열린 함수와 닫힌 함수

일반위상수학에서 열린 함수(-函數, 영어: open map)는 열린집합의 상이 열린집합인 함수다. 마찬가지로, 닫힌 함수(-函數, 영어: closed map)는 닫힌집합의 상이 닫힌집합인 함수다.

정의

위상 공간 $X,Y$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 열린 함수라고 한다.

모든 열린집합 $U\subseteq X$ 에 대하여 $f(U)\subseteq Y$ 가 열린집합이다.
모든 $B\in {\mathcal {B}}$ 에 대하여 $f(B)\subseteq Y$ 가 열린집합인 $X$ 의 기저 ${\mathcal {B}}$ 가 존재한다.
임의의 $x\in X$ 및 그 열린 근방 $U\ni x$ 에 대하여, $f(U)\supseteq V$ 인 $f(x)$ 의 열린 근방 $V\ni f(x)$ 가 존재한다.
임의의 $S\subseteq X$ 에 대하여, $f(\operatorname {int} S)\subseteq \operatorname {int} f(S)$ 이다. 여기서 $\operatorname {int}$ 는 내부이다.

위상 공간 $X,Y$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 닫힌 함수라고 한다.

모든 닫힌집합 $C\subseteq X$ 에 대하여, $f(C)\subseteq Y$ 가 닫힌집합이다.
임의의 $S\subseteq X$ 에 대하여, $f(\operatorname {cl} S)\supseteq \operatorname {cl} f(S)$ 이다. 여기서 $\operatorname {cl}$ 은 폐포이다.

성질

함수 $X\to Y$ 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

위상 동형이다.
전단사 연속 열린 함수이다.
전단사 연속 닫힌 함수이다.

만약 $Y$ 가 이산 공간이라면, 모든 함수 $X\to Y$ 는 열린 함수이며 닫힌 함수이다 (그러나 연속 함수일 필요는 없다).

두 개의 열린 함수의 합성은 열린 함수이다. 마찬가지로, 두 개의 닫힌 함수의 합성은 닫힌 함수이다.

위상 공간들의 집합 $\{X_{i}\}_{i\in I}$ 의 곱공간 $\prod _{i\in I}X_{i}$ 이 주어졌을 때, 자연스러운 사영 $\pi _{i}\prod _{i\in I}X_{i}\to X_{i}$ 은 연속 함수이며 열린 함수이지만, 닫힌 함수일 필요는 없다.

만약 $Y$ 가 콤팩트 공간이라면, 사영 $X\times Y\to X$ 는 닫힌 사상이다 (튜브 보조정리).

스킴 사상

두 스킴 사이의 열린 사상 또는 닫힌 사상은 (연속 함수로서) 열린 함수 또는 닫힌 함수를 이루는 스킴 사상이다.

열린 사상과 닫힌 사상은 밑 변환에 대하여 불안정하다. 보편 열린 사상(영어: universally open morphism)/보편 닫힌 사상(영어: universally closed morphism)은 다음 조건을 만족시키는 스킴 사상 $f\colon X\to Y$ 이다.

임의의 스킴 사상

Y'\to Y

에 대하여, 밑 변환

f'\colon X\times _{Y}Y'\to Y'

은 열린 사상/닫힌 사상이다.

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

닫힌 사상 ∩ 준콤팩트 함수 ⊋ 보편 닫힌 사상 ⊋ 고유 사상 ⊋ 닫힌 몰입 ⊋ 스킴 동형

열린 사상 ⊋ 보편 열린 사상 ⊋ 국소 유한 표시 평탄 사상 ⊋ 열린 몰입 ⊋ 스킴 동형

${\mathfrak {P}}$ 가 열린 사상 · 닫힌 사상 · 보편 열린 사상 · 보편 닫힌 사상 가운데 하나라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

(합성에 대한 닫힘) $X{\xrightarrow {f}}Y{\xrightarrow {g}}Z$ 에 대하여, 만약 $f$ 와 $g$ 가 ${\mathfrak {P}}$ -사상이라면 $g\circ f$ 역시 ${\mathfrak {P}}$ -사상이다.
(fpqc 위상에서의 내림) $X{\xrightarrow {f}}Y{\xleftarrow {g}}Y'$ 에 대하여, 만약 밑 변환 $f'\colon X\times _{Y}Y'\to Y'$ 가 ${\mathfrak {P}}$ -사상이며, $g$ 가 fpqc 사상이라면 $f$ 역시 ${\mathfrak {P}}$ -사상이다.

여기서 fpqc 사상은 평탄 사상이며, 전사 함수이며, 공역 속의 임의의 콤팩트 열린집합에 대하여 이를 상으로 하는 정의역의 콤팩트 열린집합이 존재하는 스킴 사상이다.

예

열린 함수가 아닌 연속 닫힌 함수

함수

\mathbb {R} \to \mathbb {R}

x\mapsto x^{2}

는 연속 함수이며 닫힌 함수이지만, 열린 함수가 아니다. 예를 들어, 열린집합 $(-1,1)$ 의 상은 $[0,1)$ 이므로 열린집합이 아니다.

연속 함수가 아닌 열린 닫힌 함수

함수

\mathbb {R} \to \mathbb {Z}

x\mapsto \lfloor x\rfloor

는 ( $\mathbb {Z}$ 가 이산 공간이므로) 열린 함수이며, 닫힌 함수이다. 그러나 이는 연속 함수가 아니다.

함수

\mathbb {S} ^{1}\to [0,2\pi )

x\mapsto \arg x

는 전단사 함수이며, 열린 함수이며, 닫힌 함수이지만, 연속 함수가 아니다.

닫힌 함수가 아닌 연속 열린 함수

사영 함수

\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}

(x,y)\mapsto x

는 전사 함수이며 연속 함수이며 열린 함수이지만, 닫힌 함수가 아니다. 예를 들어, 닫힌집합 $\{(x,1/x)\colon 0\neq x\in \mathbb {R} \}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ 의 상은 $(-\infty ,0)\cup (0,\infty )$ 이므로 닫힌집합이 아니다.

외부 링크

“Open mapping”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Closed mapping”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Fully-closed mapping”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Open morphism”. 《nLab》 (영어).
“Open geometric morphism”. 《nLab》 (영어).
“Closed morphism”. 《nLab》 (영어).
“Universally closed morphism”. 《nLab》 (영어).