벡터 퍼텐셜

벡터 퍼텐셜(vector potential)은 자기장에 대하여 정의되는 위치 함수이다. 이를 공간에 대하여 회전 미분하면 자기장이 얻어진다. 즉, 그 회전이 자기장인 벡터장이다. 전기장의 퍼텐셜인 전위에 대응되는 값으로, 벡터 퍼텐셜과 전위는 상대성 이론에서 전자기 퍼텐셜 사차원 벡터를 이룬다. 기호는 라틴 대문자 A. 국제 단위는 테슬라 미터 (T · m) 또는 웨버 매 미터 (Wb/m)이다.

정의

가우스 자기 법칙에 따르면 자기장 $\mathbf {B}$의 발산은 항상 0이 된다. 즉,

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$.

그 발산이 0인 벡터장은 (약간의 수학적 조건을 만족하면) 항상 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.

$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$.

여기서 $\nabla \times$는 회전 연산자이고, $\mathbf {A}$는 벡터 퍼텐셜이다. (다만, 이 조건을 만족하는 벡터장 $\mathbf {A}$는 유일하지 않다.)

전기장과 자기장의 표현

자기장$\mathbf {B}$의 시간에 따른 변화량이 없을 때 전기장 $\mathbf {E}$는 스칼라 퍼텐셜의 기울기만으로 나타낼 수 있다. 그 이유는 자기장의 시간에 따른 변화가 없을 경우 패러데이 법칙에 의하여 전기장의 회전이 0이 되기 때문이다. 하지만 자기장이 시간에 따라 변화하는 경우, 전기장을 퍼텐셜로 표현할 때 스칼라 퍼텐셜로만은 표현할 수 없고 벡터 퍼텐셜에 의한 효과가 추가된다.

i) $\nabla \times \mathbf {E} =0\Rightarrow \mathbf {E} =-\nabla V$

ii) $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\Rightarrow \mathbf {E} =-\nabla V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$

게이지 변환

위 두 방정식을 만족하는 벡터 퍼텐셜은 유일하지 않으며 전기장과 자기장을 변화시키기 않는 범위 내에서 변화시킬 수 있다. 단, 주의해야 할 것은 전기장과 자기장을 변화시키지 않는 범위 내에서 벡터 퍼텐셜을 변화시키려면 스칼라 퍼텐셜 V까지 같이 변화시켜야 한다는 것이다. 전기장과 자기장을 변화시키지 않으면서 두 퍼텐셜을 변화시키는 과정을 게이지 변환(gauge transformation)이라고 부른다.

$\mathbf {A'} =\mathbf {A} +\nabla \lambda$

$V'=V-{\frac {\partial \lambda }{\partial t}}$

위 두 식의 $\lambda$는 임의의 스칼라 함수이며 게이지 함수라고 부른다. 이 게이지를 바꾸어가며 두 퍼텐셜을 바꿀 수 있다. 흔히 쓰이는 게이지로는 쿨롱 게이지(Coulomb gauge)와 로렌츠 게이지 등이 있다.

쿨롱 게이지

쿨롱 게이지에서는 벡터 퍼텐셜의 발산이 0인 조건을 추가하여 벡터 퍼텐셜을 정한다. 스칼라 퍼텐셜이 푸아송 방정식을 만족하기 때문에 정전기학에서 주로 쓰이는 게이지이다.

$\nabla \cdot \mathbf {A} =0$

$\nabla ^{2}V=-{\frac {\rho }{\epsilon }}$

로렌츠 게이지

로렌츠 게이지에서는 벡터 퍼텐셜의 발산이 다음과 같은 관계를 만족하도록 한다. 전기장과 자기장이 시간에 따라 변화하는 일반적인 상황에서 주로 쓰이는 게이지이다.

$\nabla \cdot \mathbf {A} =-\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial V}{\partial t}}$

로렌츠 게이지 아래에서 맥스웰 방정식을 정리하면 두 퍼텐셜이 다음과 같은 두 방정식을 만족함을 알 수 있다.

$\nabla ^{2}\mathbf {A} -\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J}$

$\nabla ^{2}V-\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\epsilon _{o}}}$

스칼라 퍼텐셜과 벡터 퍼텐셜에 관련된 위 두 방정식의 해는 다음과 같다.

$V(\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r'} ,t_{r})}{|\mathbf {r-r'} |}}d\tau '$

$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r'} ,t_{r})}{|\mathbf {r-r'} |}}d\tau '$

$t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {r-r'} |}{c}}$

$t_{r}$는 전기장과 자기장을 만드는 근원 역할을 하는 전하와 전류로부터 거리를 고려한 시간으로서 지연 시간(retarded time)이라고 부른다. 지연 시간으로 계산된 퍼텐셜을 지연 퍼텐셜이라고 부른다.

같이 보기

• 전기 퍼텐셜 (전위)
• 아로노프-봄 효과
• 스토크스의 정리