위상의 비교

일반위상수학과 범주론에서, 위상 함자를 통해 주어진 집합 위에 여러 위상수학적 구조를 부여할 수 있으며, 이러한 구조들은 완비 격자를 이룬다. 이 경우 한 구조가 다른 구조에 대하여 더 섬세한 구조(纖細-構造, 영어: finer structure) 또는 더 엉성한 구조(-構造, 영어: coarser structure)라고 한다.

정의

두 범주 ${\mathcal {E}}$, ${\mathcal {B}}$ 사이의 함자 $\Pi \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {B}}$가 주어졌다고 하자. 임의의 대상 ${\hat {X}}\in {\mathcal {B}}$에 대하여, 다음과 같은 범주 $\Pi ^{-1}(\operatorname {id} _{\hat {X}})$를 생각할 수 있다.

• $\Pi ^{-1}(\operatorname {id} _{\hat {X}})$의 대상은 $\Pi (X)={\hat {X}}$인 대상 $X\in {\mathcal {E}}$이다.
• $\Pi ^{-1}(\operatorname {id} _{\hat {X}})$의 사상은 $\Pi (f)=\operatorname {id} _{\hat {X}}$인 사상 $f\in \operatorname {Mor} ({\mathcal {E}})$이다.

만약 $\Pi$가 충실한 함자라면, $\Pi ^{-1}(\operatorname {id} _{\hat {X}})$는 얇은 범주이며, 이는 ${\hat {X}}$ 위에 존재할 수 있는 ${\mathcal {E}}$-구조들의 범주로 생각할 수 있다.

$\Pi ^{-1}(\operatorname {id} _{\hat {X}})$는 얇은 범주이므로, 그 위에 다음과 같은 원순서가 존재한다.

$X\lesssim X'\iff \exists f\in \hom _{\Pi ^{-1}(\operatorname {id} _{\hat {X}})}(X,X')$

이 관계를 엉성함이라고 한다.^{:30, Definition 1.1.4} 즉, 만약 $\Pi ^{-1}(\operatorname {id} _{\hat {X}})$ 속에서 사상 $f\colon X\to X'$가 존재한다면, $X'$이 $X$보다 더 엉성한(영어: coarser) ${\mathcal {E}}$-구조이며, 반대로 $X$는 $X'$보다 더 섬세한(영어: finer) ${\mathcal {E}}$-구조이다.

이 정의는 특히 위상 함자 $\Pi \colon {\mathcal {E}}\to \operatorname {Set}$에 대하여 적용된다.

$\Pi ^{-1}(\operatorname {id} _{\hat {X}})$에서 만약 최대 원소(즉, 가장 엉성한 ${\mathcal {E}}$-구조)가 존재한다면, 이를 ${\hat {X}}$ 위의 비이산 ${\mathcal {E}}$-구조(영어: indiscrete ${\mathcal {E}}$-structure)라고 한다. 반대로, $\Pi ^{-1}(\operatorname {id} _{\hat {X}})$에서 만약 최소 원소(즉, 가장 섬세한 ${\mathcal {E}}$-구조)가 존재한다면, 이를 ${\hat {X}}$ 위의 이산 ${\mathcal {E}}$-구조(영어: discrete ${\mathcal {E}}$-structure)라고 한다.

성질

$\Pi$가 위상 함자라고 한다면, 이산·비이산 구조가 항상 존재한다. 위상 함자에서는 또한 시작 구조와 끝 구조가 항상 존재한다. 이들의 존재로 인하여, $\Pi ^{-1}(\operatorname {id} _{X})$는 완비 원격자를 이룬다.

예

위상 공간

위상 공간과 연속 함수의 범주에서 집합과 함수의 범주로 가는 망각 함자

$U\colon \operatorname {Top} \to \operatorname {Set}$

는 위상 함자이며 따라서 충실한 함자이다. 따라서 이 경우 더 엉성한 위상과 더 섬세한 위상의 개념을 정의할 수 있다.

집합 $X$ 위의 두 위상 (열린집합의 족) ${\mathcal {U}},{\mathcal {U}}'\subseteq {\mathcal {P}}(X)$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^:77–78

• ${\mathcal {U}}'$이 ${\mathcal {U}}$보다 더 엉성하다. 즉, 항등 함수 $(X,{\mathcal {U}})\to (X,{\mathcal {U}}')$이 연속 함수이다.
• ${\mathcal {U}}\supseteq {\mathcal {U}}'$이다. 즉, 항등 함수 $(X,{\mathcal {U}}')\to (X,{\mathcal {U}})$가 열린 함수이다.

주어진 집합 위의 위상들은 완비 격자를 이룬다.

흔히, 위상수학에서는 엉성한/섬세한 위상 대신 "약한/강한 위상"(영어: weaker/stronger topology)이라는 용어를 사용하며, 반대로 해석학에서는 "강한/약한 위상"(영어: stronger/weaker topology)이라는 용어를 사용한다.

기저

보다 일반적으로, 다음과 같은 구체적 범주 $\operatorname {TopBase}$를 생각하자.

• $\operatorname {TopBase}$의 원소 $(X,{\mathcal {B}})$는 집합 $X$와 그 위의 기저 ${\mathcal {B}}$의 순서쌍이다.
• $\operatorname {TopBase}$의 사상 $f\colon (X,{\mathcal {B}}_{X})\to (Y,{\mathcal {B}}_{Y})$는 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

  $\forall \epsilon \in {\mathcal {B}}_{Y}\forall x\in f^{-1}(\epsilon )\exists \delta \in {\mathcal {B}}_{Y}\colon \left(x\in \delta \subseteq f^{-1}(\epsilon )\right)$

그렇다면 $\operatorname {Top}$은 $\operatorname {TopBase}$의 충만한 부분 범주를 이룬다.

그렇다면, 위와 같이 섬세한/엉성한 기저를 정의할 수 있다. 집합 $X$ 위의 두 기저 ${\mathcal {B}},{\mathcal {B}}'\subseteq {\mathcal {P}}(X)$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• ${\mathcal {B}}'$이 ${\mathcal {B}}$보다 더 엉성하다.
• 임의의 $\epsilon \in {\mathcal {B}}'$ 및 $x\in \epsilon$에 대하여, $x\in \delta \subseteq \epsilon$인 $\delta \in {\mathcal {B}}$가 존재한다.
• ${\mathcal {B}}'$에 의해 생성되는 위상 $\textstyle \{\bigcup {\mathcal {S}}\colon {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {B}}'\}$은 ${\mathcal {B}}$에 의해 생성되는 위상 $\textstyle \{\bigcup {\mathcal {S}}\colon {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {B}}\}$보다 더 엉성하다.

주어진 집합 위의 기저들은 완비 원격자를 이룬다.

부분 기저

보다 일반적으로, 다음과 같은 구체적 범주 $\operatorname {TopSubbase}$를 생각하자.

• $\operatorname {TopSubbase}$의 원소 $(X,{\mathcal {B}})$는 집합 $X$와 그 위의 임의의 집합족 ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$의 순서쌍이다. (이는 $X$의 위상을 생성하는 부분 기저로 생각한다.)
• $\operatorname {TopSubbase}$의 사상 $f\colon (X,{\mathcal {B}}_{X})\to (Y,{\mathcal {B}}_{Y})$는 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

  $\forall \epsilon \in {\mathcal {B}}_{Y}\forall x\in f^{-1}(\epsilon )\exists n\in \mathbb {N} ,\;\delta _{1},\dots ,\delta _{n}\in {\mathcal {B}}_{Y}\colon \left(x\in \delta _{1}\cap \delta _{2}\cap \cdots \cap \delta _{n}\subseteq f^{-1}(\epsilon )\right)$

그렇다면 $\operatorname {TopBase}$는 $\operatorname {TopSubbase}$의 충만한 부분 범주를 이룬다.

그렇다면, 위와 같이 섬세한/엉성한 부분 기저를 정의할 수 있다. 집합 $X$ 위의 두 부분 기저 ${\mathcal {B}},{\mathcal {B}}'\subseteq {\mathcal {P}}(X)$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• ${\mathcal {B}}'$이 ${\mathcal {B}}$보다 더 엉성하다.
• 임의의 $\epsilon \in {\mathcal {B}}'$ 및 $x\in \epsilon$에 대하여, $x\in \delta _{1}\cap \delta _{2}\cap \cdots \cap \delta _{n}\subseteq \epsilon$인 자연수 $n\in \mathbb {N}$ 및 $\delta _{1},\dots ,\delta _{n}\in {\mathcal {B}}$가 존재한다.
• ${\mathcal {B}}'$에 의해 생성되는 위상 $\textstyle \{\bigcup {\mathcal {S}}\colon {\mathcal {S}}\subseteq \{\bigcap T\colon T\subseteq {\mathcal {B}}',\;|T|<\aleph _{0}\}\}$은 ${\mathcal {B}}$에 의해 생성되는 위상$\textstyle \{\bigcup {\mathcal {S}}\colon {\mathcal {S}}\subseteq \{\bigcap T\colon T\subseteq {\mathcal {B}},\;|T|<\aleph _{0}\}\}$보다 더 엉성하다.

주어진 집합 위의 부분 기저들은 완비 원격자를 이룬다.

덮개와 유계형 집합

다음과 같은 구체적 범주 $\operatorname {Cover}$를 생각하자.

• $\operatorname {Cover}$의 대상 $(X,{\mathcal {C}})$은 집합 $X$와 그 위의 덮개 ${\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$의 순서쌍이다.
• $\operatorname {Cover}$의 사상 $f\colon (X,{\mathcal {C}}_{X})\to (Y,{\mathcal {C}}_{Y})$은 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

  $\forall C_{X}\in {\mathcal {C}}_{X}\exists C_{Y}\in {\mathcal {C}}_{Y}\colon f(C_{X})\subseteq {\mathcal {C}}_{Y}$

이렇게 정의하였을 때, 같은 집합 $X$ 위의 두 덮개 ${\mathcal {C}},{\mathcal {C}}'\subseteq {\mathcal {P}}(X)$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\mathcal {C}}'$이 ${\mathcal {C}}$보다 더 엉성하다.
• ${\mathcal {C}}'$은 ${\mathcal {C}}$의 세분이다.

유계형 집합의 범주 $\operatorname {BornSet}$은 $\operatorname {Cover}$의 충만한 부분 범주를 이루며, 따라서 위와 같은 정의를 사용할 수 있다.

필터

다음과 같은 범주 $\operatorname {FilterBase}$를 생각하자.

• $\operatorname {FilterBase}$의 대상 $(X,{\mathcal {F}})$는 집합 $X$와 ${\mathcal {P}}(X)$ 위의 필터 기저 ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$이다.
• $\operatorname {FilterBase}$의 사상 $f\colon (X,{\mathcal {F}}_{X})\to (Y,{\mathcal {F}}_{Y})$은 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

  $\forall F_{Y}\in {\mathcal {F}}_{Y}\colon \exists F_{X}\in {\mathcal {F}}_{X}\colon f^{-1}(F_{Y})\supseteq F_{X}$

그렇다면, 집합 $X$ 위의 두 필터 기저 ${\mathcal {F}},{\mathcal {F}}'\subseteq {\mathcal {P}}(X)$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\mathcal {F}}'$이 ${\mathcal {F}}$보다 더 엉성하다.
• $\uparrow {\mathcal {F}}'\subseteq \uparrow {\mathcal {F}}$이다. 여기서 $\uparrow$는 필터 기저로 생성되는 필터(즉, 상폐포)를 뜻한다.

가측 공간

가측 공간과 가측 함수의 범주에서 집합과 함수의 범주로 가는 망각 함자

$U\colon \operatorname {Measble} \to \operatorname {Set}$

는 위상 함자이며, 따라서 이 경우 더 섬세한/엉성한 가측 공간 구조를 정의할 수 있다.

외부 링크

• “Finer topology”. 《Topospaces》 (영어). 
• “Coarser topology”. 《Topospaces》 (영어). 
• “Coarser uniform structure”. 《Topospaces》 (영어). 
• “Definition: finer topology”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition: coarser topology”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition: comparable topologies”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition: refinement of cover”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition: superfilter”. 《ProofWiki》 (영어).