균등 공간의 개념은 측근 (側近, 프랑스어 : entourage 앙투라주[* ] )의 개념을 사용하여 정의할 수 있으며, 또는 균등 덮개 (均等-, 영어 : uniform cover )의 개념을 사용하여 정의할 수도 있다. 두 정의는 서로 동치 이다. 대략, 측근은 위상 공간 의 열린집합 과 유사한 개념이며, 균등 덮개는 위상 공간 의 열린 덮개 와 유사한 개념이다.
집합
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
이항 관계
E
,
F
⊆
X
2
{\displaystyle E,F\subseteq X^{2}}
합성
F
∘
E
{\displaystyle F\circ E}
F
∘
E
=
{
(
x
,
z
)
:
(
x
,
y
)
∈
E
,
(
y
,
z
)
∈
F
}
{\displaystyle F\circ E=\{(x,z)\colon (x,y)\in E,\;(y,z)\in F\}}
X
{\displaystyle X}
이항 관계
E
⊆
X
2
{\displaystyle E\subseteq X^{2}}
반대 관계 (영어 : opposite relation )
E
op
{\displaystyle E^{\operatorname {op} }}
E
op
=
{
(
y
,
x
)
:
(
x
,
y
)
∈
E
}
{\displaystyle E^{\operatorname {op} }=\{(y,x)\colon (x,y)\in E\}}
집합
X
{\displaystyle X}
균등 공간 구조 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
X
×
X
{\displaystyle X\times X}
부분 집합 들의 집합
E
⊆
P
(
X
×
X
)
{\displaystyle {\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {P}}(X\times X)}
측근 (側近, 프랑스어 : entourage 앙투라주[* ] )이라고 한다.
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
부분 순서 집합 을 이루며, 이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
(하계 ) 대각 부분 집합
diag
X
=
{
(
x
,
x
)
:
x
∈
X
}
{\displaystyle \operatorname {diag} _{X}=\{(x,x)\colon x\in X\}}
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
하계 를 이룬다. 즉, 임의의 측근
E
∈
E
{\displaystyle E\in {\mathcal {E}}}
E
⊇
diag
X
{\displaystyle E\supseteq \operatorname {diag} _{X}}
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
부분 순서 집합
(
P
(
X
2
)
,
⊆
)
{\displaystyle ({\mathcal {P}}(X^{2}),\subseteq )}
필터 를 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
(자명한 측근)
X
2
∈
E
{\displaystyle X^{2}\in {\mathcal {E}}}
(상집합 성) 임의의
E
∋
E
⊆
F
⊆
X
2
{\displaystyle {\mathcal {E}}\ni E\subseteq F\subseteq X^{2}}
F
∈
E
{\displaystyle F\in {\mathcal {E}}}
(하향성 ) 임의의
E
,
F
∈
E
{\displaystyle E,F\in {\mathcal {E}}}
E
∩
F
∈
U
{\displaystyle E\cap F\in {\mathcal {U}}}
만약
E
∈
E
{\displaystyle E\in {\mathcal {E}}}
F
∘
F
⊆
E
{\displaystyle F\circ F\subseteq E}
F
∈
E
{\displaystyle F\in {\mathcal {E}}}
(역원에 대한 닫힘) 만약
E
∈
E
{\displaystyle E\in {\mathcal {E}}}
E
op
∈
E
{\displaystyle E^{\operatorname {op} }\in {\mathcal {E}}}
균등 공간 구조가 주어진 집합 을 균등 공간 이라고 한다. 주어진 집합
X
{\displaystyle X}
부분 순서 집합 을 이룬다. 위상의 비교 와 마찬가지로, 두 균등 공간 구조
E
,
E
′
⊆
P
(
X
2
)
{\displaystyle {\mathcal {E}},{\mathcal {E}}'\subseteq {\mathcal {P}}(X^{2})}
E
⊆
E
′
{\displaystyle {\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {E}}'}
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
E
′
{\displaystyle {\mathcal {E}}'}
엉성한 균등 공간 구조 (영어 : coarser uniform structure )라고 하고,
E
′
{\displaystyle {\mathcal {E}}'}
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
섬세한 균등 공간 구조 (영어 : finer uniform structure )라고 한다.
집합
X
{\displaystyle X}
덮개
C
⊆
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}
⋃
C
=
X
{\displaystyle \bigcup {\mathcal {C}}=X}
부분 집합 들의 족이다.
X
{\displaystyle X}
덮개 들의 집합을
Cover
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Cover} (X)}
X
{\displaystyle X}
C
,
C
′
∈
Cover
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {C}},{\mathcal {C}}'\in \operatorname {Cover} (X)}
C
′
{\displaystyle {\mathcal {C}}'}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
세분 인 것을
C
′
≲
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}'\lesssim {\mathcal {C}}}
C
′
{\displaystyle {\mathcal {C}}'}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
성형 세분 인 것을
C
′
⋆
≲
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}'^{\star }\lesssim {\mathcal {C}}}
원순서 이며, 따라서
(
Cover
(
X
)
,
≲
)
{\displaystyle (\operatorname {Cover} (X),\lesssim )}
원순서 집합 을 이룬다.
균등 공간
(
X
,
C
)
{\displaystyle (X,{\mathfrak {C}})}
[ 1] :85, Definition 7.1 [ 2] :2, Definition 1.1
X
{\displaystyle X}
집합 이다.
C
⊆
Cover
(
X
)
{\displaystyle {\mathfrak {C}}\subseteq \operatorname {Cover} (X)}
X
{\displaystyle X}
C
{\displaystyle {\mathfrak {C}}}
균등 덮개 (均等-, 영어 : uniform cover )라고 한다.이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
(균등 성형 세분 의 존재) 임의의 균등 덮개
C
∈
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}\in {\mathfrak {C}}}
C
′
⋆
≲
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}'^{\star }\lesssim {\mathcal {C}}}
C
′
∈
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}'\in {\mathfrak {C}}}
C
{\displaystyle {\mathfrak {C}}}
(
Cover
(
X
)
,
≲
)
{\displaystyle (\operatorname {Cover} (X),\lesssim )}
필터 이다. 즉, 다음이 성립한다.
(자명한 덮개의 균등성)
{
X
}
∈
C
{\displaystyle \{X\}\in {\mathfrak {C}}}
한원소 덮개
{
X
}
{\displaystyle \{X\}}
(상집합 성) 임의의 균등 덮개
C
∈
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}\in {\mathfrak {C}}}
C
′
∈
Cover
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}'\in \operatorname {Cover} (X)}
C
≲
C
′
{\displaystyle {\mathcal {C}}\lesssim {\mathcal {C}}'}
C
′
{\displaystyle {\mathcal {C}}'}
(하향성 ) 임의의 두 균등 덮개
C
,
C
′
∈
C
{\displaystyle {\mathcal {C}},{\mathcal {C}}'\in {\mathfrak {C}}}
{
C
∩
C
′
:
C
∈
C
,
C
′
∈
C
}
∈
C
{\displaystyle \{C\cap C'\colon C\in {\mathcal {C}},\;C'\in {\mathcal {C}}\}\in {\mathfrak {C}}}
균등 덮개를 통한 정의는 측근을 통한 정의와 동치이다. 구체적으로, 측근을 사용한 정의의 균등 공간
(
X
,
E
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {E}})}
C
{\displaystyle {\mathfrak {C}}}
C
=↑
{
{
E
[
x
,
−
]
:
x
∈
X
}
:
E
∈
E
}
{\displaystyle {\mathfrak {C}}=\uparrow \left\{\{E[x,-]\colon x\in X\}\colon E\in {\mathcal {E}}\right\}}
E
[
x
,
−
]
=
{
y
:
(
x
,
y
)
∈
E
}
{\displaystyle E[x,-]=\{y\colon (x,y)\in E\}}
여기서
↑
S
=
{
D
∈
Cover
(
X
)
:
∃
S
∈
S
:
S
≲
D
}
{\displaystyle \uparrow {\mathfrak {S}}=\{{\mathcal {D}}\in \operatorname {Cover} (X)\colon \exists {\mathcal {S}}\in {\mathfrak {S}}\colon {\mathfrak {S}}\lesssim {\mathcal {D}}\}}
는 덮개 집합의 세분 관계에 대한 상폐포 이다. 즉, 균등 덮개는 측근
E
{\displaystyle E}
{
E
[
x
,
−
]
}
x
∈
X
{\displaystyle \{E[x,-]\}_{x\in X}}
반대로, 균등 덮개의 집합
C
{\displaystyle {\mathfrak {C}}}
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
E
=↑
{
⋃
C
∈
C
C
×
C
:
C
∈
C
}
{\displaystyle {\mathcal {E}}=\uparrow \left\{\bigcup _{C\in {\mathcal {C}}}C\times C\colon {\mathcal {C}}\in {\mathfrak {C}}\right\}}
여기서
↑
S
=
{
E
⊆
X
2
:
∃
S
∈
S
:
E
⊇
S
}
{\displaystyle \uparrow {\mathcal {S}}=\{E\subseteq X^{2}\colon \exists S\in {\mathcal {S}}\colon E\supseteq S\}}
는 부분 집합 관계에 대한 상폐포 이다.
균등 공간
(
X
,
E
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {E}})}
B
⊆
E
{\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {E}}}
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
기본계 (基本系, 영어 : fundamental system )라고 한다.
E
=
{
E
⊆
X
2
:
∃
B
∈
B
:
B
⊆
E
}
{\displaystyle {\mathcal {E}}=\{E\subseteq X^{2}\colon \exists B\in {\mathcal {B}}\colon B\subseteq E\}}
균등 공간 구조의 기본계는 위상 의 기저 와 유사한 개념이다.
두 균등 공간
(
X
,
E
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {E}})}
(
Y
,
F
)
{\displaystyle (Y,{\mathcal {F}})}
균등 연속 함수 (영어 : uniformly continuous map )는 다음 조건을 만족시키는 함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
측근의 원상 은 측근이다. 즉, 임의의
F
∈
F
{\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}
f
−
1
(
F
)
∈
E
{\displaystyle f^{-1}(F)\in {\mathcal {E}}}
균등 공간들과 균등 연속 함수들은 범주 를 이루며, 이를
Unif
{\displaystyle \operatorname {Unif} }
균등 공간
(
X
,
E
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {E}})}
위상 을 정의할 수 있으며, 이를 균등 위상 (영어 : uniform topology )이라고 한다. 균등 위상에서, 임의의 점
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
근방 필터 는 다음과 같이 정의된다.
N
x
=
{
E
[
x
,
−
]
:
E
∈
E
}
{\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}=\left\{E[x,-]\colon E\in {\mathcal {E}}\right\}}
E
[
x
,
−
]
=
{
y
:
(
x
,
y
)
∈
E
}
{\displaystyle E[x,-]=\{y\colon (x,y)\in E\}}
모든 균등 공간은 (균등 위상을 부여할 때) 완비 정칙 공간 이다. 사실, 이는 필요충분조건 이다. 즉, 위상 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치 이다.
균등화 가능 공간 (영어 : uniformizable space )이다. 즉, 그 위상과 호환되는 균등 공간 구조가 존재한다.완비 정칙 공간 이다.
(균등 위상을 갖춘) 균등 공간
(
X
,
E
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {E}})}
닫힌집합
C
⊆
X
{\displaystyle C\subseteq X}
x
∈
X
∖
C
{\displaystyle x\in X\setminus C}
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle f(x)=0}
f
(
C
)
⊆
{
1
}
{\displaystyle f(C)\subseteq \{1\}}
연속 함수
f
:
X
→
[
0
,
1
]
{\displaystyle f\colon X\to [0,1]}
(
E
i
)
i
=
0
∞
⊆
E
{\displaystyle (E_{i})_{i=0}^{\infty }\subseteq {\mathcal {E}}}
x
∈
E
0
[
x
,
−
]
⊆
X
∖
C
{\displaystyle x\in E_{0}[x,-]\subseteq X\setminus C}
E
0
⊇
E
1
∘
E
1
⊇
E
1
⊇
E
2
∘
E
2
⊇
⋯
{\displaystyle E_{0}\supseteq E_{1}\circ E_{1}\supseteq E_{1}\supseteq E_{2}\circ E_{2}\supseteq \cdots }
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
이진 유리수 의 집합을
J
{\displaystyle J}
{
F
j
}
j
∈
J
{\displaystyle \{F_{j}\}_{j\in J}}
j
∈
J
{\displaystyle j\in J}
j
{\displaystyle j}
이진법 전개가
j
=
1
/
2
i
(
0
)
+
⋯
+
1
/
2
i
(
n
)
{\displaystyle j=1/2^{i(0)}+\cdots +1/2^{i(n)}}
0
≤
i
(
0
)
<
i
(
1
)
<
⋯
<
i
(
n
)
{\displaystyle 0\leq i(0)<i(1)<\cdots <i(n)}
라면,
F
j
=
E
i
(
n
)
∘
E
i
(
n
−
1
)
∘
⋯
∘
E
i
(
0
)
{\displaystyle F_{j}=E_{i(n)}\circ E_{i(n-1)}\circ \cdots \circ E_{i(0)}}
로 정의한다. 이 경우 만약
j
,
j
′
∈
J
{\displaystyle j,j'\in J}
j
≤
j
′
{\displaystyle j\leq j'}
F
j
⊆
F
j
′
{\displaystyle F_{j}\subseteq F_{j'}}
j
=
1
/
2
i
(
0
)
+
⋯
+
1
/
2
i
(
n
)
+
1
/
2
j
(
0
)
+
⋯
+
1
/
2
j
(
p
)
{\displaystyle j=1/2^{i(0)}+\cdots +1/2^{i(n)}+1/2^{j(0)}+\cdots +1/2^{j(p)}}
j
′
=
1
/
2
i
(
0
)
+
⋯
+
1
/
2
i
(
n
)
+
1
/
2
k
(
0
)
+
⋯
+
1
/
2
k
(
q
)
{\displaystyle j'=1/2^{i(0)}+\cdots +1/2^{i(n)}+1/2^{k(0)}+\cdots +1/2^{k(q)}}
0
≤
i
(
0
)
<
⋯
<
i
(
n
)
<
k
(
0
)
<
⋯
<
k
(
q
)
{\displaystyle 0\leq i(0)<\cdots <i(n)<k(0)<\cdots <k(q)}
k
(
0
)
<
j
(
0
)
<
⋯
<
j
(
q
)
{\displaystyle k(0)<j(0)<\cdots <j(q)}
일 때
F
j
⊆
E
j
(
p
)
∘
F
j
⊆
E
k
(
0
)
∘
E
i
(
n
)
∘
⋯
∘
E
i
(
0
)
⊆
F
j
′
{\displaystyle F_{j}\subseteq E_{j(p)}\circ F_{j}\subseteq E_{k(0)}\circ E_{i(n)}\circ \cdots \circ E_{i(0)}\subseteq F_{j'}}
이기 때문이다.
이제, 함수
f
:
X
→
[
0
,
1
]
{\displaystyle f\colon X\to [0,1]}
f
:
y
↦
inf
{
j
∈
J
:
(
x
,
y
)
∈
F
j
}
{\displaystyle f\colon y\mapsto \inf\{j\in J\colon (x,y)\in F_{j}\}}
그렇다면, 임의의
j
∈
J
{\displaystyle j\in J}
(
x
,
x
)
∈
F
j
{\displaystyle (x,x)\in F_{j}}
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle f(x)=0}
y
∈
C
{\displaystyle y\in C}
j
∈
J
{\displaystyle j\in J}
(
x
,
y
)
∉
F
j
{\displaystyle (x,y)\not \in F_{j}}
f
(
C
)
⊆
{
1
}
{\displaystyle f(C)\subseteq \{1\}}
f
{\displaystyle f}
연속 함수 임을 보이는 일만 남았다. 사실,
f
{\displaystyle f}
균등 연속 함수 이며, 구체적으로 임의의 양의 정수
n
∈
Z
+
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}
(
y
,
z
)
∈
E
n
{\displaystyle (y,z)\in E_{n}}
|
f
(
y
)
−
f
(
z
)
|
≤
1
/
2
n
−
1
{\displaystyle |f(y)-f(z)|\leq 1/2^{n-1}}
j
=
m
/
2
n
,
j
′
=
(
m
+
1
)
/
2
n
∈
J
{\displaystyle j=m/2^{n},j'=(m+1)/2^{n}\in J}
라고 하였을 때,
E
n
∘
F
j
⊆
F
j
′
{\displaystyle E_{n}\circ F_{j}\subseteq F_{j'}}
이므로
f
(
y
)
<
j
{\displaystyle f(y)<j}
f
(
z
)
≤
j
′
{\displaystyle f(z)\leq j'}
f
(
y
)
{\displaystyle f(y)}
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
[
j
,
j
′
]
{\displaystyle [j,j']}
|
f
(
y
)
−
f
(
z
)
|
≤
1
/
2
n
−
1
{\displaystyle |f(y)-f(z)|\leq 1/2^{n-1}}
증명 (완비 정칙 공간 위의 균등 공간 구조):
임의의 위상 공간
X
{\displaystyle X}
연속 함수
X
→
[
0
,
1
]
{\displaystyle X\to [0,1]}
균등 연속 함수 로 맏드는 가장 엉성한 균등 공간 구조
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
B
=
{
B
f
1
,
ϵ
1
∩
⋯
∩
B
f
n
,
ϵ
n
:
n
∈
N
,
f
1
,
…
,
f
n
∈
C
(
X
;
[
0
,
1
]
)
,
ϵ
1
,
…
,
ϵ
n
∈
R
+
}
{\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{B_{f_{1},\epsilon _{1}}\cap \cdots \cap B_{f_{n},\epsilon _{n}}\colon n\in \mathbb {N} ,\;f_{1},\dots ,f_{n}\in {\mathcal {C}}(X;[0,1]),\;\epsilon _{1},\dots ,\epsilon _{n}\in \mathbb {R} ^{+}\right\}}
B
f
,
ϵ
=
{
(
x
,
y
)
∈
X
2
:
|
f
(
x
)
−
f
(
y
)
|
<
ϵ
}
{\displaystyle B_{f,\epsilon }=\{(x,y)\in X^{2}\colon |f(x)-f(y)|<\epsilon \}}
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
X
{\displaystyle X}
B
f
,
ϵ
[
x
,
−
]
=
f
−
1
(
(
f
(
x
)
−
ϵ
,
f
(
x
)
+
ϵ
)
∩
[
0
,
1
]
)
{\displaystyle B_{f,\epsilon }[x,-]=f^{-1}((f(x)-\epsilon ,f(x)+\epsilon )\cap [0,1])}
가 항상
X
{\displaystyle X}
열린집합 이기 때문이다. 반대로, 만약
X
{\displaystyle X}
완비 정칙 공간 이라면, 임의의 열린집합
U
⊆
X
{\displaystyle U\subseteq X}
x
∈
U
{\displaystyle x\in U}
B
f
,
1
[
x
,
−
]
⊆
U
{\displaystyle B_{f,1}[x,-]\subseteq U}
연속 함수
f
:
X
→
[
0
,
1
]
{\displaystyle f\colon X\to [0,1]}
U
{\displaystyle U}
열린집합 이며, 균등 위상은
X
{\displaystyle X}
균등 공간
(
X
,
E
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {E}})}
동치 이며, 이 조건을 만족시키는 균등 공간을 하우스도르프 균등 공간 이라고 한다.
균등 위상이 콜모고로프 공간 (T0 )이다.
균등 위상이 티호노프 공간 (T3½ = 완비 정칙 하우스도르프 공간 )이다.
⋂
E
=
diag
X
{\displaystyle \bigcap {\mathcal {E}}=\operatorname {diag} _{X}}
(물론, T0 과 T3½ 사이의 모든 Ti 동치 이다.)
T0 과 T3½ 사이의 분리공리 들의 동치 는 완비 정칙성에 의한다.
X
{\displaystyle X}
곱위상 을 부여한
X
×
X
{\displaystyle X\times X}
닫힌집합 인 것들의 집합은
X
{\displaystyle X}
⋂
E
{\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {E}}}
교집합 이며, 특히 닫힌집합 이다. 따라서 만약
⋂
E
=
diag
X
{\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {E}}=\operatorname {diag} _{X}}
diag
X
{\displaystyle \operatorname {diag} _{X}}
닫힌집합 이며,
X
{\displaystyle X}
하우스도르프 공간 이다. 반대로, 만약
X
{\displaystyle X}
하우스도르프 공간 이라면, 임의의
(
x
,
y
)
∈
X
×
X
∖
diag
X
{\displaystyle (x,y)\in X\times X\setminus \operatorname {diag} _{X}}
서로소 근방
E
[
x
,
−
]
{\displaystyle E[x,-]}
F
[
y
,
−
]
{\displaystyle F[y,-]}
(
x
,
y
)
∉
E
{\displaystyle (x,y)\not \in E}
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
⋂
E
=
diag
X
{\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {E}}=\operatorname {diag} _{X}}
균등 공간에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.
유사 거리화 가능 균등 공간 (영어 : pseudometrizable uniform space )이다. 즉, 균등 공간 구조와 호환되는 유사 거리 함수 가 존재한다.가산 기본계를 갖는다.이는 위상군 에 대한 버코프-가쿠타니 정리 를 일반화한다.
균등 공간과 균등 연속 함수 의 범주
Unif
{\displaystyle \operatorname {Unif} }
구체적 범주 이며, 다음과 같은 성질을 갖는다.
Unif
{\displaystyle \operatorname {Unif} }
위상 범주 이다.[ 3] :361, Example 21.8(1) 완비 범주 이자 쌍대 완비 범주 이며,[ 3] :365, Corollary 21.17(1)
Unif
→
Set
{\displaystyle \operatorname {Unif} \to \operatorname {Set} }
는 왼쪽 수반 함자 와 오른쪽 수반 함자 를 갖는다.[ 3] :362, Proposition 21.12
Unif
{\displaystyle \operatorname {Unif} }
데카르트 닫힌 범주 가 아니다.[ 4]
Unif
{\displaystyle \operatorname {Unif} }
끝 대상 은 한원소 집합 위의 유일한 균등 공간 구조이며, 시작 대상 은 공집합 위의 유일한 균등 공간 구조이다.
균등 공간의 범주
Unif
{\displaystyle \operatorname {Unif} }
집합 크기의) 곱 을 갖는다. 구체적으로, 균등 공간들의 족
{
(
X
i
,
E
i
)
}
i
∈
I
{\displaystyle \{(X_{i},{\mathcal {E}}_{i})\}_{i\in I}}
곱 균등 공간 (영어 : product uniform space )은 집합으로서 곱집합
∏
i
∈
I
X
i
{\displaystyle \textstyle \prod _{i\in I}X_{i}}
B
=
{
{
(
x
i
,
y
i
)
i
∈
I
:
(
x
i
1
,
y
i
1
)
∈
E
1
,
…
,
(
x
i
n
,
y
i
n
)
∈
E
n
}
:
n
∈
N
,
i
1
,
…
,
i
n
∈
I
,
E
i
1
∈
E
i
1
,
…
,
E
n
∈
E
i
n
}
{\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{\left\{(x_{i},y_{i})_{i\in I}\colon (x_{i_{1}},y_{i_{1}})\in E_{1},\dots ,(x_{i_{n}},y_{i_{n}})\in E_{n}\right\}\colon n\in \mathbb {N} ,\;i_{1},\dots ,i_{n}\in I,\;E_{i_{1}}\in {\mathcal {E}}_{i_{1}},\dots ,E_{n}\in {\mathcal {E}}_{i_{n}}\right\}}
이는 표준적인 사영 함수
∏
i
∈
I
X
i
→
X
i
{\displaystyle \textstyle \prod _{i\in I}X_{i}\to X_{i}}
균등 연속 함수 로 만드는 가장 엉성한 균등 공간 구조이다.
균등 공간의 범주에서, 균등 공간 구조를 잊어 완비 정칙 공간
CRegTop
{\displaystyle \operatorname {CRegTop} }
범주 로 가는 망각 함자
G
:
Unif
→
CRegTop
{\displaystyle G\colon \operatorname {Unif} \to \operatorname {CRegTop} }
가 존재하며, 이는 왼쪽 수반 함자
F
:
CRegTop
→
Unif
{\displaystyle F\colon \operatorname {CRegTop} \to \operatorname {Unif} }
를 갖는다. 즉,
G
{\displaystyle G}
Unif
{\displaystyle \operatorname {Unif} }
극한 을 보존하며, 반대로
F
{\displaystyle F}
CRegTop
{\displaystyle \operatorname {CRegTop} }
쌍대극한 을 보존한다.
특히, 임의의 균등 공간들의 족
{
X
i
}
i
∈
I
{\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}
범주론적 곱 의 균등 위상은
{
X
i
}
i
∈
I
{\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}
곱위상 과 일치한다. 즉, 함자
G
{\displaystyle G}
곱 을 보존한다.
함자
F
:
CRegTop
→
Unif
{\displaystyle F\colon \operatorname {CRegTop} \to \operatorname {Unif} }
완비 정칙 공간 에 이와 호환되는 가장 섬세한 균등 공간 구조를 부여한다. 구체적으로, 완비 정칙 공간
X
{\displaystyle X}
[ 5] :247, Corollary 36.17
{
E
0
:
E
0
,
E
1
,
⋯
∈
T
X
×
X
,
E
0
⊇
E
1
∘
E
1
⊇
E
1
⊇
E
2
∘
E
2
⊇
⋯
⊇
diag
(
X
)
}
{\displaystyle \{E_{0}\colon E_{0},E_{1},\dots \in {\mathcal {T}}_{X\times X},\;E_{0}\supseteq E_{1}\circ E_{1}\supseteq E_{1}\supseteq E_{2}\circ E_{2}\supseteq \cdots \supseteq \operatorname {diag} (X)\}}
집합
X
{\displaystyle X}
이산 균등 공간 이라고 한다.[ 2] :3, Definition 1.2 [ 1] :86, Definition 7.2
E
=
{
E
⊆
X
2
:
E
⊇
diag
X
}
{\displaystyle {\mathcal {E}}=\{E\subseteq X^{2}\colon E\supseteq \operatorname {diag} _{X}\}}
이로부터 유도되는 위상 은 이산 위상 이다. 이는
X
{\displaystyle X}
집합
X
{\displaystyle X}
비이산 균등 공간 (영어 : indiscrete uniform space )이라고 한다.[ 2] :3, Definition 1.3 [ 1] :86, Definition 7.3
E
=
{
X
2
}
{\displaystyle {\mathcal {E}}=\{X^{2}\}}
이로부터 유도되는 위상 은 비이산 위상 이다. 이는
X
{\displaystyle X}
편집
집합
X
{\displaystyle X}
d
:
X
2
→
R
≥
0
{\displaystyle d\colon X^{2}\to \mathbb {R} _{\geq 0}}
가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
d
(
x
,
x
)
=
0
∀
x
∈
X
{\displaystyle d(x,x)=0\qquad \forall x\in X}
d
(
x
,
y
)
=
d
(
y
,
x
)
∀
x
,
y
∈
X
{\displaystyle d(x,y)=d(y,x)\qquad \forall x,y\in X}
(삼각 부등식 )
d
(
x
,
z
)
≤
d
(
x
,
y
)
+
d
(
y
,
z
)
{\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}
(그러나
x
≠
y
⟹
d
(
x
,
y
)
>
0
{\displaystyle x\neq y\implies d(x,y)>0}
거리 공간 의 거리 함수의 개념의 일반화이다. 그렇다면, 다음과 같은 기본계를 사용하여
X
{\displaystyle X}
B
=
{
d
−
1
(
[
0
,
t
]
)
:
t
∈
R
+
}
{\displaystyle {\mathcal {B}}=\{d^{-1}([0,t])\colon t\in \mathbb {R} ^{+}\}}
위상군
G
{\displaystyle G}
오른쪽 균등 공간 구조 (영어 : right uniform structure )는 다음과 같은 기본계로서 정의되는 균등 공간 구조이다.
B
right
=
{
{
(
g
,
h
)
:
g
h
−
1
∈
U
}
:
U
∋
1
G
}
{\displaystyle {\mathcal {B}}_{\text{right}}=\{\{(g,h)\colon gh^{-1}\in U\}\colon U\ni 1_{G}\}}
여기서
U
{\displaystyle U}
1
G
∈
G
{\displaystyle 1_{G}\in G}
근방 이다. 마찬가지로, 위상군
G
{\displaystyle G}
왼쪽 균등 공간 구조 (영어 : left uniform structure )는 다음과 같은 기본계로서 정의되는 균등 공간 구조이다.
B
left
=
{
{
(
g
,
h
)
:
h
−
1
g
∈
U
}
:
U
∋
1
G
}
{\displaystyle {\mathcal {B}}_{\text{left}}=\{\{(g,h)\colon h^{-1}g\in U\}\colon U\ni 1_{G}\}}
(물론, 아벨 위상군 의 경우 두 균등 공간 구조가 일치한다.)
임의의 원소
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
(
⋅
g
)
:
G
→
G
{\displaystyle (\cdot g)\colon G\to G}
(
g
⋅
)
:
G
→
G
{\displaystyle (g\cdot )\colon G\to G}
위상군은 항상 균등화 가능 공간이다. 오른쪽 균등 위상과 왼쪽 균등 위상은 위상군의 원래 위상과 일치한다.
위상군
G
{\displaystyle G}
부분군
H
≤
G
{\displaystyle H\leq G}
왼쪽 잉여류 공간
G
/
H
{\displaystyle G/H}
B
=
{
(
g
H
,
h
H
)
∈
(
G
/
H
)
2
:
∃
U
∋
1
G
:
h
g
−
1
∈
U
}
{\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{(gH,hH)\in (G/H)^{2}\colon \exists U\ni 1_{G}\colon hg^{-1}\in U\right\}}
여기서
U
{\displaystyle U}
1
G
∈
G
{\displaystyle 1_{G}\in G}
근방 이다. 이로부터 정의되는 균등 위상은 몫공간 위상과 일치한다.
콤팩트 하우스도르프 공간
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
곱공간
X
×
X
{\displaystyle X\times X}
대각 부분 집합
diag
X
⊆
X
×
X
{\displaystyle \operatorname {diag} _{X}\subseteq X\times X}
근방 으로 주어진다.
이는 필요 조건 이 아니다. 구체적으로, 티호노프 공간 (즉, 균등화 가능 하우스도르프 공간 )
X
{\displaystyle X}
동치 이다.
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
완전 유계 균등 공간 구조가 존재한다.
X
{\displaystyle X}
스톤-체흐 콤팩트화
β
X
{\displaystyle \beta X}
부분 집합 으로 여겼을 때,
|
β
X
∖
X
|
≤
1
{\displaystyle |\beta X\setminus X|\leq 1}
이와 유사하게, 티호노프 공간
X
{\displaystyle X}
동치 이다.
X
{\displaystyle X}
엉성한 균등 공간 구조가 존재한다.
X
{\displaystyle X}
엉성한 완전 유계 균등 공간 구조가 존재한다.
X
{\displaystyle X}
국소 콤팩트 하우스도르프 공간 이다.임의의 균등 공간
(
X
,
E
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {E}})}
[ 1]
대칭 측근들의 집합
{
E
∈
E
:
E
=
E
op
}
{\displaystyle \{E\in {\mathcal {E}}\colon E=E^{\operatorname {op} }\}}
(균등 위상의 곱위상 에 대한) 열린 측근들의 집합
(균등 위상의 곱위상 에 대한) 닫힌 측근들의 집합
대칭 측근: 임의의
E
∈
E
{\displaystyle E\in {\mathcal {E}}}
F
=
E
∩
E
op
⊆
E
{\displaystyle F=E\cap E^{\operatorname {op} }\subseteq E}
열린 측근: 임의의 측근
E
∈
E
{\displaystyle E\in {\mathcal {E}}}
int
E
{\displaystyle \operatorname {int} E}
F
∘
F
∘
F
⊆
E
{\displaystyle F\circ F\circ F\subseteq E}
F
=
F
op
∈
E
{\displaystyle F=F^{\operatorname {op} }\in {\mathcal {E}}}
F
∘
F
∘
F
=
⋃
(
x
,
y
)
∈
F
(
{
x
′
∈
X
:
(
x
,
x
′
)
∈
F
}
×
{
y
′
∈
X
:
(
y
,
y
′
)
∈
F
}
)
{\displaystyle F\circ F\circ F=\bigcup _{(x,y)\in F}(\{x'\in X\colon (x,x')\in F\}\times \{y'\in X\colon (y,y')\in F\})}
가
F
{\displaystyle F}
근방 이므로,
F
⊆
int
(
F
∘
F
∘
F
)
⊆
int
E
{\displaystyle F\subseteq \operatorname {int} (F\circ F\circ F)\subseteq \operatorname {int} E}
이며, 따라서
int
E
∈
E
{\displaystyle \operatorname {int} E\in {\mathcal {E}}}
닫힌 측근: 임의의 측근
E
∈
E
{\displaystyle E\in {\mathcal {E}}}
cl
F
⊆
E
{\displaystyle \operatorname {cl} F\subseteq E}
F
∈
E
{\displaystyle F\in {\mathcal {E}}}
F
∘
F
∘
F
⊆
E
{\displaystyle F\circ F\circ F\subseteq E}
F
=
F
op
∈
E
{\displaystyle F=F^{\operatorname {op} }\in {\mathcal {E}}}
(
x
,
y
)
∈
X
2
{\displaystyle (x,y)\in X^{2}}
{
{
x
′
∈
X
:
(
x
,
x
′
)
∈
G
}
×
{
y
′
∈
X
:
(
y
,
y
′
)
∈
G
}
:
G
=
G
op
∈
E
}
{\displaystyle \{\{x'\in X\colon (x,x')\in G\}\times \{y'\in X\colon (y,y')\in G\}\colon G=G^{\operatorname {op} }\in {\mathcal {E}}\}}
은
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
국소 기저 를 이루며, 이에 따라
cl
F
=
⋂
G
∈
E
G
=
G
op
G
∘
F
∘
G
{\displaystyle \operatorname {cl} F=\bigcap _{\scriptstyle G\in {\mathcal {E}} \atop \scriptstyle G=G^{\operatorname {op} }}G\circ F\circ G}
임을 보일 수 있다. 따라서
cl
F
⊆
F
∘
F
∘
F
⊆
E
{\displaystyle \operatorname {cl} F\subseteq F\circ F\circ F\subseteq E}
이다.
거리 공간 의 개념을 추상화하기 위하여 앙드레 베유 가 1937년에 도입하였다.[ 6] [ 7] [ 8] 니콜라 부르바키 가 측근을 사용한 정의를 도입하였다.[ 9]
균등 공간의 개념의 필요성에 대하여 수학자 게르하르트 프로이스(독일어 : Gerhard Preuß , 1940~2011)는 다음과 같이 적었다.
“
균등 개념들(균등 연속성 · 균등 수렴 · 코시 열 /코시 필터 등)과 완비성 은
Top
{\displaystyle \operatorname {Top} }
위상 공간 의 범주 ]에서 정의할 수 없다. 그 이유는 무엇인가? 해석학에서의 코시 열 의 개념을 살펴보자. […] 서로 다른 점들의 ε-근방 은 같은 크기를 갖는 것으로 간주된다. 위상 공간
(
X
,
X
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {X}})}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
근방계
U
(
x
)
{\displaystyle {\mathcal {U}}(x)}
하우스도르프 의 원래 정의에 따라) 특정 공리들을 만족시킨다. 그러나 서로 다른 점들의 근방들의 크기를 비교할 수 없다. 따라서, 서로 다른 점들의 근방들의 크기를 (거리 공간 에서와 같이) 비교할 수 있다면 코시 열 을 정의할 수 있다. 마찬가지로 왜 균등 연속성 과 균등 수렴 을 위상 공간 만으로 정의할 수 없는지 설명할 수 있다. 마지막으로 (그리고 특히) 코시 필터 의 개념이 없이는 위상 공간 의 완비성 을 정의할 수 없다.Uniform concepts such as uniform continuity, uniform convergence, Cauchy sequences (or Cauchy filters) and completeness are not available in
Top
{\displaystyle \operatorname {Top} }
(
X
,
X
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {X}})}
U
(
x
)
{\displaystyle {\mathcal {U}}(x)}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
”
↑ 가 나 다 라 James, I. M. (1987). 《Topological and uniform spaces》. Undergraduate Texts in Mathematics (영어) 144 . Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-4716-6 . ISBN 978-0-387-96466-9 ISSN 0172-6056 . Zbl 0625.54001 . ↑ 가 나 다 James, I. M. (1990). 《Introduction to uniform spaces》. London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) 144 . Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9780511721519 . ISBN 978-052138620-3 Zbl 0719.54036 . ↑ 가 나 다 Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George (2006). “Abstract and concrete categories: the joy of cats” . 《Reprints in Theory and Applications of Categories》 (영어) 17 : 1–507. Zbl 1113.18001 . ↑ Adámek, Jiří; Reiterman, Jan (1985년 6월). “Cartesian closed hull of the category of uniform spaces”. 《Topology and its Applications》 (영어) 19 (3): 261–276. doi :10.1016/0166-8641(85)90006-9 . ISSN 0166-8641 . ↑ Willard, Stephen (1970). 《General topology》 . Addison-Wesley Series in Mathematics (영어). Reading, Massachusetts; Menlo Park, California; London; Don Mills, Ontario: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-08707-9 MR 0264581 . Zbl 0205.26601 . ↑ Weil, André (1937). 《Sur les espaces à structure uniforme et sur la topologie générale》. Actualités scientifiques et industrielles (프랑스어) 551 . Hermann & Cie. JFM 63.0569.04 . Zbl 0019.18604 . ↑ Bentley, H. Lamar; Herrlich, Horst; Hušek, Miroslav (1998). 〈The historical development of uniform, proximal, and nearness concepts in topology〉. Aull, C. E.; Lowen, R. 《Handbook of the History of General Topology》. History of Topology (영어) 2 . Springer-Verlag. 577–629쪽. doi :10.1007/978-94-017-1756-4_7 . ISBN 978-90-481-5023-6 ISSN 1388-4336 . Zbl 0936.54028 . ↑ Dugac, Pierre (1984년 1월). “Histoire des espaces complets”. 《Revue d’histoire des sciences》 (프랑스어) (1): 3–28. doi :10.3406/rhs.1984.1972 . ISSN 0151-4105 . JSTOR 23632340 . Zbl 0545.01008 . ↑ Bourbaki, Nicolas (1971). 《Topologie générale. Chapitres 1 à 4》. Éléments de mathématique (프랑스어). Hermann. doi :10.1007/978-3-540-33982-3 . ISBN 978-3-540-33936-6 Zbl 0249.54001 . ↑ Preuss, Gerhard (2002). 《Foundations of topology: an approach to convenient topology》 (영어). Kluwer Academic Publishers. doi :10.1007/978-94-010-0489-3 . ISBN 978-94-010-3940-6
![{\displaystyle {\mathfrak {C}}=\uparrow \left\{\{E[x,-]\colon x\in X\}\colon E\in {\mathcal {E}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fe6f4d70753724f7adac064545897f2c461820e)
![{\displaystyle E[x,-]=\{y\colon (x,y)\in E\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d01fc5667e0c8704c0f862efd2fc04774050d83)
![{\displaystyle \{E[x,-]\}_{x\in X}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db4d8deacff6293a092796319890c45b7f830dec)
이 부분의 본문은 균등 연속 함수입니다.
![{\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}=\left\{E[x,-]\colon E\in {\mathcal {E}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54306376976d9e6c5da79355d400dc6d221cd71)
![{\displaystyle f\colon X\to [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/091a87d1c1db3b241cd2d04bcd2bd55693ba6631)
![{\displaystyle x\in E_{0}[x,-]\subseteq X\setminus C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ed2faa1c482df3c59a9e12671431cd344350330)
![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
![{\displaystyle [j,j']}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9e5b814a83e9bed261271b9efbc8d6864a24675)
![{\displaystyle X\to [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3822f29aa3d5d286d1b475cc8a6cfc9539ab9861)
![{\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{B_{f_{1},\epsilon _{1}}\cap \cdots \cap B_{f_{n},\epsilon _{n}}\colon n\in \mathbb {N} ,\;f_{1},\dots ,f_{n}\in {\mathcal {C}}(X;[0,1]),\;\epsilon _{1},\dots ,\epsilon _{n}\in \mathbb {R} ^{+}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54d798573b79d845a9a6328923ce4ccf4bf955e5)
![{\displaystyle B_{f,\epsilon }[x,-]=f^{-1}((f(x)-\epsilon ,f(x)+\epsilon )\cap [0,1])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcd55a84c8e6d49f40640ce35f2a6a5593138e0f)
![{\displaystyle B_{f,1}[x,-]\subseteq U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b0ccb6cbe06558359bfd057e2cea220cfda957a)
![{\displaystyle E[x,-]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c232040314a1349257fd618b7e8ce337b4762f0b)
![{\displaystyle F[y,-]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cf0d96516f9729dbe99466386d2754f2f0b2148)
![{\displaystyle {\mathcal {B}}=\{d^{-1}([0,t])\colon t\in \mathbb {R} ^{+}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9094c0292faa28a84c04072c73406c4ac35d852a)
