아쉬테카르 변수
일반 상대성 이론의 ADM 공식화에서 시공간은 공간 단면과 시간 축으로 나뉘어진다. 기본 변수는 공간 단면 위의 유도 계량 과 계량의 켤레 운동량 으로 여겨진다. 이는 외재적 곡률과 관련이 있으며 유도된 계량이 시간에 따라 어떻게 진화하는지에 대한 척도이다.[1] 이들은 계량 표준 좌표이다.[2]
1986년에 압하이 아쉬테카르는 SU(2) 게이지 장 및 보완 변수 측면에서 계량 표준 변수를 3차원 공간 단면에 재작성하는 특이한 방법을 나타내는 새로운 표준 변수 집합인 아쉬테카르 변수를 도입했다.[3]
개요
편집아쉬테카르 변수는 정식 일반 상대성 이론의 연결 표현이라고 불리는 것을 제공하며, 이는 양자 일반 상대성 이론의 루프 표현[4]과 차례로 루프 양자 중력 및 양자 홀로노미 이론으로 이어졌다.[2]
세 개의 직교 벡터 장 , 을 도입한다. 즉,
- .
는 트라이어드 또는 드라이바인 (독일어 직역: "세 다리")이라고 한다. 이제 두 가지 유형의 첨자가 있다: 곡선 공간에서 일반 첨자처럼 동작하는 "공간" 첨자 와 평평한 공간의 첨자처럼 동작하는 "내부" 첨자 (내부 첨자를 올리고 내리는 해당 "계량"은 단순히 이다). 쌍대 드라이바인 을[2]
과 같이 정의한다. 그러면 두 개의 직교 관계가 있다: 첫 번째는
여기서 는 계량 의 역행렬이다. (이것은 드라이바인으로 표현한 쌍대 드라이바인에 대한 공식을 에 대입하고 드라이바인들의 직교성을 사용해서 얻어진다.)[2]
그리고 두 번째로
- .
(이것은 로 축약한 과 의 선형 독립성을 사용하여 얻어진다.). 그러면 첫 번째 직교성 관계( )를 이용해[2]
를 보이는 것은 쉽다. 이렇게 드라이바인들의 관점에서 역 계량에 대한 공식을 얻었다. 드라이바인들은 계량의 "제곱근"으로 생각할 수 있다. 실제로 고려되는 것은
이고 대신 밀도화 된 드라이바인 을 포함한다.(밀도화는 를 의미한다.) 하나는 로부터 계량에 해당 행렬식에 의해 주어진 인수를 곱한 값이다. 와 가 재배열된 동일한 정보를 포함한다는 것은 분명하다. 이제 의 선택은 유일하지 않으며 실제로 내부 첨자 와 관련하여 공간에서 (역) 계량을 변경하지 않고 국소적 회전을 수행할 수 있다. 이것이 게이지 불변성의 기원이다. 이제 내부 첨자가 있는 개체에 대해 작업을 수행하려는 경우 적절한 도함수를 도입해야 한다. 예를 들어 에 대한 공변 도함수는[2]
여기서 는 일반적인 레비치비타 접속이며 는 소위 스핀 접속이다. 짜임새 변수를[2]
라고 하자. 여기서, , . 밀도화 된 드라이바인은 포아송 괄호 관계[2]
- .
를 만족한다는 점에서 이 3차원 게이지 장(또는 접속) 의 켤레 운동량 변수이다. 상수 는 뉴턴 상수 를 재규격화하는 인자인 이미르지 매개변수이다. 밀도화 된 드라이바인은 위에서 논의한 계량을 재구성하는 데 사용될 수 있으며 접속은 외재적 곡률을 재구성하는 데 사용될 수 있다. 아쉬테카르 변수는 를 선택하는 데 해당한다. 그러면 는 키랄 스핀 접속이라고 한다. 이러한 스핀 접속을 선택한 이유는 아쉬테카르가 정준 일반 상대성 이론의 가장 까다로운 방정식, 즉 루프 양자 중력의 해밀토니안 제약 조건을 훨씬 단순화할 수 있었기 때문이다. 이 선택으로 인해 두 번째 강력한 항이 사라지고 나머지 항은 그의 새로운 변수에서 다항식이 되었다. 이것은 정식 양자 중력 프로그램에 대한 새로운 희망을 불러일으켰다.[5] 그러나 그것은 특정한 어려움을 제시했다. 아쉬테카르 변수는 해밀토니안을 단순화하는 장점이 있지만 변수가 복소수가 되는 문제가 있다.[6] 이론을 양자화할 때 복소 일반 상대성이론이 아닌 실수 일반 상대성이론을 복구하는 것은 어려운 작업이다. 또한 아쉬테카르가 작업한 해밀토니안 제약 조건은 원래 해밀토니안이 아니라 밀도화 된 버전 이었다. 이를 양자 연산자로 승격하는 데 심각한 어려움이 있었다. 아쉬테카르 공식화의 일반화를 실수 접속에 사용할 수 있었던 사람은 토마스 티만이었다.( 가 실수 값을 취함) 그리고 특히 1996년에 두 번째 항과 함께 원래 해밀토니안을 단순화하는 방법을 고안했다. 그는 또한 이 해밀턴 제약을 루프 표현 내에서 잘 정의된 양자 연산자로 승격시킬 수 있었다.[7][8][2]
리 스몰린 & 테드 제이콥슨, 조셉 사무엘은 일반 상대성 이론의 테트라드 팔라티니 작용 원리의 자기 쌍대 공식화를 고려하여 이론의 라그랑지언 공식화가 실제로 존재한다는 것을 독립적으로 발견했다.[9][10][11] 이러한 증명은 스피너의 관점에서 주어졌다. 새로운 변수의 순전한 텐서 증명은 골드버그[12], 테트라드에 대해서는 Henneaux et al가 하였다.[13][2]
추가 문헌
편집- Ashtekar, Abhay (1986). “New Variables for Classical and Quantum Gravity”. 《Physical Review Letters》 57 (18): 2244–2247. Bibcode:1986PhRvL..57.2244A. doi:10.1103/PhysRevLett.57.2244. PMID 10033673.
각주
편집- ↑ Gravitation by Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, published by W. H. Freeman and company. New York.
- ↑ 가 나 다 라 마 바 사 아 자 차 J. Aastrup; J. M. Grimstrup (2015). “Quantum Holonomy Theory”. 《Fortschritte der Physik》 64 (10): 783. arXiv:1504.07100. Bibcode:2016ForPh..64..783A. doi:10.1002/prop.201600073.
- ↑ Ashtekar, A (1986). “New variables for classical and quantum gravity”. 《Physical Review Letters》 57 (18): 2244–2247. Bibcode:1986PhRvL..57.2244A. doi:10.1103/physrevlett.57.2244. PMID 10033673.
- ↑ Rovelli, C.; Smolin, L. (1988). “Knot Theory and Quantum Gravity”. 《Physical Review Letters》 61 (10): 1155–1158. Bibcode:1988PhRvL..61.1155R. doi:10.1103/physrevlett.61.1155. PMID 10038716.
- ↑ See the book Lectures on Non-Perturbative Canonical Gravity for more details on this and the subsequent development. First published in 1991. World Scientific Publishing Co. Pte. LtD.
- ↑ See part III chapter 5 of Gauge Fields, Knots and Gravity, John Baez, Javier P. Muniain. First published 1994. World scientific Publishing Co. Pte. LtD.
- ↑ Thiemann, T. (1996). “Anomaly-free formulation of non-perturbative, four-dimensional Lorentzian quantum gravity”. 《Physics Letters B》 (Elsevier BV) 380 (3-4): 257–264. arXiv:gr-qc/9606088. doi:10.1016/0370-2693(96)00532-1. ISSN 0370-2693.
- ↑ For an account of these developments see John Baez's homepage entry, The Hamiltonian Constraint in the Loop Representation of Quantum Gravity.
- ↑ Samuel, J. (April 1987). “A Lagrangian basis for Ashtekar's formulation of canonical gravity”. 《Pramana - Journal of Physics》 (Indian National Science Academy) 28 (4): L429-L432.
- ↑ Jacobson, Ted; Smolin, Lee (1987). “The left-handed spin connection as a variable for canonical gravity”. 《Physics Letters B》 (Elsevier BV) 196 (1): 39–42. doi:10.1016/0370-2693(87)91672-8. ISSN 0370-2693.
- ↑ Jacobson, T; Smolin, L (1988년 4월 1일). “Covariant action for Ashtekar's form of canonical gravity”. 《Classical and Quantum Gravity》 (IOP Publishing) 5 (4): 583–594. doi:10.1088/0264-9381/5/4/006. ISSN 0264-9381.
- ↑ Goldberg, J. N. (1988년 4월 15일). “Triad approach to the Hamiltonian of general relativity”. 《Physical Review D》 (American Physical Society (APS)) 37 (8): 2116–2120. doi:10.1103/physrevd.37.2116. ISSN 0556-2821.
- ↑ Henneaux, M.; Nelson, J. E.; Schomblond, C. (1989년 1월 15일). “Derivation of Ashtekar variables from tetrad gravity”. 《Physical Review D》 (American Physical Society (APS)) 39 (2): 434–437. doi:10.1103/physrevd.39.434. ISSN 0556-2821.