상미분 방정식 이론에서, 스튀름-리우빌 연산자 (Sturm-Liouville演算子, 영어 : Sturm–Liouville operator )는 이산 스펙트럼 을 갖는 특별한 형태의 2차 미분 연산자 이다. 그 고유 함수 에 대한 2차 상미분 방정식 을 스튀름-리우빌 방정식 (Sturm-Liouville方程式, 영어 : Sturm–Liouville equation )이라고 하며, 이에 대한 이론을 스튀름-리우빌 이론 (Sturm-Liouville理論, 영어 : Sturm–Liouville theory )이라고 한다. 모든 2차 상미분 방정식은 항상 스튀름-리우빌 형으로 놓을 수 있다.
실수의 닫힌구간
[
a
,
b
]
⊊
R
{\displaystyle [a,b]\subsetneq \mathbb {R} }
연속 미분 가능 함수 에 대한 스튀름-리우빌 연산자 는 다음과 같은 꼴의 2차 미분 연산자 이다.
D
:
C
2
(
[
a
,
b
]
,
R
)
→
C
0
(
[
a
,
b
]
,
R
)
{\displaystyle D\colon {\mathcal {C}}^{2}([a,b],\mathbb {R} )\to {\mathcal {C}}^{0}([a,b],\mathbb {R} )}
D
=
−
1
w
(
x
)
(
d
d
x
p
(
x
)
d
d
x
+
q
(
x
)
)
=
−
p
(
x
)
w
(
x
)
d
2
d
x
2
−
1
w
(
x
)
p
′
(
x
)
d
d
x
−
q
(
x
)
w
(
x
)
{\displaystyle D=-{\frac {1}{w(x)}}\left({\frac {d}{dx}}p(x){\frac {d}{dx}}+q(x)\right)=-{\frac {p(x)}{w(x)}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-{\frac {1}{w(x)}}p'(x){\frac {d}{dx}}-{\frac {q(x)}{w(x)}}}
여기서
p
:
[
a
,
b
]
→
R
+
{\displaystyle p\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{+}}
연속 미분 가능 함수 이다.
q
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle q\colon [a,b]\to \mathbb {R} }
연속 함수 이다.
w
:
[
a
,
b
]
→
R
+
{\displaystyle w\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{+}}
연속 함수 이다. (이를 무게 함수 영어 : weight function 라고 한다.)닫힌구간
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
로뱅 경계 조건 (Robin境界條件, 영어 : Robin boundary condition )이란
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
연속 미분 가능 함수 에 대한, 다음과 같은 꼴의 경계 조건이다.
α
a
y
(
a
)
+
β
a
y
′
(
a
)
=
0
(
α
a
,
β
a
∈
R
)
{\displaystyle \alpha _{a}y(a)+\beta _{a}y'(a)=0\qquad (\alpha _{a},\beta _{a}\in \mathbb {R} )}
α
b
y
(
b
)
+
β
b
y
′
(
b
)
=
0
(
α
a
,
β
a
∈
R
)
{\displaystyle \alpha _{b}y(b)+\beta _{b}y'(b)=0\qquad (\alpha _{a},\beta _{a}\in \mathbb {R} )}
여기서, 다음 조건이 성립해야 한다.
α
a
{\displaystyle \alpha _{a}}
β
a
{\displaystyle \beta _{a}}
α
b
{\displaystyle \alpha _{b}}
β
b
{\displaystyle \beta _{b}}
즉,
[
α
a
:
β
a
]
{\displaystyle [\alpha _{a}:\beta _{a}]}
[
α
b
:
β
b
]
{\displaystyle [\alpha _{b}:\beta _{b}]}
사영 직선
P
R
1
=
R
⊔
{
∞
}
{\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {R} }^{1}=\mathbb {R} \sqcup \{\infty \}}
동차 좌표 를 이룬다.
로뱅 경계 조건을 골랐다면, 스튀름-리우빌 연산자는 힐베르트 공간
H
=
L
2
(
[
a
,
b
]
,
w
(
x
)
d
x
)
=
{
f
∈
L
0
(
[
a
,
b
]
,
R
)
:
∫
a
b
|
f
(
x
)
|
2
w
(
x
)
d
x
<
∞
}
{\displaystyle H=\operatorname {L} ^{2}([a,b],w(x)\,\mathrm {d} x)=\left\{f\in \operatorname {L} ^{0}([a,b],\mathbb {R} )\colon \int _{a}^{b}|f(x)|^{2}w(x)\,\mathrm {d} x<\infty \right\}}
위의 자기 수반 작용소 로 유일하게 확대될 수 있다. 이러한 확대는 선택한 로뱅 경계 조건에 의존한다.
스튀름-리우빌 연산자
D
{\displaystyle D}
고유 함수 방정식
D
y
(
x
)
=
λ
y
(
x
)
{\displaystyle Dy(x)=\lambda y(x)}
즉 선형 상미분 방정식
−
d
d
x
(
p
(
x
)
d
y
(
x
)
d
x
)
−
q
(
x
)
y
(
x
)
=
λ
w
(
x
)
y
(
x
)
{\displaystyle -{\frac {d}{dx}}\left(p(x){\frac {dy(x)}{dx}}\right)-q(x)y(x)=\lambda w(x)y(x)}
을 스튀름-리우빌 방정식 (영어 : Sturm–Liouville equation )이라고 한다.
이 방정식은 선형 상미분 방정식이므로,
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
λ
{\displaystyle \lambda }
벡터 공간 을 이룬다. 스튀름-리우빌 문제 는 스튀름-리우빌 미분 연산자 의 고윳값 을 구하는 문제이다.
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
w
:
[
a
,
b
]
→
R
+
{\displaystyle w\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{+}}
에 대한 스튀름-리우빌 연산자
D
:
L
2
(
[
a
,
b
]
,
w
)
→
L
2
(
[
a
,
b
]
,
w
)
{\displaystyle D\colon \operatorname {L} ^{2}([a,b],w)\to \operatorname {L} ^{2}([a,b],w)}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 스펙트럼 은 가산 집합 이며, 하계를 가지며, 상계를 갖지 않으며, 중복되지 않는다. 즉, 다음과 같이 놓을 수 있다.
λ
0
<
λ
1
<
λ
2
<
⋯
{\displaystyle \lambda _{0}<\lambda _{1}<\lambda _{2}<\dotsb }
lim
i
→
∞
λ
i
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{i\to \infty }\lambda _{i}=+\infty }
각 고윳값
λ
i
{\displaystyle \lambda _{i}}
연속 미분 가능 함수 로 구성된다. 또한, 이 함수는 열린구간
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
i
{\displaystyle i}
이러한 고유 함수들의 집합
{
y
0
,
y
1
,
…
}
{\displaystyle \{y_{0},y_{1},\dotsc \}}
H
{\displaystyle H}
H
{\displaystyle H}
정규 직교 기저 를 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
∫
a
b
y
i
(
x
)
y
j
(
x
)
w
(
x
)
d
x
=
δ
i
j
{\displaystyle \int _{a}^{b}y_{i}(x)y_{j}(x)w(x)\,\mathrm {d} x=\delta _{ij}}
편집
모든 2차 선형 상미분 방정식 은 좌변에 적당한 적분 인자(integrating factor )를 곱해 스튀름-리우빌 방정식의 꼴로 놓을 수 있다. (2차 편미분 방정식 이나, y 가 스칼라 가 아니라 벡터 인 경우에는 성립하지 않는다.)
일반적으로 다음과 같은 2차 선형 상미분 방정식이 주어졌다고 하자.
P
(
x
)
y
″
+
Q
(
x
)
y
′
+
R
(
x
)
y
=
0
{\displaystyle P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0}
양변을 P (x )로 나누고, 다시 양변에 적분 인자
exp
(
∫
Q
(
x
)
P
(
x
)
d
x
)
{\displaystyle \exp \left(\int {\frac {Q(x)}{P(x)}}\,dx\right)}
를 곱한 뒤, 정리하면 스튀름-리우빌 형 방정식을 얻는다.
베셀 방정식
x
2
y
″
+
x
y
′
+
(
λ
2
x
2
−
ν
2
)
y
=
0
{\displaystyle x^{2}y''+xy'+(\lambda ^{2}x^{2}-\nu ^{2})y=0}
은 양변에 적당한 함수를 곱하면 다음과 같은 스튀름-리우빌 방정식이 된다.
(
x
y
′
)
′
+
(
λ
2
x
−
ν
2
/
x
)
y
=
0
{\displaystyle (xy')'+(\lambda ^{2}x-\nu ^{2}/x)y=0}
즉, 이 경우 스튀름-리우빌 연산자는
−
d
d
x
(
x
d
d
x
)
+
ν
2
/
x
−
λ
2
x
{\displaystyle -{\frac {d}{dx}}\left(x{\frac {d}{dx}}\right)+\nu ^{2}/x-\lambda ^{2}x}
이다.
르장드르 방정식
(
1
−
x
2
)
y
″
−
2
x
y
′
+
ν
(
ν
+
1
)
y
=
0
{\displaystyle (1-x^{2})y''-2xy'+\nu (\nu +1)y=0}
은 쉽게 스튀름-리우빌 형으로 만들 수 있다.
d
d
x
(
1
−
x
2
)
=
−
2
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(1-x^{2})=-2x}
이므로, 르장드르 방정식은 다음 모양으로 만들 수 있다.
[
(
1
−
x
2
)
y
′
]
′
+
ν
(
ν
+
1
)
y
=
0
{\displaystyle [(1-x^{2})y']'+\nu (\nu +1)y=0}
즉,
ν
(
ν
+
1
)
{\displaystyle \nu (\nu +1)}
d
d
x
(
(
1
−
x
2
)
d
d
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left((1-x^{2}){\frac {d}{dx}}\right)}
의 고윳값이다.
좀 더 복잡한 예로 다음 상미분 방정식 을 생각하자.
x
3
y
″
−
x
y
′
+
2
y
=
0
{\displaystyle x^{3}y''-xy'+2y=0}
양변을 x 3 으로 나누고
y
″
−
x
x
3
y
′
+
2
x
3
y
=
0
{\displaystyle y''-{x \over x^{3}}y'+{2 \over x^{3}}y=0}
다시 양변에 다음과 같은 적분 인자를 곱한다.
exp
(
∫
−
x
x
3
d
x
)
=
exp
(
∫
−
1
x
2
d
x
)
=
exp
(
1
/
x
)
{\displaystyle \exp \left(\int -{\frac {x}{x^{3}}}\,\mathrm {d} x\right)=\exp \left(\int -{\frac {1}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x\right)=\exp(1/x)}
그러면 다음과 같은 방정식이 나온다.
exp
(
1
/
x
)
y
″
−
1
x
2
exp
(
1
/
x
)
y
′
+
2
x
3
exp
(
1
/
x
)
y
=
0
{\displaystyle \exp(1/x)y''-{\frac {1}{x^{2}}}\exp(1/x)y'+{\frac {2}{x^{3}}}\exp(1/x)y=0}
이 방정식은 스튀름-리우빌 형으로 바꿀 수 있는데,
d
d
x
exp
(
1
/
x
)
=
−
1
x
2
exp
(
1
/
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\exp(1/x)=-{\frac {1}{x^{2}}}\exp(1/x)}
이기 때문이다. 따라서 앞서 말한 미분 방정식은 아래의 스튀름-리우빌 미분 방정식과 같다.
(
exp
(
1
/
x
)
y
′
)
′
+
2
x
3
exp
(
1
/
x
)
y
=
0
{\displaystyle (\exp(1/x)y')'+{\frac {2}{x^{3}}}\exp(1/x)y=0}
즉, 스튀름-리우빌 연산자는 다음과 같다.
d
d
x
(
exp
(
1
/
x
)
d
d
x
)
+
2
x
3
exp
(
1
/
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\exp(1/x){\frac {d}{dx}}\right)+{\frac {2}{x^{3}}}\exp(1/x)}
![{\displaystyle [a,b]\subsetneq \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/298b4e6456eb34fc1a183abbd00fbfbed9e39a5a)
![{\displaystyle D\colon {\mathcal {C}}^{2}([a,b],\mathbb {R} )\to {\mathcal {C}}^{0}([a,b],\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb1ae65a3f794e59160250fc93596659e5ed0192)
![{\displaystyle p\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/274a16ea6a3f06eb7d05fc9c8967df6584cc998a)
![{\displaystyle q\colon [a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0c1ab25444365e9cf95a3dfd311a9c1c4fe4ac5)
![{\displaystyle w\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e462b4d7275d2670ac4c88b3e466b7587aeaa40a)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle [\alpha _{a}:\beta _{a}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c9bea117bb2d4c82953ef974b4a2f1fe7b05785)
![{\displaystyle [\alpha _{b}:\beta _{b}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95161d26da34665c27ab2c16a0789205bc646f0c)
![{\displaystyle H=\operatorname {L} ^{2}([a,b],w(x)\,\mathrm {d} x)=\left\{f\in \operatorname {L} ^{0}([a,b],\mathbb {R} )\colon \int _{a}^{b}|f(x)|^{2}w(x)\,\mathrm {d} x<\infty \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bfa9ed455be68da041e064ba321041a9bc890f4)
![{\displaystyle D\colon \operatorname {L} ^{2}([a,b],w)\to \operatorname {L} ^{2}([a,b],w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5898f2412ae3b69c035d51b3f52ff2f12f31912d)
![{\displaystyle [(1-x^{2})y']'+\nu (\nu +1)y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bfe3e0a08b87afc1390cec43c9a5a7c27561a3d)
