티호노프 공간

위상 공간의 분리공리
위상 공간의 분리공리
T0	콜모고로프 공간
T1
T2	하우스도르프 공간
T2½	우리손 공간
완전 T2½	완비 하우스도르프 공간
T3	정칙 하우스도르프 공간
T3½	티호노프 공간
T4	정규 하우스도르프 공간
T5	완비 정규 하우스도르프 공간
T6	완전 정규 하우스도르프 공간

일반위상수학에서 티호노프 공간(Тихонов空間, 영어: Tychonoff space) 또는 T_3½ 공간(영어: T_3½ space)은 점과 닫힌집합을 연속 함수로 분리할 수 있는 하우스도르프 공간이며, 이는 콤팩트 하우스도르프 공간의 부분 공간인 조건과 동치이다.

정의

위상 공간 $X$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 완비 정칙 공간(完備正則空間, 영어: completely regular space)이라고 한다.

(점과 닫힌집합의 실함수를 통한 분리) 임의의 닫힌집합 $C\subseteq X$ 및 $x\in X\setminus C$ 에 대하여, $f(x)=0$ 이며 $f(C)=\{1\}$ 인 연속 함수 $f\colon X\to [0,1]$ 이 존재한다.^[1]^:231
$X$ 의 위상은 어떤 연속 함수들의 집합 ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {C}}(X,\mathbb {R} )$ 에 대한 시작 위상이다.^[2]^{:40, Theorem 3.6–3.7}^[3]^{:48, Exercise 1.5.E, (a)}
$X$ 의 위상은 연속 함수의 집합 ${\mathcal {C}}(X,\mathbb {R} )$ 에 대한 시작 위상이다.^[2]^{:40, Theorem 3.6}
$X$ 의 위상은 유계 연속 함수의 집합 ${\mathcal {C}}_{\text{bd}}(X;\mathbb {R} )$ 에 대한 시작 위상이다.^[2]^{:40, Theorem 3.6}
(균등화 가능성 영어: uniformizability) $X$ 위에 그 위상과 호환되는 균등 공간 구조가 존재한다.

위상 공간 $X$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 티호노프 공간이라고 한다.

$X$ 는 콜모고로프 공간이며 완비 정칙 공간이다.
$X$ 는 T₁ 공간이며 완비 정칙 공간이다.^[1]^:231
$X$ 는 하우스도르프 공간이며 완비 정칙 공간이다.
$X$ 는 콤팩트 하우스도르프 공간의 부분 집합과 위상 동형이다.^[1]^:231
$X$ 는 콤팩트 하우스도르프 공간의 조밀 집합과 위상 동형이다.^[1]^:231
$X$ 는 $[0,1]^{{\mathcal {C}}(X,[0,1])}$ 의 부분 집합과 위상동형이다.^[1]^:231 여기서 ${\mathcal {C}}(X,Y)$ 는 $X$ 에서 $Y$ 로 가는 연속 함수들의 집합이며, $[0,1]^{{\mathcal {C}}(X,[0,1])}$ 는 표준 위상을 부여한 단위 구간 $[0,1]$ 의 $|{\mathcal {C}}(X,[0,1])|$ 개 만큼의 곱공간이다. 이는 티호노프 정리에 의하여 콤팩트 하우스도르프 공간이다.
$X$ 에서 그 스톤-체흐 콤팩트화 $\beta X$ 로 가는 연속 함수 $\iota \colon X\to \beta X$ 에 대하여, $X$ 는 그 상과 위상 동형이다.
$X$ 위에, 그 위상과 호환되는 하우스도르프 균등 공간 구조가 존재한다.

성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.^[1]^:231–232

정규 하우스도르프 공간(T₄) ⊊ 티호노프 공간(T_3½) ⊊ (정칙 하우스도르프 공간(T₃) ∩ 완비 하우스도르프 공간)

완비 정칙 공간의 부분 공간은 완비 정칙 공간이다. 완비 정칙 공간의 임의 개수 곱공간은 완비 정칙 공간이다.^[4]^:141^[5]^:211 하우스도르프 공간의 부분 공간과 곱공간은 하우스도르프 공간이므로, 티호노프 공간의 부분 공간과 임의 개수 곱공간 역시 티호노프 공간이다.

증명:

완비 정칙 공간 $X$ 와 그 부분 공간 $Y\subseteq X$ 가 주어졌다고 하자. 닫힌집합 $C\subseteq Y$ 및 $y\in Y\setminus F$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 $C=F\cap Y$ 인 닫힌집합 $F\subseteq X$ 가 존재하며, 이에 대하여 $f(y)=0$ , $f(F)=\{1\}$ 인 연속 함수 $f\colon X\to [0,1]$ 이 존재한다. $g=f\upharpoonright Y$ 라고 하자. 그렇다면 $g$ 는 연속 함수이며, $g(y)=0$ 및 $g(C)=\{1\}$ 을 만족시킨다.

완비 정칙 공간들의 집합 $\{X_{i}\}_{i\in I}$ 가 주어졌다고 하자. 곱공간 $X=\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}$ 의 닫힌집합 $C$ 및 $x\in X\setminus C$ 가 주어졌다고 하자. 다음과 같은 $x$ 의 열린 근방 $\textstyle \prod _{i\in I}U_{i}$ 를 취하자.

x\in \prod _{i\in I}U_{i}\subseteq X\setminus C

U_{i}\in \operatorname {Open} (X_{i})

U_{i}=X_{i}\qquad \forall i\in I\setminus \{i(1),\dotsc ,i(n)\}

그렇다면 각 $j\in \{1,\dotsc ,n\}$ 에 대하여, $f_{j}(x_{i(j)})=0$ , $f_{j}(X_{i(j)}\setminus U_{i(j)})=\{1\}$ 인 연속 함수 $f_{j}\colon X_{i(j)}\to [0,1]$ 이 존재한다.

g\colon X\to [0,1]

g\colon y\mapsto 1-(1-f_{1}(y_{i(1)}))\cdots (1-f_{n}(y_{i(n)}))

라고 하자. 그렇다면 $g$ 는 연속 함수이며, $g(x)=0$ 및 $g(C)=\{1\}$ 을 만족시킨다.

예

티호노프 공간이 아닌 정칙 완비 하우스도르프 공간

티호노프 공간이 아닌 정칙 (완비) 하우스도르프 공간의 구성은 복잡한 편이다. 한 가지 간단한 구성은 다음과 같다. 집합

X=\{(0,-1)\}\cup \mathbb {R} \times [0,\infty )

위에 각 점이 다음과 같은 국소 기저를 갖는 위상을 주자.

모든 $(x,y)\in \mathbb {R} \times (0,\infty )$ 은 고립점이다 (즉, $\{(x,y)\}$ 는 $(x,y)$ 의 열린 근방이다).
$(x,0)\in \mathbb {R} \times \{0\}$ 및 유한 집합 $F$ 에 대하여, $(\{x\}\times [0,2]\cup \{(x+y,y)\colon y\in [0,2]\})\setminus F$ 는 $(x,0)$ 의 열린 근방이다.
$n\in \mathbb {N}$ 에 대하여, $\{(0,-1)\}\cup [n,\infty )\times \mathbb {R}$ 는 $(0,-1)$ 의 열린 근방이다.

그렇다면, $X$ 는 하우스도르프 공간이며, 완비 하우스도르프 공간이며, 정칙 공간이지만, 티호노프 공간이 아니다.^[6]^[3]^{:40, Example 1.5.9}

증명:

$X$ 가 하우스도르프 공간임은 정의에 따라 쉽게 확인할 수 있다. 완비 하우스도르프 조건을 확인하기 위해, 서로 다른 두 점 $(x,y),(x',y')\in X$ 가 주어졌다고 하자. 편의상 $(x,y)\neq (0,-1)$ 이라고 하자. 하우스도르프 조건에 따라, $U$ 와 $V$ 가 $(x,y)$ 와 $(x',y')$ 의 서로소 국소 기저 원소라고 하자. 그렇다면, $U$ 는 열린닫힌집합이다. 따라서, 지시 함수 $1_{U}\colon X\to [0,1]$ 은 연속 함수이며, $(x,y)$ 와 $(x',y')$ 을 분리한다.

이제, $X$ 의 정칙성을 확인하자. $(x,y)\in \mathbb {R} \times [0,\infty )$ 의 국소 기저 원소들은 열린닫힌집합이므로, 임의의 $(x,y)\in \mathbb {R} \times [0,\infty )$ 는 이를 포함하지 않는 닫힌집합과 서로소 근방을 통해 분리된다. 따라서, $(0,-1)$ 과 $(0,-1)\not \in F$ 인 임의의 닫힌집합 $F$ 를 서로소 근방으로 분리하는 것으로 충분하다.

(\{(0,-1)\}\cup [n,\infty ))\cap F=\varnothing

인 $n\in \mathbb {N}$ 을 취하자. 그렇다면

U=\{(0,-1)\}\cup [n+2,\infty )\times \mathbb {R}

V=X\setminus (\{(0,-1)\}\cup [n+2,\infty )\times \mathbb {R} \cup [n,n+2]\times \{0\})

는 각각 $(0,-1)$ 와 $F$ 의 열린 근방이며, $U\cap V=\varnothing$ 이다.

이제, $X$ 가 티호노프 공간이 아님을 보이자. $[0,1]\times \{0\}$ 은 닫힌집합이며, $(0,-1)\not \in [0,1]\times \{0\}$ 이다. $f([0,1]\times \{0\})=\{0\}$ 인 연속 함수 $f\colon X\to \mathbb {R}$ 가 항상 $f((0,-1))=0$ 을 만족시킴을 보이는 것으로 충분하다. 각 $n\in \mathbb {N}$ 에 대하여 $K_{n}=f^{-1}(0)\cap ([n,n+1]\times \{0\})$ 이 무한 집합임을 보이는 것으로 충분하다. 수학적 귀납법을 사용하여, 가산 무한 집합 $C\subseteq K_{n}$ 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 $(c,0)\in C$ 에 대하여,

\{(c+y,y)\colon y\in [0,2]\}\setminus f^{-1}(0)=\bigcup _{i=1}^{\infty }\{(c+y,y)\colon y\in [0,2]\}\setminus f^{-1}((-1/i,1/i))

는 가산 개의 유한 집합의 합집합이므로 가산 집합이다. $C$ 가 가산 집합이므로,

P=\left\{(x,0)\colon (x,y)\in \bigcup _{c\in C}\{(c+y,y)\colon y\in [0,2]\}\setminus f^{-1}(0)\right\}

은 가산 집합이며, $([n+1,n+2]\times \{0\})\setminus P$ 는 무한 집합이다. 임의의 $(x,0)\in ([n+1,n+2]\times \{0\})\setminus P$ 및 $(c,0)\in C$ 에 대하여, $\{x\}\times [0,2]$ 와 $\{(c+y,y)\colon y\in [0,2]\}$ 의 교점은 $f^{-1}(0)$ 에 속한다. $C$ 가 무한 집합이므로, $(x,0)$ 의 모든 근방은 $f^{-1}(0)$ 의 점을 포함한다. $f$ 의 $(x,0)$ 에서의 연속성에 따라 $f((x,0))=0$ 이다. 즉, $([n+1,n+2]\times \{0\})\setminus P\subseteq K_{n+1}$ 이며, $K_{n+1}$ 은 무한 집합이다.

정규 공간이 아닌 티호노프 공간

니미츠키 평면(영어: Niemytzki plane)은 닫힌 상반평면 $\mathbb {R} \times [0,\infty )$ 위에, 그 통상적인 열린집합들과 다음과 같은 꼴의 집합들을 기저로 하는 위상을 부여한 위상 공간이다.

\{x\}\cup \operatorname {ball} (x+(0,\epsilon ),\epsilon )\qquad (x\in \mathbb {R} \times \{0\},\;\epsilon >0)

즉, 추가된 열린집합들은 상반평면의 경계선에 접하는 (통상적인 거리 함수에 대한) 열린 원판과 그 접점의 합집합들이다.

니미츠키 평면은 티호노프 공간이며, 모든 닫힌집합이 G_δ 집합이지만, 정규 공간이 아니다.^[7]^{:101, 82.2–82.3}^[3]^{:41, Example 1.5.10; 48, Exercise 1.5.H, (a)}

증명:

니미츠키 평면이 하우스도르프 공간임은 쉽게 확인할 수 있다. 완비 정칙 조건을 확인하자. 위상 공간의 부분 기저 ${\mathcal {S}}$ 가 주어졌을 때, 완비 정칙 조건은 임의의 $S\in {\mathcal {S}}$ 와 $s\in S$ 에 대하여, $s$ 와 $S$ 의 여집합이 실함수를 통해 분리되는 것과 동치이다. $\mathbb {R} \times [0,\infty )$ 는 통상적인 위상을 주었을 때 티호노프 공간이며, 니미츠키 평면의 위상은 통상적인 위상보다 섬세하므로, 모든 통상적인 열린집합의 점과 그 여집합은 실함수를 통해 분리된다. 임의의 $x\in \mathbb {R} \times \{0\}$ 및 $\epsilon >0$ 에 대하여, $y\in \operatorname {ball} (x+(0,\epsilon ),\epsilon )$ 과 $\mathbb {R} \times [0,\infty )\setminus \operatorname {ball} (x+(0,\epsilon ),\epsilon )$ 이 실함수를 통해 분리되므로, $y$ 와 $\mathbb {R} \times [0,\infty )\setminus (\{x\}\cup \operatorname {ball} (x+(0,\epsilon ),\epsilon ))$ 역시 같은 실함수를 통해 분리된다. 따라서, 임의의 $x\in \mathbb {R} \times \{0\}$ 및 $\epsilon >0$ 에 대하여,

f(x)=0

f(\mathbb {R} \times [0,\infty )\setminus (\{x\}\cup \operatorname {ball} (x+(0,\epsilon ),\epsilon )))=\{1\}

인 연속 함수

f\colon \mathbb {R} \times [0,\infty )\to [0,1]

를 찾으면 충분하다. 편의상 $x=0$ 이라고 하자. 그렇다면,

f\colon y\mapsto 1/\inf\{t\in [1,\infty )\colon ty\not \in \{0\}\cup \operatorname {ball} ((0,\epsilon ),\epsilon )\}

는 원하는 조건을 만족시킨다.

이제, 니미츠키 평면의 열린집합 $U\subseteq \mathbb {R} \times [0,\infty )$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $U\cap (\mathbb {R} \times (0,\infty ))$ 는 $\mathbb {R} \times (0,\infty )$ 의 열린집합이며, 따라서 가산 개의 (통상적 거리 함수에 대한) 열린 공들의 합집합이다. 각 열린 공은 가산 개의 닫힌 공들의 합집합이며, 닫힌 공은 니미츠키 평면의 닫힌집합이므로, $U\cap (\mathbb {R} \times (0,\infty ))$ 는 F_σ 집합이다. $\mathbb {R} \times \{0\}$ 의 모든 부분 집합은 니미츠키 평면의 닫힌집합이며, 특히 $U\cap (\mathbb {R} \times \{0\})$ 은 닫힌집합이다. 따라서 $U$ 는 F_σ 집합이다.

이제, 니미츠키 평면이 정규 공간이 아님을 증명하자. 귀류법을 사용하여, 니미츠키 평면이 정규 공간이 아니라고 가정하자. 임의의 $A\subseteq \mathbb {R} \times \{0\}$ 가 주어졌다고 하자. $A$ 와 $(\mathbb {R} \times \{0\})\setminus A$ 는 모두 닫힌집합이므로, 서로소 열린 근방 $U_{A}$ 와 $V_{A}$ 를 갖는다. 함수

{\mathcal {P}}(\mathbb {R} \times \{0\})\to {\mathcal {P}}(\mathbb {Q} \times ((0,1)\cap \mathbb {Q} ))

A\mapsto U_{A}\cap (\mathbb {Q} \times ((0,1)\cap \mathbb {Q} ))

를 생각하자. $A,B\subseteq \mathbb {R} \times \{0\}$ 이며 $A\setminus B\neq \varnothing$ 이라고 하자. 그렇다면, $A\setminus B\subseteq U_{A}\cap V_{B}$ 이며, $\mathbb {Q} \times ((0,1)\cap \mathbb {Q} )$ 가 조밀 집합이므로,

\varnothing \neq U_{A}\cap V_{B}\cap (\mathbb {Q} \times ((0,1)\cap \mathbb {Q} ))\subseteq (U_{A}\cap (\mathbb {Q} \times ((0,1)\cap \mathbb {Q} )))\setminus (U_{B}\cap (\mathbb {Q} \times ((0,1)\cap \mathbb {Q} )))

이다. 이에 따라, 위 함수는 단사 함수이며,

2^{2^{\aleph _{0}}}=|{\mathcal {P}}(\mathbb {R} \times \{0\})|\leq |{\mathcal {P}}(\mathbb {Q} \times ((0,1)\cap \mathbb {Q} ))|=2^{\aleph _{0}}

이다. 이는 모순이다.

역사

안드레이 티호노프의 이름이 붙어 있다.

같이 보기

각주

↑ ^가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 유정옥 (2013). 《알기쉬운 위상수학》 2판. 교우사. ISBN 978-89-8172-528-0. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
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↑ Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.
↑ Mysior, A. (1981). “A regular space which is not completely regular”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 81 (4): 652–653. doi:10.2307/2044178. ISSN 0002-9939. MR 0601748. Zbl 0451.54019.
↑ Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1978) [1970]. 《Counterexamples in Topology》 (영어) 2판. New York, NY: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-6290-9. ISBN 978-0-387-90312-5. MR 507446. Zbl 0386.54001.

외부 링크

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Weisstein, Eric Wolfgang. “Tychonoff space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Completely regular space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Tychonoff space”. 《nLab》 (영어).
“Is Mysior's example completely Hausdorff?”. 《Stack Exchange》. 2022년 2월 24일에 확인함.

[유정옥-1] 가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 유정옥 (2013). 《알기쉬운 위상수학》 2판. 교우사. ISBN 978-89-8172-528-0. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

[Gillman-2] 가 ^나 ^다 Gillman, Leonard; Jerison, Meyer (1976). 《Rings of continuous functions》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 43 Reprint ofe 1960 Van Nora판. New York - Heidelberg - Berlin: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4615-7819-2. ISBN 978-0-387-90198-5. MR 0407579. Zbl 0327.46040. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

[Engelking-3] 가 ^나 ^다 Engelking, Ryszard (1989). 《General topology》. Sigma Series in Pure Mathematics (영어) 6 개정 완결판. Berlin: Heldermann Verlag. ISBN 3-88538-006-4. MR 1039321. Zbl 0684.54001.

[James-4] James, I. M. (1987). 《Topological and Uniform Spaces》. Undergraduate Texts in Mathematics (영어). New York, NY: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-4716-6. ISBN 978-1-4612-9128-2. ISSN 0172-6056. Zbl 0625.54001.

[Munkres-5] Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.

[Mysior-6] Mysior, A. (1981). “A regular space which is not completely regular”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 81 (4): 652–653. doi:10.2307/2044178. ISSN 0002-9939. MR 0601748. Zbl 0451.54019.

[Steen-7] Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1978) [1970]. 《Counterexamples in Topology》 (영어) 2판. New York, NY: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-6290-9. ISBN 978-0-387-90312-5. MR 507446. Zbl 0386.54001.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

위상 공간의 분리공리
T₀	콜모고로프 공간
T₁
T₂	하우스도르프 공간
T_2½	우리손 공간
완전 T_2½	완비 하우스도르프 공간
T₃	정칙 하우스도르프 공간
T_3½	티호노프 공간
T₄	정규 하우스도르프 공간
T₅	완비 정규 하우스도르프 공간
T₆	완전 정규 하우스도르프 공간