콜모고로프 공간

일반위상수학에서 콜모고로프 공간(Колмогоров空間, 영어: Kolmogorov space) 또는 T₀ 공간(영어: T₀-space)은 서로 다른 두 점을 열린집합으로 구별할 수 있는 위상 공간이다. 가장 약한 형태의 분리공리를 만족시킨다.

위상 공간의 분리공리
T0	콜모고로프 공간
T1
T2	하우스도르프 공간
T2½	우리손 공간
완전 T2½	완비 하우스도르프 공간
T3	정칙 하우스도르프 공간
T3½	티호노프 공간
T4	정규 하우스도르프 공간
T5	완비 정규 하우스도르프 공간
T6	완전 정규 하우스도르프 공간

정의

위상 공간 $X$의 두 점 $x,y\in X$에 대하여, 다음 두 조건이 성립한다면 두 점이 위상수학적으로 구분 불가능(位相數學的-區分不可能, 영어: topologically indistinguishable)하다고 한다.

• 모든 열린집합 $U\subseteq X$에 대하여, $x\in U$라면 $y\in U$이다.
• 모든 닫힌집합 $C\subseteq X$에 대하여, $x\in C$라면 $y\in C$이다.

이는 위상 공간 위의 동치 관계를 이룬다.

위상 공간 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $X$를 콜모고로프 공간이라고 한다.

• $X$의 위상수학적으로 구분 불가능한 두 점은 항상 같다.
• $X$는 시에르핀스키 공간 $S$의 곱공간 $S^{\operatorname {Open} (X)}$의 부분집합과 위상동형이다.^{:84, Theorem 2.3.26} 여기서 $\operatorname {Open} (X)$는 $X$의 열린집합들의 집합이다.

위상 공간 $X$ 위에, 위상수학적 구분 불가능성에 대한 몫공간 $X/{\sim }$을 취할 수 있다. 이를 $X$의 콜모고로프 몫공간(Колмогоров-空間, 영어: Kolmogorov quotient)이라고 하며, 이는 항상 콜모고로프 공간이다. 범주론적으로, 콜모고로프 공간들의 범주 $\operatorname {Kolm}$는 모든 위상 공간들의 범주 $\operatorname {Top}$의 반사 부분 범주이다. 즉, 포함 함자 $I\colon \operatorname {Kolm} \to \operatorname {Top}$의 왼쪽 수반 함자

$Q\colon \operatorname {Top} \to \operatorname {Kolm}$

$Q\dashv I$

가 존재하며, $Q$는 주어진 위상 공간을 그 콜모고로프 몫공간에 대응시킨다.

성질

모든 T₁ 공간은 콜모고로프 공간이다. 모든 차분한 공간은 콜모고로프 공간이다. 즉, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

위상 공간 ⊋ 콜모고로프 공간 ⊋ T₁ 공간 ∪ 차분한 공간

콜모고로프 공간의 부분 공간은 항상 콜모고로프 공간이다. 그러나 콜모고로프 공간의 몫공간은 콜모고로프 공간이 아닐 수 있다.

예

콜모고로프 공간이 아닌 위상 공간

두 개 이상의 원소를 갖는 비이산 공간은 콜모고로프 공간이 아니며, 이 경우 콜모고로프 몫공간은 한원소 공간이다.

실수선 위의 제곱 적분 가능 실수값 함수들의 집합 ${\mathcal {L}}^{2}(\mathbb {R} ;\mathbb {R} )$에 반노름

$\|f\|=\int _{\mathbb {R} }|f|^{2}\,dx$

을 주자. 이는 콜모고로프 공간이 아니다. 예를 들어, 영집합 $N$ 위의 지시 함수 $\chi _{N}$의 경우

$\|\chi _{N}\|=0$

이므로, 서로 구분할 수 없다. 이 경우 콜모고로프 몫공간은 힐베르트 공간 $L^{2}(\mathbb {R} ;\mathbb {R} )$이다.

T₁ 공간이 아닌 콜모고로프 공간

T₁ 공간이 아닌 콜모고로프 공간의 가장 간단한 예는 시에르핀스키 공간이다. 보다 일반적으로, 가환환의 스펙트럼은 일반적으로 T₁공간이 아니지만, 항상 콜모고로프 공간이자 차분한 공간이다.

스콧 위상을 갖춘 부분 순서 집합은 항상 콜모고로프 공간이지만, 일반적으로 (비교 가능한 두 원소가 존재한다면) T₁ 공간이 아니다.

같이 보기

• 차분한 공간

각주

• Querenburg, Boto von (2001). 《Mengentheoretische Topologie》. Springer-Lehrbuch (독일어) 3차 개정 증보판. Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-642-56860-2. ISBN 978-3-540-67790-1. ISSN 0937-7433.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

• “Kolmogorov axiom”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Kolmogorov space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “T_0-space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “T_0-separation axiom”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Definition: Kolmogorov space”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Equivalence of definitions of T0 space”. 《ProofWiki》 (영어).