수학 에서 쌍곡선 함수 (雙曲線函數, 영어 : hyperbolic function )는 일반적인 삼각함수 와 유사한 성질을 갖는 함수로 삼각함수가 단위원 그래프를 매개변수 로 표시할 때 나오는 것처럼, 표준쌍곡선 을 매개변수로 표시할 때 나온다.
2차원 평면상에서 매개변수
t
{\displaystyle t}
(
cos
t
,
sin
t
)
{\displaystyle (\cos t,\,\sin t)}
단위원
x
2
+
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}
(
cosh
t
,
sinh
t
)
{\displaystyle (\cosh t,\,\sinh t)}
쌍곡선
x
2
−
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}
cosh
2
t
−
sinh
2
t
=
1
{\displaystyle \cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1\,}
그러나 쌍곡선 함수는 삼각함수와 달리 주기함수 가 아니라는 차이가 있다.
매개변수
t
{\displaystyle t}
x
{\displaystyle x}
(
cosh
t
,
sinh
t
)
{\displaystyle (\cosh t,\,\sinh t)}
cosh
x
{\displaystyle \cosh \,x}
짝함수 즉
y
{\displaystyle y}
cosh
0
=
1
{\displaystyle \cosh 0\,=\,1}
sinh
y
{\displaystyle \sinh \,y}
홀함수 즉 원점에 대해 대칭이며,
sinh
0
=
0
{\displaystyle \sinh 0\,=\,0}
쌍곡선 함수는 삼각함수 공식 과 매우 유사한 항등식을 만족한다. 실제로 오스본 법칙
덧셈 정리
sinh
(
x
+
y
)
=
sinh
x
cosh
y
+
cosh
x
sinh
y
{\displaystyle \sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\,}
cosh
(
x
+
y
)
=
cosh
x
cosh
y
+
sinh
x
sinh
y
{\displaystyle \cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\,}
tanh
(
x
+
y
)
=
tanh
x
+
tanh
y
1
+
tanh
x
tanh
y
{\displaystyle \tanh(x+y)={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\,}
반각 공식
cosh
2
x
2
=
cosh
x
+
1
2
{\displaystyle \cosh ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\cosh x+1}{2}}}
sinh
2
x
2
=
cosh
x
−
1
2
{\displaystyle \sinh ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\cosh x-1}{2}}}
쌍곡선 함수의 역함수 는 다음과 같다.
arcsinh
(
x
)
=
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
arccosh
(
x
)
=
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
;
x
≥
1
arctanh
(
x
)
=
1
2
ln
(
1
+
x
1
−
x
)
;
|
x
|
<
1
arccsch
(
x
)
=
ln
(
1
x
+
1
+
x
2
|
x
|
)
;
x
≠
0
arcsech
(
x
)
=
ln
(
1
x
+
1
−
x
2
x
)
;
0
<
x
≤
1
arccoth
(
x
)
=
1
2
ln
(
x
+
1
x
−
1
)
;
|
x
|
>
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arccosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1\\\operatorname {arctanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right);\left|x\right|<1\\\operatorname {arccsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right);x\neq 0\\\operatorname {arcsech} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right);0<x\leq 1\\\operatorname {arccoth} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right);\left|x\right|>1\\\end{aligned}}}
d
d
x
arcsinh
x
=
1
x
2
+
1
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcsinh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}
d
d
x
arccosh
x
=
1
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arccosh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
d
d
x
arctanh
x
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arctanh} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}}
d
d
x
arccsch
x
=
−
1
|
x
|
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arccsch} \,x=-{\frac {1}{\left|x\right|{\sqrt {1+x^{2}}}}}}
d
d
x
arcsech
x
=
−
1
x
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcsech} \,x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}}
d
d
x
arccoth
x
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arccoth} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}}
∫
d
u
a
2
+
u
2
=
a
−
1
arcsinh
(
u
a
)
+
C
∫
d
u
u
2
−
a
2
=
a
−
1
arccosh
(
u
a
)
+
C
∫
d
u
a
2
−
u
2
=
a
−
1
arctanh
(
u
a
)
+
C
;
u
2
<
a
2
∫
d
u
u
a
2
+
u
2
=
−
a
−
1
arccsch
|
u
a
|
+
C
∫
d
u
u
a
2
−
u
2
=
−
a
−
1
arcsech
(
u
a
)
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}&=a^{-1}\operatorname {arcsinh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {\frac {du}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}&=a^{-1}\operatorname {arccosh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}&=a^{-1}\operatorname {arctanh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}<a^{2}\\\int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}&=-a^{-1}\operatorname {arccsch} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}&=-a^{-1}\operatorname {arcsech} \left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\end{aligned}}}
C 는 적분상수 이다.
현수선 (懸垂線, catenary):
cosh
x
{\displaystyle \cosh x}
중력장 에서 양끝이 고정되어 있고 밀도가 일정한 줄이 아래로 늘어질 때 그리는 곡선이다.삼각함수 쌍곡선
