아이디얼 층

층 이론에서, 아이디얼 층(ideal層, 영어: sheaf of ideals)은 어떤 가환환층의 각 단면환에 아이디얼을 대응시키는 가군층이다. 스킴의 준연접 아이디얼 층은 닫힌 부분 스킴과 대응한다.

정의

환 달린 공간 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$의 아이디얼 층 ${\mathcal {I}}$는 다음 조건을 만족시키는, ${\mathcal {O}}_{X}$의 아벨 군층으로서의 부분층이다.

• 임의의 열린집합 $U\subseteq X$에 대하여, $\Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X})\cdot \Gamma (U;{\mathcal {I}})\subseteq \Gamma (U;{\mathcal {I}})$

성질

스킴 사이의 닫힌 몰입 $f\colon Y\to X$에 대하여, 그 핵 $\ker f$는 ${\mathcal {O}}_{X}$의 준연접 아이디얼 층을 이룬다.^{:115, Proposition II.5.9} 또한, 만약 $X$가 뇌터 스킴이라면 이는 연접 아이디얼 층을 이룬다.

스킴 $X$에 대하여, 다음 두 집합 사이에 표준적인 일대일 대응이 존재한다.^{:115, Proposition II.5.9}

• $X$의 닫힌 부분 스킴들의 집합
• $X$의 준연접 아이디얼 층의 집합

구체적으로, 닫힌 부분 스킴 $f\colon Y\to X$에 대응하는 아이디얼 층은 $\ker f^{\#}$이다. 반대로, 준연접 아이디얼 층 ${\mathcal {I}}$에 대응하는 닫힌 부분 스킴은 ${\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}}$의 지지집합

$\operatorname {supp} {\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}}=\{x\in X\colon ({\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}})_{x}\neq 0\}$

이다. 즉, 줄기가 0인 점들의 부분 집합이다. 그렇다면 $(\operatorname {supp} {\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}},{\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}})$는 $X$의 닫힌 부분 스킴을 이룬다.

예

스킴 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$에서, 어떤 아핀 열린 덮개에서 구조층의 영근기로 구성된 아이디얼 층 ${\mathcal {J}}$를 생각할 수 있다. 이는 항상 준연접층이며, 이에 대응하는 닫힌 부분 스킴은 $X_{\operatorname {red} }$이다. 이는 항상 축소 스킴이며, $X$와 위상 공간으로서 동형이지만, 그 층 구조는 다를 수 있다.

외부 링크

• “Sheaf of ideals”. 《nLab》 (영어). 
• “Defining sheaf”. 《nLab》 (영어).