홀함수와 짝함수

수학에서 홀함수(영어: odd function) 또는 기함수(奇函數)는 서로 덧셈 역원의 상이 서로 덧셈 역원인 실수 함수이다. 짝함수(영어: even function) 또는 우함수(偶函數)는 서로 덧셈 역원의 상이 서로 같은 실수 함수이다. 해석학의 테일러 급수와 푸리에 급수 이론에서 중요하게 사용되는 개념이다. 멱함수의 홀짝성이 그 지수의 홀짝성과 일치한다는 데에서 이름을 따왔다.

사인 함수와 그 테일러 다항식들은 모두 홀함수이다. 그림은 사인 함수와 그 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13차 테일러 다항식의 그래프.

코사인 함수와 그 테일러 다항식들은 모두 짝함수이다. 그림은 코사인 함수와 그 4차 테일러 다항식의 그래프.

정의

실수 함수 $f\colon D\to \mathbb {R}$의 정의역 $D\subseteq \mathbb {R}$가 $-D=D$를 만족시키는 구간이라고 하자.

• 만약 임의의 $x\in D$에 대하여 $f(-x)=-f(x)$라면, $f$를 홀함수라고 한다.
• 만약 임의의 $x\in D$에 대하여 $f(-x)=f(x)$라면, $f$를 짝함수라고 한다.

성질

홀함수이자 짝함수는 영함수밖에 없다. 이는 항상 $f(x)=(f(-x)+(-f(-x)))/2=0$이기 때문이다.

홀함수도 짝함수도 아닌 함수는 존재한다. 예를 들어, $f(x)=x+1$은 $f(-1)=0\neq \pm 2=\pm f(1)$이므로 홀함수도 짝함수도 아니다.

홀함수는 다음과 같은 꼴의 함수와 동치이다.

$xf(x^{2})\qquad (f\colon D\to \mathbb {R} )$

짝함수는 다음과 같은 꼴의 함수와 동치이다.

$f(x^{2})\qquad (f\colon D\to \mathbb {R} )$

함수는 항상 짝함수와 홀함수의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다. 이는 다음과 같다.

$f(x)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}}+{\frac {f(x)-f(-x)}{2}}$

짝함수 $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$의 집합은 $\mathbb {R}$-대수를 이루며, 홀함수 $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$의 집합은 $\mathbb {R}$-벡터 공간을 이룬다. 함수 $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$의 공간은 이들의 직합이다.

$\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }=\{f\in \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }\colon f(-x)=f(x)\}\oplus \{f\in \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }\colon f(-x)=-f(x)\}$

연산에 대한 닫힘

홀짝성이 주어진 함수의 사칙 연산의 홀짝성에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

• 홀함수와 홀함수의 합·차는 홀함수이다.
• 짝함수와 짝함수의 합·차는 짝함수이다.
• 영이 아닌 홀함수와 영이 아닌 짝함수의 합·차는 홀함수도 짝함수도 아니다.
• 홀함수와 홀함수의 곱·몫은 짝함수이다.
• 홀함수와 짝함수의 곱·몫은 홀함수이다. 특히, 홀함수의 상수곱은 홀함수이다.
• 짝함수와 짝함수의 곱·몫은 짝함수이다. 특히, 짝함수의 상수곱은 짝함수이다.

미분 가능 함수의 경우, 다음 성질들이 성립한다.

• 홀함수의 미분은 짝함수이다.
• 짝함수의 미분은 홀함수이다.

그래프

어떤 함수가 짝함수의 필요 충분 조건은, 그래프가 $y$축에 대하여 대칭인 것이다.

어떤 함수가 홀함수일 필요 충분 조건은, 그래프가 원점에 대하여 대칭인 것이다.

적분

홀함수 $f\colon [-a,a]\to \mathbb {R}$의 적분은 다음과 같다.

$\int _{-a}^{a}f(x)\mathrm {d} x=0$

짝함수 $f\colon [-a,a]\to \mathbb {R}$의 적분은 다음과 같다.

$\int _{-a}^{a}f(x)\mathrm {d} x=2\int _{0}^{a}f(x)\mathrm {d} x$

테일러 급수

짝함수의 매클로린 급수는 차수가 짝수인 항으로만 구성된다. 홀함수의 테일러 급수는 차수가 홀수인 항으로만 구성된다.

푸리에 급수

짝 주기 함수의 푸리에 급수는 코사인 항으로만 구성된다. 즉, 다음과 같은 꼴이다.

$f(x)=a_{0}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{a_{n}\cos {\frac {2n\pi }{T}}x}$

홀 주기 함수의 푸리에 급수는 사인 항으로만 구성된다. 즉, 다음과 같은 꼴이다.

$f\left(x\right)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{b_{n}\sin {\frac {2n\pi }{T}}x}$

예

함수 $f(x)=x^{2}$는 짝함수의 예이다.

함수 $f(x)=x^{3}$는 홀함수의 예이다.

함수 $f(x)=x^{3}+1$는 홀함수도 아니고 짝함수도 아니다.

홀함수의 몇 가지 예는 다음과 같다.

• (항등 함수) $x$
• (홀수차 멱함수) $x^{3}$
• (사인) $\sin x$
• (쌍곡선 사인) $\sinh x$
• (오차 함수) $\operatorname {erf} x$

짝함수의 몇 가지 예는 다음과 같다.

• (상수 함수) $c$
• (짝수차 멱함수) $x^{2}$
• (절댓값) $|x|$
• (코사인) $\cos x$
• (쌍곡선 코사인) $\cosh x$
• (가우스 곡선) $\exp(-x^{2}/2)$

같이 보기

• 테일러 급수
• 푸리에 급수
• 반전성

외부 링크

• “Even function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Odd function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Odd function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Even function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Even and odd functions”. 《PlanetMath》 (영어).