반사 부분 범주

범주론에서 반사 부분 범주(反射部分範疇, 영어: reflective subcategory)는 어떤 범주의 부분 범주에 대하여, 범주의 일반적 원소를 "표준적으로" 부분 범주에 속하도록 "완성할" 수 있는 성질을 갖는 충만한 부분 범주이다.

정의

범주 ${\mathcal {B}}$ 의 충만한 부분 범주 ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {B}}$ 에 대하여, 만약 포함 함자

I\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}

가 왼쪽 수반 함자

R\colon {\mathcal {B}}\to {\mathcal {A}}

R\dashv I

를 갖는다면, ${\mathcal {A}}$ 를 반사 부분 범주라고 하며, $R$ 를 반사 함자(反射函子, 영어: reflector)라고 한다. 이 경우, ${\mathcal {A}}$ 의 극한은 ${\mathcal {B}}$ 의 극한과 일치하며, 반대로 ${\mathcal {A}}$ 의 쌍대극한은 ${\mathcal {B}}$ 의 쌍대극한에 반사 함자 $R$ 를 가하여 얻는다.

마찬가지로, 범주 ${\mathcal {B}}$ 의 충만한 부분 범주 ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {B}}$ 에 대하여, 만약 포함 함자

I\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}

가 오른쪽 수반 함자

R\colon {\mathcal {B}}\to {\mathcal {A}}

I\dashv R

를 갖는다면, ${\mathcal {A}}$ 를 쌍대 반사 부분 범주(영어: coreflective subcategory)라고 하며, $R$ 를 쌍대 반사 함자(영어: coreflector)라고 한다. 이 경우, ${\mathcal {A}}$ 의 쌍대극한은 ${\mathcal {B}}$ 의 극한과 일치하며, 반대로 ${\mathcal {A}}$ 의 극한은 ${\mathcal {B}}$ 의 극한에 쌍대 반사 함자 $R$ 를 가하여 얻는다.

반사 부분 함자이자 쌍대 반사 범주인 충만한 부분 범주를 쌍반사 부분 범주(영어: bireflective subcategory)라고 한다.

예

쌍반사 부분 범주의 예

쌍반사 부분 범주의 예로는 다음을 들 수 있다.

전체 범주	쌍반사 부분 범주	반사 함자	쌍대 반사 함자
모노이드의 범주 $\operatorname {Mon}$	군의 범주 $\operatorname {Grp}$	역원의 추가	가역원군

반사 부분 범주의 예

반사 부분 범주의 예로는 다음을 들 수 있다.

전체 범주	반사 부분 범주	반사 함자
군의 범주 $\operatorname {Grp}$	아벨 군의 범주 $\operatorname {Ab}$	아벨화(영어: abelianization) $G\mapsto G/[G,G]$
환의 범주 $\operatorname {Ring}$	가환환의 범주 $\operatorname {CRing}$	가환화 $R\mapsto R/[R,R]$
준군의 범주 $\operatorname {Gpd}$	군의 범주 $\operatorname {Grp}$	준군의 보편군(영어: universal group)
체 $K$ 위의 단위 결합 대수의 범주 $K{\text{-uAssoc}}$	가환 결합 대수의 범주	가환화
체 $K$ 위의 단위 결합 대수의 범주 $K{\text{-uAssoc}}$	반가환 결합 대수의 범주	반가환화
정역과 단사 환 준동형의 범주	체의 범주 $\operatorname {Field}$	분수체 $R\mapsto \operatorname {Frac} R$
위상 공간의 범주 $\operatorname {Top}$	콜모고로프 공간의 범주 $\operatorname {Kolm}$	콜모고로프 몫공간
콜모고로프 공간의 범주 $\operatorname {Kolm}$	T1 공간의 범주 $\operatorname {T_{1}Top}$
T1 공간의 범주 $\operatorname {T_{1}Top}$	하우스도르프 공간의 범주 $\operatorname {Haus}$
하우스도르프 공간의 범주 $\operatorname {Haus}$	하우스도르프 정칙 공간의 범주 $\operatorname {RegHaus}$
하우스도르프 정칙 공간의 범주 $\operatorname {RegHaus}$	티호노프 공간의 범주 $\operatorname {Tych}$
티호노프 공간의 범주 $\operatorname {Tych}$	콤팩트 하우스도르프 공간들의 범주 $\operatorname {CompHaus}$	스톤-체흐 콤팩트화
위상 공간의 범주 $\operatorname {Top}$	비이산 공간의 범주 $\operatorname {IndiscTop} \simeq \operatorname {Set}$	망각 함자
거리 공간과 균등 연속 함수의 범주	완비 거리 공간과 균등 연속 함수의 범주	완비화
노름 공간과 유계 작용소의 범주	바나흐 공간과 유계 작용소들의 범주	완비화
위치 $S$ 위의 준층의 범주 $\operatorname {PSh} (S)$	$S$ 위의 층의 범주 $\operatorname {Sh} (S)$	층화(영어: sheafification)
스킴의 범주 $\operatorname {Sch}$	아핀 스킴의 범주 $\operatorname {Aff} \simeq \operatorname {CRing} ^{\operatorname {op} }$	정칙 함수환의 스펙트럼 $X\mapsto \operatorname {Spec} \Gamma (X;{\mathcal {O}}_{X})$

그러나 하우스도르프 정규 공간(=T4 공간)의 범주는 티호노프 공간의 범주 속의 반사 부분 범주를 이루지 않는다. 반사 부분 범주는 포함되는 범주의 (존재한다고 가정한) 유한곱에 대하여 닫혀 있어야 하는데, 하우스도르프 정규 공간의 범주는 곱공간에 대하여 닫혀 있지 않기 때문이다.

쌍대 반사 부분 범주의 예

쌍대 반사 부분 범주의 예로는 다음을 들 수 있다.

전체 범주	쌍대 반사 부분 범주	쌍대 반사 함자
위상 공간의 범주 $\operatorname {Top}$	콤팩트 생성 공간의 범주 $\operatorname {CGTop}$	콤팩트 생성화
위상 공간의 범주 $\operatorname {Top}$	이산 공간의 범주 $\operatorname {DiscTop} \simeq \operatorname {Set}$	망각 함자 $\operatorname {Top} \to \operatorname {Set}$
아벨 군의 범주 $\operatorname {Ab}$	꼬임 아벨 군의 범주 $\operatorname {TorsAb}$	꼬임 부분군
준군의 범주 $\operatorname {Gpd}$	작은 범주의 범주 $\operatorname {Cat}$	핵(영어: core) (역원을 갖는 사상들만으로 구성된 비충실 부분 범주)

참고 문헌

Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

“Reflective subcategory”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Reflection of an object of a category”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Reflective subcategory”. 《nLab》 (영어).
“Coreflective subcategory”. 《nLab》 (영어).
“Bireflective subcategory”. 《nLab》 (영어).
“Why is Top₄ a reflective subcategory of Top₃?”. 《Math Overflow》 (영어).
“How do you know when a reflective subcategory of Top is quotient-reflective?”. 《Math Overflow》 (영어).
Shulman, Mike (2012년 9월 10일). “Every functor is a (co)reflection”. 《The n-Category Café》 (영어).