공종도

집합론에서 공종도(共終度, 영어: cofinality)는 주어진 원순서 집합의 공종 집합의 최소 크기이다. 이는 원순서 집합의 일종의 복잡도를 나타낸다.

정의

임의의 원순서 집합 $(X,\lesssim )$에 대하여, $X$의 공종도 $\operatorname {cf} X$는 $X$의 공종 집합들의 크기들의 최솟값이다.^{:198, §1} 마찬가지로, $X$의 공시작도 $\operatorname {cf} (X^{\operatorname {op} })$는 $X$의 공시작 집합들의 크기들의 최솟값이다.

순서수의 공종도

정렬 전순서 집합의 부분 집합은 항상 정렬 전순서 집합이다. 이 경우, 순서수 $\alpha$의 공종 집합들의 순서형들의 최솟값은 항상 기수이며, 이는 $\alpha$의 공종도와 일치한다.^{:32, Definition I.10.30}

기수의 공종도

기수 $\kappa$의 공종도 $\operatorname {cf} \kappa$는 순서수로서의 공종도이다.

무한 기수 $\kappa$의 공종도는 다음과 같이 직접적으로 정의할 수도 있다.

$\operatorname {cf} \kappa =\min \left\{|I|\colon \kappa =\sum _{i\in I}\lambda _{i},\;\forall i\colon \lambda _{i}<\kappa \right\}$

즉, $\kappa$를 그보다 더 작은 기수들의 합으로 나타낼 때, 합의 항들의 수의 최솟값이다.

순서수 $\alpha$에 대하여 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 순서수를 정칙 기수(正則基數, 영어: regular cardinal)라고 한다.

• 공종도 함수의 고정점이다. 즉, $\alpha =\operatorname {cf} \alpha$이다.^{:198, §1:33, Definition I.10.34}
• 임의의 순서수들의 집합 $S\subseteq \operatorname {Ord}$에 대하여, $\textstyle \alpha =\sup _{\operatorname {Ord} }S$라면 (즉, $S\subseteq \alpha$가 공종 집합이라면) $\alpha$는 $(S,\leq )$와 순서 동형이다.
• $\alpha$는 기수이며, $\alpha \neq 2$이며, $\alpha$개 미만의, $\alpha$ 미만 기수들의 기수 합으로 나타낼 수 없다. 즉, 임의의 기수의 집합 $(\kappa _{i})_{i\in I}$에 대하여 $\textstyle \alpha \leq \sum _{i\in I}\kappa$라면 $|I|\geq \alpha$이거나, $\kappa _{i}\geq \alpha$인 $i\in I$가 존재한다. (여기서 $\textstyle \sum$은 기수의 합이다.)
• $\alpha \neq 2$는 기수이며, 크기가 $\alpha$ 미만인 집합들의 범주 $\operatorname {Set} _{<\alpha }$는 크기 $\kappa$ 미만의 모든 쌍대 극한을 갖는다.

(일부 문헌에서는 유한 정칙 기수인 0과 1을 정칙 기수로 치지 않는 경우도 있다.) 만약 $\kappa >\operatorname {cf} \kappa$라면, $\kappa$를 특이 기수(特異基數, 영어: singular cardinal)라고 한다. $\kappa <\operatorname {cf} \kappa$는 불가능하다.

성질

공종도 함수는 멱등 함수이다.^{:33, Corollary I.10.33} 즉, 모든 순서수 $\alpha$에 대하여

$\operatorname {cf} \operatorname {cf} \alpha =\operatorname {cf} \alpha$

이다. 즉, $\operatorname {cf} \alpha$는 항상 정칙 기수이다.

임의의 순서수 $\alpha$에 대하여 다음이 성립한다.

$\operatorname {cf} \alpha \leq \alpha$

이는 $\alpha$ 전체가 자명하게 공종 집합이기 때문이다.

임의의 무한 기수 $\kappa$에 대하여 다음이 성립한다. (이는 쾨니그의 정리에 의하여 함의된다.)

$\operatorname {cf} \kappa \leq \kappa <\min \left\{\operatorname {cf} (2^{\kappa }),\kappa ^{\operatorname {cf} (\kappa )}\right\}\leq 2^{\kappa }$

1을 제외한 모든 정칙 기수는 극한 순서수이다.

예

유한 순서수

임의의 양의 자연수 $n>0$의 경우, (따름 순서수이므로) $\operatorname {cf} n=1$이다. 0의 경우 $\operatorname {cf} 0=0$이다. 따라서, 유한 정칙 기수는 0과 1 밖에 없다.

임의의 순서수 $\alpha$에 대하여 다음 두 조건이 동치이다.

• $\operatorname {cf} \alpha =0$
• $\alpha =0$

따름 순서수

임의의 순서수 $\alpha$에 대하여 다음 두 조건이 동치이다.

• $\operatorname {cf} \alpha =1$
• $\alpha$는 따름 순서수이다.

이는 $\{\alpha \}$가 $\alpha +1$의 공종 집합이기 때문이다.

극한 순서수

임의의 극한 순서수 $\lambda$에 대하여,

$\aleph _{\lambda }=\sum _{\alpha <\lambda }\aleph _{\alpha }$

이므로

$\operatorname {cf} \aleph _{\lambda }=\operatorname {cf} \lambda$

이다.

$\operatorname {cf} \aleph _{0}=\aleph _{0}$이다. 또한, 모든 따름 기수는 정칙 기수이므로, 임의의 순서수 $\alpha$에 대하여

$\operatorname {cf} \aleph _{\alpha +1}=\aleph _{\alpha +1}$

이다.

정칙 기수가 아닌 가장 작은 무한 기수는 $\aleph _{\omega }$이며,

$\operatorname {cf} \aleph _{\omega }=\operatorname {cf} \omega =\aleph _{0}$

이다. 반면

$\aleph _{0}<\operatorname {cf} (2^{\aleph _{0}})$

이므로,

$2^{\aleph _{0}}\neq \aleph _{\omega }$

이다. 그러나 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서 $2^{\aleph _{0}}$은 $\aleph _{\omega }$보다 클 수도, 작을 수도 있다.

편의상 선택 공리를 가정하자. 다음과 같은 기수들은 정칙 기수이다.

• $\aleph _{0}$
• 임의의 순서수 $\alpha$에 대하여, $\aleph _{\alpha +1}$
• 임의의 기수 $\kappa$에 대하여, $\operatorname {cf} \kappa$

정렬 전순서 집합이 아닌 경우

실수의 전순서 집합 $\mathbb {R}$의 공종도는 $\operatorname {cf} (\mathbb {R} )=\aleph _{0}$이다. 이는 자연수의 가산 무한 집합 $\mathbb {N} \subseteq \mathbb {R}$이 $\mathbb {R}$의 공종 집합이기 때문이다.

확장된 실수의 전순서 집합 ${\bar {\mathbb {R} }}=[-\infty ,\infty ]$의 공종도는 1이다. 이는 ${\bar {\mathbb {R} }}$가 최대 원소 $\infty$를 갖기 때문이다.

집합 $S$의 진부분 집합들의 멱집합 $\operatorname {Pow} (S)\setminus \{S\}$의 공종도는 $|S|$이다. 이는 공종 집합

$\{S\setminus \{s\}\colon s\in S\}\subseteq \operatorname {Pow} (S)\setminus \{S\}$

이 최소의 공종 집합이기 때문이다.

닫힌 원순서 집합 $(X,\lesssim )$의 공종도는 $X$의 극대 원소들의 동치류들의 수이다.

외부 링크

• “Ordinal number”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Cofinality”. 《nLab》 (영어). 
• “Regular cardinal”. 《nLab》 (영어). 
• “Definition: cofinality”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition: regular cardinal”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition: singular cardinal”. 《ProofWiki》 (영어).