M
{\displaystyle M}
켈러 다양체 라고 하자.
격자
H
2
(
M
;
Z
)
/
Tors
(
H
2
(
M
;
Z
)
)
{\displaystyle \operatorname {H} _{2}(M;\mathbb {Z} )/\operatorname {Tors} (\operatorname {H} _{2}(M;\mathbb {Z} ))}
{
α
i
}
i
=
1
,
…
,
b
2
(
M
)
{\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,b_{2}(M)}}
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle M}
노비코프 환 (영어 : Novikov ring )
Λ
=
Z
[
q
i
,
q
i
−
1
]
i
=
1
,
…
,
b
2
(
M
)
{\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} [q_{i},q_{i}^{-1}]_{i=1,\dots ,b_{2}(M)}}
은 다음과 같은 생성원들로 생성되는 정수 계수 가환 형식적 멱급수환 이다.
각
i
=
1
,
…
,
b
2
(
M
)
{\displaystyle i=1,\dots ,b_{2}(M)}
q
i
{\displaystyle q_{i}}
deg
q
i
=
2
c
1
(
M
)
(
q
i
)
{\displaystyle \deg q_{i}=2c_{1}(M)(q_{i})}
임의의
β
=
∑
i
c
i
α
i
∈
H
2
(
M
;
Z
)
/
Tors
(
H
2
(
M
;
Z
)
)
{\displaystyle \beta =\sum _{i}c_{i}\alpha _{i}\in \operatorname {H} _{2}(M;\mathbb {Z} )/\operatorname {Tors} (\operatorname {H} _{2}(M;\mathbb {Z} ))}
에 대하여,
q
β
=
∏
i
q
i
c
i
{\displaystyle q_{\beta }=\prod _{i}q_{i}^{c_{i}}}
로 쓰자.
q
α
{\displaystyle q_{\alpha }}
exp
(
α
)
{\displaystyle \exp(\alpha )}
만약
M
{\displaystyle M}
칼라비-야우 다양체 인 경우
c
1
(
M
)
=
0
{\displaystyle c_{1}(M)=0}
M
{\displaystyle M}
작은 양자 코호몰로지 (영어 : small quantum cohomology )
QH
(
M
;
Λ
)
{\displaystyle \operatorname {QH} (M;\Lambda )}
아벨 군 으로서 다음과 같다.
QH
(
M
;
Λ
)
=
H
(
M
;
Λ
)
⊗
Z
Λ
{\displaystyle \operatorname {QH} (M;\Lambda )=\operatorname {H} (M;\Lambda )\otimes _{\mathbb {Z} }\Lambda }
이 위의 곱
∗
:
QH
(
M
;
Λ
)
×
QH
(
M
;
Λ
)
→
QH
(
M
;
Λ
)
{\displaystyle *\colon \operatorname {QH} (M;\Lambda )\times \operatorname {QH} (M;\Lambda )\to \operatorname {QH} (M;\Lambda )}
은 코호몰로지의 합곱
⌣
{\displaystyle \smile }
그로모프-위튼 불변량 으로 정의된다.
∫
M
(
a
∗
b
)
⌣
c
=
∑
α
∈
H
2
(
M
;
Z
)
/
Tors
(
H
2
(
M
;
Z
)
)
GW
0
,
3
M
,
α
(
a
,
b
,
c
)
q
α
{\displaystyle \int _{M}(a*b)\smile c=\sum _{\alpha \in \operatorname {H} _{2}(M;\mathbb {Z} )/\operatorname {Tors} (\operatorname {H} _{2}(M;\mathbb {Z} ))}\operatorname {GW} _{0,3}^{M,\alpha }(a,b,c)q_{\alpha }}
이는 결합 법칙 및 등급 가환 법칙을 만족시키며, 등급을 덧셈법으로 보존한다.
(
a
∗
b
)
∗
c
=
a
∗
(
b
∗
c
)
{\displaystyle (a*b)*c=a*(b*c)}
a
∗
b
=
(
−
1
)
deg
a
deg
b
b
∗
a
{\displaystyle a*b=(-1)^{\deg a\deg b}b*a}
deg
(
a
∗
b
)
=
deg
a
+
deg
b
{\displaystyle \deg(a*b)=\deg a+\deg b}
M
{\displaystyle M}
QM
2
∙
(
M
)
{\displaystyle \operatorname {QM} ^{2\bullet }(M)}
근방
0
∈
U
⊂
QM
2
∙
(
M
)
{\displaystyle 0\in U\subset \operatorname {QM} ^{2\bullet }(M)}
은 프로베니우스 다양체 의 구조를 가진다. 이 경우 작은 양자 코호몰로지 곱
∗
{\displaystyle *}
U
{\displaystyle U}
접다발
T
{\displaystyle T}
가환 법칙 은 비틀림 이 0임을, 결합 법칙 은 리만 곡률 이 0임을 뜻한다.
임의의
a
∈
U
{\displaystyle a\in U}
큰 양자 코호몰로지 곱 을 정의하자.
∗
a
:
U
×
U
→
U
{\displaystyle *_{a}\colon U\times U\to U}
⟨
x
∗
a
y
,
z
⟩
=
∑
n
=
0
∞
∑
α
∈
H
2
(
M
;
Z
)
/
Tors
(
H
2
(
M
;
Z
)
)
1
n
!
GW
0
,
n
+
3
X
,
α
(
x
,
y
,
z
,
a
,
…
,
a
⏞
n
)
{\displaystyle \langle x*_{a}y,z\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{\alpha \in \operatorname {H} _{2}(M;\mathbb {Z} )/\operatorname {Tors} (\operatorname {H} _{2}(M;\mathbb {Z} ))}{\frac {1}{n!}}\operatorname {GW} _{0,n+3}^{X,\alpha }(x,y,z,\overbrace {a,\ldots ,a} ^{n})}
그렇다면,
(
U
,
∗
a
)
{\displaystyle (U,*_{a})}
큰 양자 코호몰로지 (영어 : big quantum cohomology )라고 한다. 작은 양자 코호몰로지는 종수 0의 그로모프-위튼 불변량 가운데 일부만을 포함하지만, 큰 양자 코호몰로지는 모든 종수 0 그로모프-위튼 불변량을 포함한다.
양자 코호몰로지는 위상 끈 이론 에서 2차원
N
=
(
2
,
2
)
{\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,2)}
시그마 모형 의 A-모형 위상 뒤틂 의 손지기환으로 등장하며, A-모형과 B-모형 사이의 거울 대칭 에 핵심적인 역할을 한다.
![{\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} [q_{i},q_{i}^{-1}]_{i=1,\dots ,b_{2}(M)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff15c0caab6f6f8206bc03e1cc0d3573e4b44a1b)
![{\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\mathbb {CP} ^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [p]/(p^{n+1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff030ea0cb66f5eda91061be57f40c7594ede563)
![{\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\mathbb {CP} ^{n};\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [p,q]/(p^{n+1}-q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81152e2f488f3e29fbcd2d796caad65bffde27ba)
