
65536
{\displaystyle 2\uparrow \uparrow 4=2\uparrow (2\uparrow (2\uparrow 2))=2^{2^{2^{2}}}=65536}
윗화살표 세 개는 테트레이션의 반복(펜테이션 )이다
2
↑↑↑
3
=
2
↑↑
(
2
↑↑
2
)
=
2
↑↑
(
2
↑
2
)
=
2
↑↑
2
2
=
2
↑↑
4
=
2
↑
2
↑
2
↑
2
=
2
2
2
2
=
65536
{\displaystyle {\begin{aligned}2\uparrow \uparrow \uparrow 3&=2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow 2)\\&=2\uparrow \uparrow (2\uparrow 2)\\&=2\uparrow \uparrow 2^{2}\\&=2\uparrow \uparrow 4\\&=2\uparrow 2\uparrow 2\uparrow 2\\&=2^{2^{2^{2}}}\\&=65536\end{aligned}}}
이 표기법의 일반적인 정의는 다음과 같다(정수 a 와 음이 아닌 정수 b ,n 에 대해서):
a
↑
n
b
=
{
a
b
,
if
n
=
1
;
1
,
if
n
≥
1
and
b
=
0
;
a
↑
n
−
1
(
a
↑
n
(
b
−
1
)
)
,
otherwise
{\displaystyle a\uparrow ^{n}b=\left\{{\begin{matrix}a^{b},&{\mbox{if }}n=1;\\1,&{\mbox{if }}n\geq 1{\mbox{ and }}b=0;\\a\uparrow ^{n-1}(a\uparrow ^{n}(b-1)),&{\mbox{otherwise }}\end{matrix}}\right.}
덧셈 , 곱셈 , 그리고 거듭제곱 의 일반 산술 연산은 자연적으로 다음과 같이 하이퍼 연산 의 수열로 확장된다.
자연수 에 의한 곱셈 은 덧셈 의 반복으로 정의된다:
a
×
b
=
a
+
a
+
⋯
+
a
⏟
b
copies of
a
{\displaystyle {\begin{matrix}a\times b&=&\underbrace {a+a+\dots +a} \\&&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}}
예를 들면,
3
×
4
=
4
+
4
+
4
⏟
=
12
3
copies of
4
{\displaystyle {\begin{matrix}3\times 4&=&\underbrace {4+4+4} &=&12\\&&3{\mbox{ copies of }}4\end{matrix}}}
자연수 지수
b
{\displaystyle b}
거듭제곱 은 곱셈의 반복으로 정의되며, 커누스는 윗화살표 한 개로 표기했다:
a
↑
b
=
a
b
=
a
×
a
×
⋯
×
a
⏟
b
copies of
a
{\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow b=a^{b}=&\underbrace {a\times a\times \dots \times a} \\&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}}
예를 들면,
4
↑
3
=
4
3
=
4
×
4
×
4
⏟
=
64
3
copies of
4
{\displaystyle {\begin{matrix}4\uparrow 3=4^{3}=&\underbrace {4\times 4\times 4} &=&64\\&3{\mbox{ copies of }}4\end{matrix}}}
연산의 수열을 거듭제곱을 넘어서 확장하기 위해서 커누스는 거듭제곱의 반복(테트레이션 )을 의미하는 “이중 윗화살표” 연산 을 정의했다:
a
↑↑
b
=
b
a
=
a
a
.
.
.
a
⏟
=
a
↑
(
a
↑
(
⋯
↑
a
)
)
⏟
b
copies of
a
b
copies of
a
{\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow \uparrow b&={\ ^{b}a}=&\underbrace {a^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{a}}}}}}} &=&\underbrace {a\uparrow (a\uparrow (\dots \uparrow a))} \\&&b{\mbox{ copies of }}a&&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}}
예를 들면,
4
↑↑
3
=
3
4
=
4
4
4
⏟
=
4
↑
(
4
↑
4
)
⏟
=
4
256
≈
1.34078079
×
10
154
3
copies of
4
3
copies of
4
{\displaystyle {\begin{matrix}4\uparrow \uparrow 3&={\ ^{3}4}=&\underbrace {4^{4^{4}}} &=&\underbrace {4\uparrow (4\uparrow 4)} &=&4^{256}&\approx &1.34078079\times 10^{154}&\\&&3{\mbox{ copies of }}4&&3{\mbox{ copies of }}4\end{matrix}}}
여기와 아래의 계산은 오른쪽에서 왼쪽으로 일어난다, 왜냐하면 커누스 윗화살표 연산(거듭제곱과 같은)은 Right associative 연산으로 정의했기 때문이다.
이 정의에 의해서,
3
↑↑
2
=
3
3
=
27
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 2=3^{3}=27}
3
↑↑
3
=
3
3
3
=
3
27
=
7
,
625
,
597
,
484
,
987
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987}
3
↑↑
4
=
3
3
3
3
=
3
3
27
=
3
7625597484987
≈
1.2580143
×
10
3638334640024
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 4=3^{3^{3^{3}}}=3^{3^{27}}=3^{7625597484987}\approx 1.2580143\times 10^{3638334640024}}
3
↑↑
5
=
3
3
3
3
3
=
3
3
3
27
=
3
3
7625597484987
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 5=3^{3^{3^{3^{3}}}}=3^{3^{3^{27}}}=3^{3^{7625597484987}}}
etc. 이것만 해도 상당히 큰 수가 나오지만 커누스는 이 표기법을 확장했다. 커누스는 테트레이션의 반복(펜테이션 )을 의미하는 “삼중 윗화살표” 연산을 정의했다:
a
↑↑↑
b
=
a
↑↑
(
a
↑↑
(
⋯
↑↑
a
)
)
⏟
b
copies of
a
{\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow \uparrow \uparrow b=&\underbrace {a_{}\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow (\dots \uparrow \uparrow a))} \\&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}}
잇따라 “사중 윗화살표“ 연산은 펜테이션의 반복(헥세이션 )을 의미한다:
a
↑↑↑↑
b
=
a
↑↑↑
(
a
↑↑↑
(
⋯
↑↑↑
a
)
)
⏟
b
copies of
a
{\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=&\underbrace {a_{}\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow (\dots \uparrow \uparrow \uparrow a))} \\&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}}
그리고 계속된다. 일반적인 규칙은
n
{\displaystyle n}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
a
↑
↑
…
↑
⏟
n
b
=
a
↑
…
↑
⏟
n
−
1
(
a
↑
…
↑
⏟
n
−
1
(
…
↑
…
↑
⏟
n
−
1
a
)
)
⏟
b
copies of
a
{\displaystyle {\begin{matrix}a\ \underbrace {\uparrow _{}\uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } _{n}\ b=\underbrace {a\ \underbrace {\uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } _{n-1}\ (a\ \underbrace {\uparrow _{}\!\!\dots \!\!\uparrow } _{n-1}\ (\dots \ \underbrace {\uparrow _{}\!\!\dots \!\!\uparrow } _{n-1}\ a))} _{b{\text{ copies of }}a}\end{matrix}}}
예시:
3
↑↑↑
2
=
3
↑↑
3
=
3
3
3
=
3
27
=
7
,
625
,
597
,
484
,
987
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow 2=3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987}
3
↑↑↑
3
=
3
↑↑
(
3
↑↑
3
)
=
3
↑↑
(
3
↑
3
↑
3
)
=
3
↑
3
↑
⋯
↑
3
⏟
3
↑
3
↑
3
copies of
3
=
3
↑
3
↑
⋯
↑
3
⏟
7,625,597,484,987 copies of 3
=
3
3
3
3
⋅
⋅
⋅
⋅
3
⏟
7,625,597,484,987 copies of 3
{\displaystyle {\begin{matrix}3\uparrow \uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow (3\uparrow \uparrow 3)=3\uparrow \uparrow (3\uparrow 3\uparrow 3)=&\underbrace {3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&3\uparrow 3\uparrow 3{\mbox{ copies of }}3\end{matrix}}{\begin{matrix}=&\underbrace {3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&{\mbox{7,625,597,484,987 copies of 3}}\end{matrix}}{\begin{matrix}=&\underbrace {3^{3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}}}} \\&{\mbox{7,625,597,484,987 copies of 3}}\end{matrix}}}
a
↑
n
b
{\displaystyle a\uparrow ^{n}b}
a
↑↑
⋯
↑
b
{\displaystyle a\uparrow \uparrow \dots \uparrow b}
n 개인 것을 나타낸다. 사실
a
↑
n
b
{\displaystyle a\uparrow ^{n}b}
하이퍼 연산 으로 a [n +2] b 이다. 예를 들어,
39
↑↑
14
{\displaystyle 39\uparrow \uparrow 14}
테트레이션 을 의미한다)로 쓸 수 있지만 39 [2] 14 = 39 × 14 = 546인 것은 아니다. 비슷하게,
77
↑
77
77
{\displaystyle 77\uparrow ^{77}77}
어떤 수는 너무 커서 커누스 윗화살표 표기법으로 쓰기에도 버거울 수 있다. 그러면 n 중 화살표 연산
↑
n
{\displaystyle \uparrow ^{n}}
하이퍼 연산 이 유용하다 (그리고 화살표의 개수가 변수일 때를 나타낼 때도 유용하다).
어떤 수는 너무 커서 이 표기법도 충분하지 않을 수 있다. 그러면 콘웨이 연쇄 화살표 표기법 을 쓸 수 있다: 세 원소들의 연쇄 화살표는 다른 표기법과 동일하지만, 길이가 4 이상이면 더 강력하다.
a
↑
n
b
=
a
[
n
+
2
]
b
=
a
→
b
→
n
(커 누 스 )
(하 이 퍼 연 산 )
(콘 웨 이 )
{\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow ^{n}b&=&a[n+2]b&=&a\to b\to n\\{\mbox{(커 누 스 )}}&&{\mbox{(하 이 퍼 연 산 )}}&&{\mbox{(콘 웨 이 )}}\end{matrix}}}
보통 커누스 윗화살표는 비교적 작은 수에, 연쇄 화살표나 하이퍼 연산은 더 큰 수에 써야 한다고 주장한다.[누가 ?]
윗화살표 표기법은 공식적으로
b
≥
0
,
n
≥
0
{\displaystyle b\geq 0,n\geq 0}
a
,
b
,
n
{\displaystyle a,b,n}
a
↑
n
b
=
{
a
b
,
if
n
=
0
;
1
,
if
n
≥
1
and
b
=
0
;
a
↑
n
−
1
(
a
↑
n
(
b
−
1
)
)
,
otherwise
{\displaystyle a\uparrow ^{n}b=\left\{{\begin{matrix}ab,&{\mbox{if }}n=0;\\1,&{\mbox{if }}n\geq 1{\mbox{ and }}b=0;\\a\uparrow ^{n-1}(a\uparrow ^{n}(b-1)),&{\mbox{otherwise }}\end{matrix}}\right.}
이 정의는 곱셈 을 기본 연산으로 두고
(
a
↑
0
b
=
a
b
)
{\displaystyle (a\uparrow ^{0}b=ab)}
거듭제곱
(
a
↑
1
b
=
a
↑
b
=
a
b
)
{\displaystyle (a\uparrow ^{1}b=a\uparrow b=a^{b})}
테트레이션
(
a
↑
2
b
=
a
↑↑
b
)
{\displaystyle (a\uparrow ^{2}b=a\uparrow \uparrow b)}
하이퍼 연산 수열 과 동등핟다. 여기서 없는 함수는 다음수 와 덧셈 으로, 이 함수를 포함하려면 정의를 더 복잡하게 하는 추가 시작값을 필요로 한다.)
모든 윗화살표 연산(평범한 거듭제곱
a
↑
b
{\displaystyle a\uparrow b}
a
↑
b
↑
c
=
a
↑
(
b
↑
c
)
{\displaystyle a\uparrow b\uparrow c=a\uparrow (b\uparrow c)}
(
a
↑
b
)
↑
c
{\displaystyle (a\uparrow b)\uparrow c}
3
↑↑
3
=
3
3
3
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}}
3
(
3
3
)
=
3
27
=
7625597484987
{\displaystyle 3^{(3^{3})}=3^{27}=7625597484987}
(
3
3
)
3
=
27
3
=
19683.
{\displaystyle \left(3^{3}\right)^{3}=27^{3}=19683.}
right-associativity 때문에
b
≥
1
,
n
≥
1
{\displaystyle b\geq 1,n\geq 1}
a
↑
n
b
=
a
↑
n
−
1
a
↑
n
−
1
⋯
a
↑
n
−
1
a
(
with
b
a
's
)
=
a
↑
n
−
1
a
↑
n
−
1
⋯
a
↑
n
−
1
a
↑
n
−
1
1
(
with
b
a
's
)
=
(
a
↑
n
−
1
)
b
1
{\displaystyle {\begin{array}{lcl}a\uparrow ^{n}b&=&a\uparrow ^{n-1}a\uparrow ^{n-1}\cdots a\uparrow ^{n-1}a\ \ ({\text{with }}b\ a{\text{'s}})\\&=&a\uparrow ^{n-1}a\uparrow ^{n-1}\cdots a\uparrow ^{n-1}a\uparrow ^{n-1}1\ \ ({\text{with }}b\ a{\text{'s}})\\&=&(a\uparrow ^{n-1})^{b}1\end{array}}}
각
a
{\displaystyle a}
가환 이 아니기 때문에 이 점은 중요하다),
(
a
↑
m
)
b
{\displaystyle (a\uparrow ^{m})^{b}}
f
(
x
)
=
a
↑
m
x
{\displaystyle f(x)=a\uparrow ^{m}x}
b 번 합성 한 것으로 썼다.
(
a
↑
m
)
0
n
=
n
{\displaystyle (a\uparrow ^{m})^{0}n=n}
b
≥
0
,
n
≥
0
{\displaystyle b\geq 0,n\geq 0}
a
,
b
,
n
{\displaystyle a,b,n}
a
↑
n
b
=
{
a
b
,
if
n
=
0
;
(
a
↑
n
−
1
)
b
1
if
n
≥
1
{\displaystyle a\uparrow ^{n}b=\left\{{\begin{matrix}ab,&{\mbox{if }}n=0;\\(a\uparrow ^{n-1})^{b}1&{\mbox{if }}n\geq 1\end{matrix}}\right.}
2
↑
m
n
{\displaystyle 2\uparrow ^{m}n}
2
n
{\displaystyle 2^{n}}
2
↑
m
n
{\displaystyle 2\uparrow ^{m}n}
hyper (2, m + 2, n ) = 2 → n → m 의 값
m \n
1
2
3
4
5
6
공식
1
2
4
8
16
32
64
2
n
{\displaystyle 2^{n}}
2
2
4
16
65536
2
65
536
≈
2.0
×
10
19
728
{\displaystyle 2^{65\,536}\approx 2.0\times 10^{19\,728}}
2
2
65
536
≈
10
6.0
×
10
19
727
{\displaystyle 2^{2^{65\,536}}\approx 10^{6.0\times 10^{19\,727}}}
2
↑↑
n
{\displaystyle 2\uparrow \uparrow n}
3
2
4
65536
2
2
.
.
.
2
⏟
65536
copies of
2
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65536{\mbox{ copies of }}2\end{matrix}}}
2
2
.
.
.
2
⏟
2
2
.
.
.
2
⏟
65536
copies of
2
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65536{\mbox{ copies of }}2\end{matrix}}}
2
2
.
.
.
2
⏟
2
2
.
.
.
2
⏟
2
2
.
.
.
2
⏟
65536
copies of
2
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65536{\mbox{ copies of }}2\end{matrix}}}
2
↑↑↑
n
{\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow n}
4
2
4
2
2
.
.
.
2
⏟
65536
copies of
2
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65536{\mbox{ copies of }}2\end{matrix}}}
2
↑↑↑↑
n
{\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n}
이 표는
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
아커만 함수의 표 와 같다.
3
n
{\displaystyle 3^{n}}
3
↑
m
n
{\displaystyle 3\uparrow ^{m}n}
hyper (3, m + 2, n ) = 3 → n → m 의 값
m \n
1
2
3
4
5
공식
1
3
9
27
81
243
3
n
{\displaystyle 3^{n}}
2
3
27
7,625,597,484,987
3
7,625,597,484,987
{\displaystyle 3^{7{,}625{,}597{,}484{,}987}}
3
3
7,625,597,484,987
{\displaystyle 3^{3^{7{,}625{,}597{,}484{,}987}}}
3
↑↑
n
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow n}
3
3
7,625,597,484,987
3
3
.
.
.
3
⏟
7,625,597,484,987
copies of
3
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\7{,}625{,}597{,}484{,}987{\mbox{ copies of }}3\end{matrix}}}
3
↑↑↑
n
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow n}
4
3
3
3
.
.
.
3
⏟
7,625,597,484,987
copies of
3
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\7{,}625{,}597{,}484{,}987{\mbox{ copies of }}3\end{matrix}}}
3
↑↑↑↑
n
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n}
4
n
{\displaystyle 4^{n}}
4
↑
m
n
{\displaystyle 4\uparrow ^{m}n}
hyper (4, m + 2, n ) = 4 → n → m 의 값
m \n
1
2
3
4
5
공식
1
4
16
64
256
1024
4
n
{\displaystyle 4^{n}}
2
4
256
1.3407807930
×
10
154
{\displaystyle 1.3407807930\times 10^{154}}
4
1.3407807930
×
10
154
{\displaystyle 4^{1.3407807930\times 10^{154}}}
4
4
1.3407807930
×
10
154
{\displaystyle 4^{4^{1.3407807930\times 10^{154}}}}
4
↑↑
n
{\displaystyle 4\uparrow \uparrow n}
3
4
4
1.3407807930
×
10
154
{\displaystyle 4^{1.3407807930\times 10^{154}}}
4
4
.
.
.
4
⏟
4
1.3407807930
×
10
154
copies of
4
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\4^{1.3407807930\times 10^{154}}{\mbox{ copies of }}4\end{matrix}}}
4
↑↑↑
n
{\displaystyle 4\uparrow \uparrow \uparrow n}
4
4
4
4
.
.
.
4
⏟
4
4
.
.
.
4
⏟
4
1.3407807930
×
10
154
copies of
4
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\4^{1.3407807930\times 10^{154}}{\mbox{ copies of }}4\end{matrix}}}
4
↑↑↑↑
n
{\displaystyle 4\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n}
10
n
{\displaystyle 10^{n}}
10
↑
m
n
{\displaystyle 10\uparrow ^{m}n}
hyper (10, m + 2, n ) = 10 → n → m 의 값
m \n
1
2
3
4
5
공식
1
10
100
1,000
10,000
100,000
10
n
{\displaystyle 10^{n}}
2
10
10,000,000,000
10
10
,
000
,
000
,
000
{\displaystyle 10^{10,000,000,000}}
10
10
10
,
000
,
000
,
000
{\displaystyle 10^{10^{10,000,000,000}}}
10
10
10
10
,
000
,
000
,
000
{\displaystyle 10^{10^{10^{10,000,000,000}}}}
10
↑↑
n
{\displaystyle 10\uparrow \uparrow n}
3
10
10
10
.
.
.
10
⏟
10
copies of
10
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10{\mbox{ copies of }}10\end{matrix}}}
10
10
.
.
.
10
⏟
10
10
.
.
.
10
⏟
10
copies of
10
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10{\mbox{ copies of }}10\end{matrix}}}
10
10
.
.
.
10
⏟
10
10
.
.
.
10
⏟
10
10
.
.
.
10
⏟
10
copies of
10
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10{\mbox{ copies of }}10\end{matrix}}}
10
↑↑↑
n
{\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow n}
4
10
10
.
.
.
10
10
⏟
10
copies of
10
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\10{\mbox{ copies of }}10\end{matrix}}}
10
.
.
.
10
10
⏟
10
.
.
.
10
10
⏟
10
copies of
10
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\10{\mbox{ copies of }}10\end{matrix}}}
10
↑↑↑↑
n
{\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n}
2 ≤ n ≤ 9일 때
10
↑
m
n
{\displaystyle 10\uparrow ^{m}n}
m 이 가장 우선적인 사전식 순서 여서 이 8열에서 수치적인 순서는 단순히 행의 순서대로인 것을 보라. 3 ≤ n ≤ 99인 97열에도 마찬가지로 적용이 되고, m = 1에서 시작하면 3 ≤ n ≤ 9,999,999,999까지 가능하다.
루벤 루이스 굿스타인 은 커누스 화살표와 다른 표기법 시스템을 가지고
(
+
,
×
,
↑
,
↑↑
,
…
)
{\displaystyle (+,\ \times ,\ \uparrow ,\ \uparrow \uparrow ,\ \dots )}
하이퍼 연산 수열을 이용해서 음이 아닌 정수에 대한 기수법을 만들었다.[ 1]
(
+
,
×
,
↑
,
↑↑
,
…
)
{\displaystyle (+,\ \times ,\ \uparrow ,\ \uparrow \uparrow ,\ \dots )}
b 를 밑으로 하는 정수 n 의 k 단계 완전 hereditary 표현 은 처음 k 하이퍼 연산과 0, 1, ..., b − 1의 자릿수와 밑인 b 자신을 포함하는 숫자들만을 이용해서 다음과 같이 나타낼 수 있다:
0 ≤ n ≤ b -1일 때는, n 은 단순히 대응하는 숫자로 표현한다.
n > b -1일 때는, n 의 표현은 재귀적으로 찾는다. 먼저 n 은 다음의 형태로 나타난다:b [k ] x k k - 1] x k -1k - 2] ... [2] x 2 [1] x 1 이 때 x k x 1 는 다음을 (차례로)만족하는 가장 큰 정수이다. b [k ] x k n b [k ] x k k - 1] x k - 1n ... b [k ] x k k - 1] x k - 1k - 2] ... [2] x 2 [1] x 1 ≤ n b -1을 넘는 x i b -1과 밑인 b 만 남을 때까지 계속한다.이 부분의 나머지는 하이퍼 연산을 표현하기 위해 윗첨자로 사용한다.
계산할 때 고차 연산에 높은 우선도를 부여해서 불필요한 괄호를 피할 수 있다; 따라서,
1단계 표현은 b [1] X의 형태를 하고, X 도 이 형태이다.
2단계 표현은 b [2] X [1] Y의 형태를 하고, X ,Y 도 이 형태이다.
3단계 표현은 b [3] X [2] Y [1] Z의 형태를 하고, X ,Y ,Z 도 이 형태이다.
4단계 표현은 b [4] X [3] Y [2] Z [1] W의 형태를 하고, X ,Y ,Z ,W 도 이 형태이다.
그리고 계속된다.
밑이 b 인 hereditary 표현의 종류에서, 밑 자신이 {0, 1, ..., b -1}의 "자릿수"처럼 표현에서 나타난다는 점을 주목하라. 이 표현은 문자가 밑을 b 로 표시했을 때 일반적인 이진법과 비교된다. 예를 들어, 일반적인 이진법에서는 6 = (110)2 = 2 [3] 2 [2] 1 [1] 2 [3] 1 [2] 1 [1] 2 [3] 0 [2] 0이고 밑이 2인 3단계 hereditary 표현은 6 = 2 [3] (2 [3] 1 [2] 1 [1] 0) [2] 1 [1] (2 [3] 1 [2] 1 [1] 0)이다. hereditary 표현은 [1] 0, [2] 1, [3] 1, [4] 1, 등등의 요소를 제거해서 간략하게 만들 수 있다. 예를 들어, 위의 밑이 2인 6의 3단계 표현은 2 [3] 2 [1] 2로 간단히 할 수 있다.
예:
266 의 밑이 2인 유일한 1, 2, 3, 4, 그리고 5단계 표현은 다음과 같다:
1단계: 266 = 2 [1] 2 [1] 2 [1] ... [1] 2 (2가 133개)
2단계: 266 = 2 [2] (2 [2] (2 [2] (2 [2] 2 [2] 2 [2] 2 [2] 2 [1] 1)) [1] 1)
3단계: 266 = 2 [3] 2 [3] (2 [1] 1) [1] 2 [3] (2 [1] 1) [1] 2
4단계: 266 = 2 [4] (2 [1] 1) [3] 2 [1] 2 [4] 2 [2] 2 [1] 2
5단계: 266 = 2 [5] 2 [4] 2 [1] 2 [5] 2 [2] 2 [1] 2
커누스 윗화살표는 그레이엄 수 G64 (4)를 표기할 때 사용되고 있다. 그레이엄 수는 이름이 붙은 자연수 중에서 수학적 의미를 갖고 있는 가장 큰 수이다.
G
64
(
4
)
=
3
↑
.
.
.
↑
3
{\displaystyle G^{64}(4)=3\uparrow ...\uparrow 3}
63 (4)개이다.)
↑ Goodstein, R. L. (1947). “Transfinite ordinals in recursive number theory”. 《Journal of Symbolic Logic》 12 (4): 123–129. doi :10.2307/2266486 . JSTOR 2266486 .
![{\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow ^{n}b&=&a[n+2]b&=&a\to b\to n\\{\mbox{(커 누 스 )}}&&{\mbox{(하 이 퍼 연 산 )}}&&{\mbox{(콘 웨 이 )}}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66f43e91652e6de947dfa065b67dc83b7a17c5ff)
