환 달린 공간
(
X
,
O
X
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}
위상 공간
X
{\displaystyle X}
가환환 의 층
O
X
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
순서쌍 이다.
O
X
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
X
{\displaystyle X}
구조층 (構造層, 영어 : structure sheaf )라고 한다.
두 환 달린 공간
(
X
,
O
X
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}
(
Y
,
O
Y
)
{\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}
사상 (寫像, 영어 : morphism of ringed spaces )
(
f
,
f
#
)
{\displaystyle (f,f^{\#})}
순서쌍 이다.
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
연속 함수 이다.
f
#
:
O
Y
→
f
∗
O
X
{\displaystyle f^{\#}\colon {\mathcal {O}}_{Y}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}
가환환 의 층의 사상이다. 구체적으로,
X
{\displaystyle X}
열린집합
U
⊆
X
{\displaystyle U\subseteq X}
f
U
#
:
O
Y
(
U
)
→
O
X
(
f
−
1
(
U
)
)
{\displaystyle f_{U}^{\#}\colon O_{Y}(U)\to O_{X}(f^{-1}(U))}
환 준동형 이며, 이는 제한 사상과 호환되어야 한다.국소환 달린 공간 (局所環달린空間, 영어 : locally ringed space )은 구조층의 모든 줄기 가 국소환 인 환 달린 공간이다. (각 열린집합
U
{\displaystyle U}
O
X
(
U
)
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}
두 국소환 달린 공간 사이의 사상 (寫像, 영어 : morphism of locally ringed spaces )
(
f
,
f
#
)
:
(
X
,
O
X
)
→
(
Y
,
O
Y
)
{\displaystyle (f,f^{\#})\colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}
임의의
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
f
#
{\displaystyle f^{\#}}
줄기 사이의 환 준동형
O
Y
,
f
(
x
)
→
O
X
,
x
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,f(x)}\to {\mathcal {O}}_{X,x}}
O
X
,
x
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}
극대 아이디얼 의 원상 은
O
Y
,
f
(
x
)
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,f(x)}}
극대 아이디얼 과 같다. 환 달린 공간 사상
(
f
,
f
#
)
:
(
X
,
O
X
)
→
(
Y
,
O
Y
)
{\displaystyle (f,f^{\#})\colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}
열린 몰입 (영어 : open immersion )이라고 한다.
f
{\displaystyle f}
치역
f
(
X
)
{\displaystyle f(X)}
열린집합 이며,
f
{\displaystyle f}
위상 동형 을 정의한다.
f
#
:
O
Y
→
f
∗
O
X
{\displaystyle f^{\#}\colon {\mathcal {O}}_{Y}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}
층 의 동형 사상
O
Y
|
f
(
X
)
→
f
∗
O
X
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}|_{f(X)}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}
환 달린 공간
(
X
,
O
X
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}
X
{\displaystyle X}
열린집합
U
⊆
X
{\displaystyle U\subseteq X}
(
U
,
O
X
|
U
)
{\displaystyle (U,{\mathcal {O}}_{X}|_{U})}
(
U
,
O
X
|
U
)
→
(
X
,
O
X
)
{\displaystyle (U,{\mathcal {O}}_{X}|_{U})\to (X,{\mathcal {O}}_{X})}
(
X
,
O
X
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}
(
U
,
O
X
|
U
)
{\displaystyle (U,{\mathcal {O}}_{X}|_{U})}
모든 열린 몰입은 이러한 꼴의 사상과 동형이다. 즉, 열린 몰입은 그 치역 에 따라 결정된다.
환 달린 공간 사상
(
f
,
f
#
)
:
(
X
,
O
X
)
→
(
Y
,
O
Y
)
{\displaystyle (f,f^{\#})\colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}
닫힌 몰입 (영어 : closed immersion )이라고 한다.
f
{\displaystyle f}
치역 은 닫힌집합 이며,
f
{\displaystyle f}
위상 동형 을 정의한다.
f
#
:
O
Y
→
f
∗
O
X
{\displaystyle f^{\#}\colon {\mathcal {O}}_{Y}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}
층 의 전사 사상 이다. 즉, 모든 줄기 사상
O
Y
,
f
(
x
)
→
O
X
,
x
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,f(x)}\to {\mathcal {O}}_{X,x}}
전사 함수 이다.환 달린 공간
(
X
,
O
X
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}
아이디얼 층
I
⊆
O
X
{\displaystyle {\mathcal {I}}\subseteq {\mathcal {O}}_{X}}
지지 집합
supp
I
⊆
X
{\displaystyle \operatorname {supp} {\mathcal {I}}\subseteq X}
닫힌집합 이다.
supp
I
⊆
X
{\displaystyle \operatorname {supp} {\mathcal {I}}\subseteq X}
O
X
/
I
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}}}
(
supp
I
,
O
X
/
I
)
→
(
X
,
O
X
)
{\displaystyle (\operatorname {supp} {\mathcal {I}},{\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}})\to ({\mathcal {X}},{\mathcal {O}}_{X})}
(
X
,
O
X
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}
(
supp
I
,
O
X
/
I
)
{\displaystyle (\operatorname {supp} {\mathcal {I}},{\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}})}
모든 닫힌 몰입은 이러한 꼴의 사상과 동형이다. 즉, 닫힌 몰입은 그 아이디얼 층 에 따라 결정된다. 이름과 달리, 닫힌 몰입은 그 지지 집합 인 닫힌집합 에 의하여 결정되지 않는다.
모든 스킴 은 국소환 달린 공간이다.
국소 유클리드 공간
M
{\displaystyle M}
실수 값의 연속 함수 의 층
C
0
(
M
;
R
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(M;\mathbb {R} )}
(
M
,
C
0
(
M
;
R
)
)
{\displaystyle (M,{\mathcal {C}}^{0}(M;\mathbb {R} ))}
마찬가지로, 매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
매끄러운 함수 의 층
C
∞
(
M
;
R
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )}
(
M
,
C
∞
(
M
;
R
)
)
{\displaystyle (M,{\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} ))}
마찬가지로, 복소다양체
M
{\displaystyle M}
복소수 값의 정칙 함수 의 층
O
M
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}}
(
M
,
O
M
)
{\displaystyle (M,{\mathcal {O}}_{M})}
이 부분의 본문은 아이디얼 층입니다.
