다음이 주어졌다고 하자.
매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
리 군
G
{\displaystyle G}
G
{\displaystyle G}
-매끄러운 주다발
P
↠
M
{\displaystyle P\twoheadrightarrow M}
그렇다면,
P
{\displaystyle P}
의 게이지 변환 은
P
{\displaystyle P}
의 자기 동형 사상 이다. 즉, 매끄러운 함수
ϕ
∈
C
∞
(
P
,
G
)
{\displaystyle \phi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(P,G)}
가운데, 등변 함수 조건
ϕ
(
p
⋅
g
)
=
g
−
1
ϕ
(
p
)
g
∀
(
p
,
g
)
∈
P
×
G
{\displaystyle \phi (p\cdot g)=g^{-1}\phi (p)g\qquad \forall (p,g)\in P\times G}
을 만족시키는 것이다.[ 2] :539, (2.1) 즉, 다음과 같은 가환 그림이 성립한다.
P
×
G
→
(
⋅
)
P
(
ϕ
,
id
)
↓
(
ϕ
,
id
)
ϕ
↓
ϕ
G
×
G
→
(
h
,
g
)
↦
g
−
1
h
g
G
{\displaystyle {\begin{matrix}P\times G&{\overset {(\cdot )}{\to }}&P\\{\scriptstyle \!\!\!\!\!\!(\phi ,\operatorname {id} )}\downarrow {\scriptstyle \color {White}(\phi ,\operatorname {id} )\!\!\!\!\!\!}&&{\color {White}\scriptstyle \!\!\!\!\!\!\phi }\downarrow {\scriptstyle \phi \!\!\!\!\!\!}\\G\times G&{\underset {\!\!\!\!\!\!\!\!\!(h,g)\mapsto g^{-1}hg\!\!\!\!\!\!\!\!\!}{\to }}&G\end{matrix}}}
두 게이지 변환
ϕ
,
χ
{\displaystyle \phi ,\chi }
는 다음과 같이 점별 곱셈으로 곱할 수 있다.
(
ϕ
χ
)
(
p
)
=
ϕ
(
p
)
χ
(
p
)
{\displaystyle (\phi \chi )(p)=\phi (p)\chi (p)}
그렇다면, 게이지 변환들의 집합은 위상군 을 이룬다. 이를 게이지 변환군 이라고 한다.
다음이 주어졌다고 하자.
매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
리 군
G
{\displaystyle G}
G
{\displaystyle G}
-매끄러운 주다발
P
↠
M
{\displaystyle P\twoheadrightarrow M}
그렇다면, 연관 다발
Ad
(
P
)
=
P
×
G
G
{\displaystyle \operatorname {Ad} (P)=P\times _{G}G}
을 취할 수 있다. 여기서
G
{\displaystyle G}
의, 스스로 위의 왼쪽 군 작용 은 켤레
g
⋅
h
=
g
h
g
−
1
{\displaystyle g\cdot h=ghg^{-1}}
이다.
이 올다발 의 매끄러운 단면
ϕ
∈
Γ
∞
(
Ad
(
P
)
)
{\displaystyle \phi \in \Gamma ^{\infty }(\operatorname {Ad} (P))}
을
P
{\displaystyle P}
의 게이지 변환 이라고 한다.
이 정의는 함수로서의 정의와 동치이다.[ 2] :539, §2
게이지 변환군
Aut
(
P
)
=
Γ
∞
(
Ad
(
P
)
)
{\displaystyle \operatorname {Aut} (P)=\Gamma ^{\infty }(\operatorname {Ad} (P))}
에 대응하는 실수 리 대수 는 딸림표현 연관 벡터 다발
ad
(
P
)
=
P
×
G
g
{\displaystyle \operatorname {ad} (P)=P\times _{G}{\mathfrak {g}}}
의 매끄러운 단면
Γ
∞
(
ad
(
G
)
)
{\displaystyle \Gamma ^{\infty }(\operatorname {ad} (G))}
의 실수 벡터 공간 이다. 이 경우,
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
의 리 괄호 는
G
{\displaystyle G}
의 딸림표현 작용에 공변이므로,
[
ad
(
g
)
x
,
ad
(
g
)
y
]
=
ad
(
[
x
,
y
]
)
{\displaystyle [\operatorname {ad} (g)x,\operatorname {ad} (g)y]=\operatorname {ad} ([x,y])}
이는
Γ
∞
(
ad
(
G
)
)
{\displaystyle \Gamma ^{\infty }(\operatorname {ad} (G))}
위에 점별로 잘 정의되며, 이는 실수 리 대수 를 이룬다. 그 원소는 무한소 게이지 변환 (영어 : infinitesimal gauge transformation )으로 해석될 수 있다.
게이지 변환군
Aut
(
P
)
{\displaystyle \operatorname {Aut} (P)}
는 위상군 이며, 그 연결 성분 의 군
π
0
(
Aut
(
P
)
)
=
Aut
(
P
)
Aut
0
(
P
)
{\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {Aut} (P))={\frac {\operatorname {Aut} (P)}{\operatorname {Aut} _{0}(P)}}}
을 정의할 수 있다. 이를 큰 게이지 변환 (영어 : large gauge transformation )의 군이라고 한다. 반면, 항등원을 포함하는 연결 성분
Aut
0
(
P
)
{\displaystyle \operatorname {Aut} _{0}(P)}
의 원소를 작은 게이지 변환 (영어 : small gauge transformation )이라고 한다.
임의의
M
{\displaystyle M}
위의
G
{\displaystyle G}
의 유한 차원 실수 표현
G
→
GL
(
V
)
{\displaystyle G\to \operatorname {GL} (V)}
이 주어졌을 때, 연관 벡터 다발
E
=
P
×
G
V
{\displaystyle E=P\times _{G}V}
의 매끄러운 단면 의 공간
Γ
∞
(
E
)
{\displaystyle \Gamma ^{\infty }(E)}
를 생각할 수 있다. 게이지 변환군
Aut
(
P
)
{\displaystyle \operatorname {Aut} (P)}
은 그 위에 다음과 같은 표준적인 왼쪽 군 작용 을 갖는다.
(
ϕ
⋅
s
)
(
x
)
=
q
(
p
,
ϕ
(
p
)
v
)
(
s
(
x
)
=
q
(
p
,
v
)
,
(
p
,
v
)
∈
P
×
V
)
{\displaystyle (\phi \cdot s)(x)=q(p,\phi (p)v)\qquad (s(x)=q(p,v),\;(p,v)\in P\times V)}
여기서
q
:
P
×
V
↠
P
×
G
V
=
E
{\displaystyle q\colon P\times V\twoheadrightarrow P\times _{G}V=E}
는 연관 벡터 다발 의 정의에 등장하는 전사 함수 이다.
매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
위의
G
{\displaystyle G}
-주다발
P
↠
M
{\displaystyle P\twoheadrightarrow M}
위의 주접속
A
∈
Ω
1
(
P
;
g
)
{\displaystyle A\in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {g}})}
이 주어졌다고 하자.
P
{\displaystyle P}
의 게이지 변환
ϕ
∈
Γ
(
Ad
(
P
)
)
{\displaystyle \phi \in \Gamma (\operatorname {Ad} (P))}
는 주다발의 자기 동형
ϕ
#
:
P
→
P
{\displaystyle \phi _{\#}\colon P\to P}
ϕ
#
:
p
↦
p
⋅
ϕ
(
p
)
{\displaystyle \phi _{\#}\colon p\mapsto p\cdot \phi (p)}
를 정의하며, 따라서 주접속 위에도
ϕ
⋅
A
=
ϕ
#
∗
A
{\displaystyle \phi \cdot A=\phi _{\#}^{*}A}
와 같이 작용한다.
게이지 변환군은 주접속
A
∈
Ω
1
(
P
;
g
)
{\displaystyle A\in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {g}})}
의 곡률
F
∈
Ω
2
(
P
;
g
)
{\displaystyle F\in \Omega ^{2}(P;{\mathfrak {g}})}
위에 마찬가지로 다음과 같이 작용한다.
F
↦
ϕ
#
∗
F
{\displaystyle F\mapsto \phi _{\#}^{*}F}
반면, 예를 들어, 킬링 형식
B
(
−
,
−
)
{\displaystyle B(-,-)}
및 준 리만 계량
g
{\displaystyle g}
에 대하여, 양-밀스 라그랑지언
B
(
F
,
F
#
)
∈
Ω
0
(
M
)
{\displaystyle B(F,F^{\#})\in \Omega ^{0}(M)}
는 게이지 불변이다.
매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
위의 주다발
P
{\displaystyle P}
를 생각하자.
어떤 작용
S
{\displaystyle S}
가 게이지 변환
ϕ
∈
Γ
∞
(
Ad
(
P
)
)
{\displaystyle \phi \in \Gamma ^{\infty }(\operatorname {Ad} (P))}
에 대하여 다음과 같은 꼴로 변환한다고 하자.
1
2
π
S
↦
1
2
π
S
+
∑
i
∫
M
F
i
∧
ϕ
∗
α
i
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}S\mapsto {\frac {1}{2\pi }}S+\sum _{i}\int _{M}F_{i}\wedge \phi ^{*}\alpha _{i}}
α
i
∈
Ω
d
i
(
G
)
{\displaystyle \alpha _{i}\in \Omega ^{d_{i}}(G)}
,
(
(
−
)
g
)
∗
α
i
=
α
i
{\displaystyle ((-)^{g})^{*}\alpha _{i}=\alpha _{i}}
(
(
−
)
g
:
G
→
G
,
h
↦
g
h
g
−
1
{\displaystyle (-)^{g}\colon G\to G,\;h\mapsto ghg^{-1}}
)
d
α
i
=
0
{\displaystyle \mathrm {d} \alpha _{i}=0}
F
i
∈
Ω
n
−
d
i
(
M
)
{\displaystyle F_{i}\in \Omega ^{n-d_{i}}(M)}
d
F
i
=
0
{\displaystyle \mathrm {d} F_{i}=0}
여기서
α
i
{\displaystyle \alpha _{i}}
의 당김 은 켤레 변환 불변성에 대하여
Ad
(
P
)
{\displaystyle \operatorname {Ad} (P)}
의 임의의 국소 자명화에 상관없이 잘 정의된다.
이론이 양자장론 에 따라 잘 정의되려면 (즉,
exp
(
i
S
)
{\displaystyle \exp(\mathrm {i} S)}
가 게이지 불변이려면), 항상
∑
i
∫
M
F
i
∧
g
∗
α
i
∈
Z
{\displaystyle \sum _{i}\int _{M}F_{i}\wedge g^{*}\alpha _{i}\in \mathbb {Z} }
이어야 한다.
만약
g
{\displaystyle g}
가 작은 게이지 변환이라면,
α
i
{\displaystyle \alpha _{i}}
가 완전 미분 형식 이 된다. 즉,
α
i
=
d
β
i
{\displaystyle \alpha _{i}=\mathrm {d} \beta _{i}}
라고 하면,
1
2
π
S
↦
1
2
π
S
+
∑
i
∫
M
F
i
∧
ϕ
∗
d
β
i
=
1
2
π
S
+
∑
i
(
−
)
(
n
−
d
i
)
∫
M
d
(
F
i
∧
ϕ
∗
β
i
)
=
1
2
π
S
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}S\mapsto {\frac {1}{2\pi }}S+\sum _{i}\int _{M}\mathrm {F} _{i}\wedge \phi ^{*}\mathrm {d} \beta _{i}={\frac {1}{2\pi }}S+\sum _{i}(-)^{(n-d_{i})}\int _{M}\mathrm {d} (F_{i}\wedge \phi ^{*}\beta _{i})={\frac {1}{2\pi }}S}
가 되어, 이 작용은 작은 게이지 변환에 대하여 불변임을 알 수 있다. 그러나 이는 일반적으로 큰 게이지 변환에 대하여 불변이 아닐 수 있다. 즉, 만약
α
i
{\displaystyle \alpha _{i}}
가 자명하지 않은 코호몰로지류를 갖는다면, 이는 이론에서
[
M
]
⌢
(
[
F
i
]
⌣
H
d
i
(
M
;
R
)
)
∈
Z
{\displaystyle [M]\frown ([F_{i}]\smile \operatorname {H} ^{d_{i}}(M;\mathbb {R} ))\in \mathbb {Z} }
의 꼴의 제약을 유도한다. 이는 디랙 양자화 의 한 경우이다. (여기서
[
M
]
∈
H
n
(
M
;
R
)
{\displaystyle [M]\in \operatorname {H} _{n}(M;\mathbb {R} )}
는 실수 계수 기본류 이다.)
특히, 만약
d
i
=
n
{\displaystyle d_{i}=n}
일 경우, 이는
F
i
∈
Z
{\displaystyle F_{i}\in \mathbb {Z} }
를 유도한다. 이 경우, 이 값
F
i
∈
Z
{\displaystyle F_{i}\in \mathbb {Z} }
를 레벨 (영어 : level )이라고 한다.
예를 들어, 아벨 또는 비아벨 천-사이먼스 이론 이 이와 같은 경우에 해당한다.[ 3]
P
=
M
×
G
{\displaystyle P=M\times G}
가 자명한 주다발 이라고 하자 (즉, 대역적 단면이 주어졌다고 하자). 이 경우, 표준적으로
Ad
(
P
)
=
M
×
G
{\displaystyle \operatorname {Ad} (P)=M\times G}
가 되며, 게이지 변환은 단순히 매끄러운 함수
M
→
G
{\displaystyle M\to G}
가 된다.
함수를 통한 정의:
만약
P
=
M
×
G
{\displaystyle P=M\times G}
가 자명한 주다발 이라면, 매끄러운 함수
ϕ
∈
C
∞
(
M
,
G
)
{\displaystyle \phi \in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,G)}
에 대응하는 게이지 변환은
ϕ
(
m
,
g
)
=
g
−
1
ϕ
(
m
)
g
∀
(
m
,
g
)
∈
P
=
M
×
G
{\displaystyle \phi (m,g)=g^{-1}\phi (m)g\qquad \forall (m,g)\in P=M\times G}
이다.
연관 다발을 통한 정의:
만약
P
=
M
×
G
{\displaystyle P=M\times G}
가 자명한 주다발이라면,
Ad
(
P
)
=
M
×
G
{\displaystyle \operatorname {Ad} (P)=M\times G}
이다. 구체적으로,
Ad
(
P
)
{\displaystyle \operatorname {Ad} (P)}
의 올을
G
×
G
G
=
G
×
G
(
g
k
,
h
)
∼
(
g
,
k
h
k
−
1
)
{\displaystyle G\times _{G}G={\frac {G\times G}{(gk,h)\sim (g,khk^{-1})}}}
로 정의하면, 모든 동치류 는
(
g
,
h
)
∼
(
1
,
g
h
g
−
1
)
{\displaystyle (g,h)\sim (1,ghg^{-1})}
의 동치 관계 아래
(
1
,
g
)
{\displaystyle (1,g)}
의 꼴의 대표원을 갖는다.
만약
M
=
S
n
{\displaystyle M=\mathbb {S} ^{n}}
이 초구 이며,
P
=
M
×
G
{\displaystyle P=M\times G}
가 자명한 주다발이라면, 큰 게이지 변환의 군은 호모토피 군
π
n
(
G
)
{\displaystyle \pi _{n}(G)}
과 집합 으로서 같다. 그러나 호모토피 군 으로서의 군 연산은 큰 게이지 변환의 군으로서의 군 연산과 일반적으로 다르다.
특히, 만약
M
=
S
3
{\displaystyle M=\mathbb {S} ^{3}}
이며,
G
{\displaystyle G}
가 콤팩트 단순 리 군 일 경우,
π
3
(
G
)
=
Cyc
(
∞
)
{\displaystyle \pi _{3}(G)=\operatorname {Cyc} (\infty )}
(무한 순환군 )이 된다.
만약
G
{\displaystyle G}
가 아벨 리 군 이라고 하고, 이를 올로 갖는 매끄러운 주다발
P
{\displaystyle P}
를 생각하자. 이 경우,
G
{\displaystyle G}
위의 켤레 작용이 자명하므로, 표준적으로
Ad
(
P
)
=
P
×
G
G
=
M
×
G
{\displaystyle \operatorname {Ad} (P)=P\times _{G}G=M\times G}
가 되며, 게이지 변환은 단순히 매끄러운 함수
M
→
G
{\displaystyle M\to G}
가 된다. 마찬가지로, 무한소 게이지 변환은 리 대수 값 미분 형식
Ω
1
(
M
)
⊗
R
l
i
e
(
G
)
{\displaystyle \Omega ^{1}(M)\otimes _{\mathbb {R} }{\mathfrak {lie}}(G)}
가 된다.
이 경우, 주접속 의 곡률은 사실
M
{\displaystyle M}
위의 리 대수 값 미분 형식
F
∈
Ω
2
(
M
)
⊗
R
l
i
e
(
G
)
{\displaystyle F\in \Omega ^{2}(M)\otimes _{\mathbb {R} }{\mathfrak {lie}}(G)}
가 되며, 이는 게이지 불변이다.