집합론 에서 이름 (영어 : name )은 강제법 에 등장하는, 집합 의 개념의 일종의 일반화인 누적 위계 이다. 집합의 경우 무언가가 집합의 원소인지 여부는 참 또는 거짓이지만, 무언가가 이름의 원소인지 여부는 보다 일반적인 원순서 집합 또는 완비 불 대수 의 원소에 따라 나타내어진다.
임의의 집합
X
{\displaystyle X}
Q
:
S
↦
P
(
S
×
X
)
{\displaystyle Q\colon S\mapsto {\mathcal {P}}(S\times X)}
에 대한 누적 위계 를
X
{\displaystyle X}
이름 위계 (영어 : hierarchy of
X
{\displaystyle X}
)라고 하며,[ 1] :188, Definition VII.2.5
Name
X
,
α
{\displaystyle \operatorname {Name} _{X,\alpha }}
강제법 에 핵심적으로 사용된다.
임의의 두 이름
σ
,
τ
∈
Name
X
{\displaystyle \sigma ,\tau \in \operatorname {Name} _{X}}
σ
∈
τ
{\displaystyle \sigma \in \tau }
X
{\displaystyle X}
{
x
∈
X
:
(
σ
,
x
)
∈
τ
}
{\displaystyle \{x\in X\colon (\sigma ,x)\in \tau \}}
즉, 이 경우 참·거짓 여부가 (고전 논리의) 2원소 불 대수
{
⊤
,
⊥
}
{\displaystyle \{\top ,\bot \}}
불 대수
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}
임의의 순서수
α
{\displaystyle \alpha }
dom
:
Name
X
,
α
→
P
(
Name
X
,
α
)
{\displaystyle \operatorname {dom} \colon \operatorname {Name} _{X,\alpha }\to {\mathcal {P}}(\operatorname {Name} _{X,\alpha })}
dom
(
τ
)
=
{
σ
:
(
σ
,
x
)
∈
X
}
{\displaystyle \operatorname {dom} (\tau )=\{\sigma \colon (\sigma ,x)\in X\}}
원순서 집합
(
X
,
≲
)
{\displaystyle (X,\lesssim )}
P
{\displaystyle P}
τ
{\displaystyle \tau }
f
:
dom
τ
→
P
(
X
)
{\displaystyle f\colon \operatorname {dom} \tau \to {\mathcal {P}}(X)}
치역 의 모든 원소가
P
{\displaystyle P}
강상향 반사슬 이라고 하자. 이 경우, 다음과 같은 이름을 구성할 수 있다.
σ
=
{
(
τ
′
,
x
)
:
τ
′
∈
dom
τ
,
x
∈
f
(
τ
′
)
}
{\displaystyle \sigma =\{(\tau ',x)\colon \tau '\in \operatorname {dom} \tau ,\;x\in f(\tau ')\}}
이러한 꼴의 이름을
τ
{\displaystyle \tau }
좋은 이름 (영어 : nice name )이라고 한다.[ 1] :208, Definition VII.5.11
특히,
τ
{\displaystyle \tau }
σ
{\displaystyle \sigma }
dom
σ
⊆
dom
τ
{\displaystyle \operatorname {dom} \sigma \subseteq \operatorname {dom} \tau }
임의의 순서수
α
{\displaystyle \alpha }
Name
−
,
α
:
Set
→
Set
{\displaystyle \operatorname {Name} _{-,\alpha }\colon \operatorname {Set} \to \operatorname {Set} }
함자 를 이룬다. 구체적으로, 임의의 함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
Name
f
,
α
:
N
↦
{
(
Name
f
,
β
(
a
)
,
f
(
x
)
)
:
(
a
,
x
)
∈
N
,
a
∈
Name
X
,
β
,
β
<
α
}
{\displaystyle \operatorname {Name} _{f,\alpha }\colon N\mapsto \{\left(\operatorname {Name} _{f,\beta }(a),f(x)\right)\colon (a,x)\in N,\;a\in \operatorname {Name} _{X,\beta },\;\beta <\alpha \}}
이다.
보다 일반적으로,
Rel
{\displaystyle \operatorname {Rel} }
이항 관계 의 범주 일 때, 다음과 같은 함자가 존재한다.
Name
−
,
α
:
Rel
→
Set
{\displaystyle \operatorname {Name} _{-,\alpha }\colon \operatorname {Rel} \to \operatorname {Set} }
Name
R
,
α
:
σ
↦
{
(
Name
R
,
β
(
τ
)
,
y
)
:
(
τ
,
x
)
∈
σ
,
(
x
,
y
)
∈
R
}
{\displaystyle \operatorname {Name} _{R,\alpha }\colon \sigma \mapsto \{\left(\operatorname {Name} _{R,\beta }(\tau ),y\right)\colon (\tau ,x)\in \sigma ,\;(x,y)\in R\}}
임의의 부분 집합
S
⊆
X
{\displaystyle S\subseteq X}
한원소 집합
{
∙
}
{\displaystyle \{\bullet \}}
R
S
{\displaystyle R_{S}}
(
x
,
∙
)
∈
R
S
⟺
x
∈
S
{\displaystyle (x,\bullet )\in R_{S}\iff x\in S}
그렇다면, 함수
Name
R
S
:
Name
X
→
Name
{
∙
}
≅
V
{\displaystyle \operatorname {Name} _{R_{S}}\colon \operatorname {Name} _{X}\to \operatorname {Name} _{\{\bullet \}}\cong V}
를 생각하자. 이를
X
{\displaystyle X}
S
{\displaystyle S}
해석 이라고 하며,
val
S
:
Name
X
→
V
{\displaystyle \operatorname {val} _{S}\colon \operatorname {Name} _{X}\to V}
로 표기한다.[ 1] :189, Definition VII.2.7
강제법 에서,
val
S
(
u
)
{\displaystyle \operatorname {val} _{S}(u)}
포괄적 순서 아이디얼
S
{\displaystyle S}
이름의 개념은 ZFC 의 표준 추이적 모형 에 대하여 절대적 이다.[ 1] :188, §VII.2 ZFC 의 표준 추이적 모형
M
{\displaystyle M}
X
∈
M
{\displaystyle X\in M}
τ
∈
M
{\displaystyle \tau \in M}
(
M
⊨
(
τ
∈
Name
X
)
)
⟺
τ
∈
Name
X
{\displaystyle \left(M\models (\tau \in \operatorname {Name} _{X})\right)\iff \tau \in \operatorname {Name} _{X}}
다시 말해,
(
Name
X
)
M
=
Name
X
∩
M
{\displaystyle (\operatorname {Name} _{X})^{M}=\operatorname {Name} _{X}\cap M}
절대적 이다.[ 1]
ZFC 의 표준 추이적 모형
M
{\displaystyle M}
원순서 집합
X
∈
M
{\displaystyle X\in M}
μ
,
σ
∈
M
∩
Name
X
{\displaystyle \mu ,\sigma \in M\cap \operatorname {Name} _{X}}
σ
{\displaystyle \sigma }
τ
{\displaystyle \tau }
∀
x
∈
X
:
x
⊩
(
μ
⊆
σ
⟹
μ
=
τ
)
{\displaystyle \forall x\in X\colon x\Vdash (\mu \subseteq \sigma \implies \mu =\tau )}
다시 말해, 임의의
X
{\displaystyle X}
포괄적 순서 아이디얼
G
{\displaystyle G}
σ
∈
Name
X
∩
M
{\displaystyle \sigma \in \operatorname {Name} _{X}\cap M}
S
∈
P
(
val
G
(
σ
)
)
∩
M
[
G
]
{\displaystyle S\in {\mathcal {P}}(\operatorname {val} _{G}(\sigma ))\cap M[G]}
val
G
(
τ
)
=
S
{\displaystyle \operatorname {val} _{G}(\tau )=S}
σ
{\displaystyle \sigma }
τ
{\displaystyle \tau }
τ
{\displaystyle \tau }
σ
{\displaystyle \sigma }
val
G
(
τ
)
⊆
val
G
(
σ
)
{\displaystyle \operatorname {val} _{G}(\tau )\subseteq \operatorname {val} _{G}(\sigma )}
[ 1] :209
![{\displaystyle S\in {\mathcal {P}}(\operatorname {val} _{G}(\sigma ))\cap M[G]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5a1ba74d069279e41baea971bed50dbac870545)
