조밀 집합

일반위상수학에서 조밀 집합(稠密集合, 영어: dense set)은 어떤 공간을 ‘조밀하게’ 채우는 부분 집합이다. 즉, 공간 속의 임의의 점을, 조밀 집합에 속하는 점들의 그물의 극한으로 나타낼 수 있다. 예를 들면 유리수의 집합은 실수선의 조밀 집합이다. 왜냐하면, 어떤 실수를 골라도 이에 수렴하는 유리수의 수열을 언제나 생각할 수 있기 때문이다. (그물을 점렬로 대체한 조건은 보다 강한 조건이지만, 제1 가산 공간에서 두 조건은 서로 동치이다.)

정의

위상 공간 $X$ 의 부분 집합 $D\subseteq X$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 조밀 집합이라고 한다.

임의의 열린집합 $U$ 에 대하여, 만약 $U\subseteq X\setminus D$ 라면 $U=\varnothing$ 이다.
임의의 닫힌집합 $C$ 에 대하여, 만약 $D\subseteq C\subseteq X$ 라면 $C=X$ 이다.
$\operatorname {cl} (D)=X$ .^[1]^{:191, §30}^[2]^{:7, §1} 여기서 $\operatorname {cl}$ 은 폐포이다.
$\operatorname {int} (X\setminus D)=\varnothing$ . 여기서 $\operatorname {int}$ 는 내부이다.
모든 $x\in X$ 및 $x$ 의 모든 근방 $U\ni x$ 에 대하여, $D\cap U\neq \varnothing$ .
$X$ 의 모든 점들은 $D$ 의 원소이거나 $D$ 의 극한점이다.^[2]^{:7, §1}

성질

연산에 대한 닫힘

임의의 위상 공간 $X$ 속의 조밀 집합 $D\subseteq X$ 및 $D\subseteq E\subseteq X$ 에 대하여, $E$ 역시 $D$ 의 조밀 집합이다. 다시 말해, 조밀 집합들의 집합족 $\operatorname {Dense} (X)\subseteq \operatorname {Pow} (X)$ 은 $X$ 의 멱집합 $\operatorname {Pow} (X)$ 속의 상집합이다.

특히, 조밀 집합들의 합집합은 조밀 집합이다. 그러나 조밀 집합들의 교집합이 조밀 집합일 필요는 없다. 다만, 임의의 조밀 집합 $D$ 와 조밀 열린집합 $U$ 가 주어졌을 때, 그 교집합 $D\cap U$ 는 조밀 집합이다.

증명:

임의의 열린집합 $V\subseteq X$ 가 주어졌으며, $V\neq \varnothing$ 이라고 하자. 그렇다면 $U$ 가 조밀 열린집합이므로 $U\cap V\neq \varnothing$ 이며, 따라서 $D\cap (U\cap V)\neq \varnothing$ 이다.

특히, 조밀 열린집합들의 족 $\operatorname {Dense} (X)\cap \operatorname {Open} (X)$ 은 유한 교집합에 대하여 닫혀 있어, 멱집합 $\operatorname {Pow} (X)$ 속의 필터를 이룬다.

임의의 두 위상 공간 $X$ , $Y$ 사이의 전사 연속 함수 $f\colon X\to Y$ 가 주어졌을 때, 조밀 집합 $D\subseteq X$ 의 상 $f[D]\subseteq Y$ 역시 조밀 집합이다.

증명:

임의의 $y\in Y$ 에 대하여, $f$ 가 전사 함수이므로 $f(x)=y$ 인 $x\in X$ 가 존재하며, $D$ 가 조밀 집합이므로 $x$ 로 수렴하는 그물 $(x_{i})_{i\in I}\subseteq D$ 가 존재하며, $f$ 가 연속 함수이므로 $f(x_{i})\to f(x)=y$ 이다. 따라서 $f[D]$ 는 $Y$ 의 조밀 집합이다.

조밀성은 추이적이다. 즉, 만약 $X\subseteq Y\subseteq Z$ 이며, $X$ 가 $Y$ 의 조밀 집합이고 $Y$ 가 $Z$ 의 조밀 집합이라면 $X$ 는 $Z$ 의 조밀 집합이다.

증명:

$U\subseteq Z$ 가 $Z$ 의 열린집합이며 $U\subseteq Z\setminus X$ 라고 하자. 그렇다면 $U\cap Y$ 는 $Y$ 의 열린집합이며, $U\cap Y\subseteq Y\setminus X$ 이다. $X$ 가 $Y$ 의 조밀 집합이므로 $U\cap Y=\varnothing$ 이다. 즉, $U\subseteq Z\setminus Y$ 이다. $Y$ 가 $Z$ 의 조밀집합이므로 $U=\varnothing$ 이다.

함의 관계

모든 조밀 열린집합은 조밀한 곳이 없는 집합의 여집합이다. (그러나 그 역은 성립하지 않는다.) 즉, 다음 함의 관계가 성립한다.

조밀 열린집합 ⇒ 조밀한 곳이 없는 집합의 여집합 ⇒ 제1 범주 집합의 여집합 ⇒ 준열린집합

조밀 집합은 연속 함수를 결정한다

임의의 위상 공간 $X$ 와 하우스도르프 공간 $Y$ 및 조밀 집합 $D\subseteq X$ 와 두 연속 함수 $f,g\colon X\to Y$ 가 주어졌다고 하자. 만약 $f\upharpoonright D=g\upharpoonright D$ 라면, $f=g$ 이다. (여기서 $\upharpoonright$ 은 함수의 제한을 뜻한다.)

증명:

임의의 $x\not \in D$ 에 대하여, $f=g$ 임을 보이면 족하다. $D$ 가 조밀 집합이므로, $x$ 로 수렴하는, $D$ 속의 점들로 구성된 그물 $(x_{i})_{i\in I}$ 가 존재한다. $f$ 가 연속 함수이므로

g(x_{i})=f(x_{i})\to f(x)

f(x_{i})=g(x_{i})\to g(x)

이며, $Y$ 가 하우스도르프 공간이므로 그물의 극한은 유일하다. 따라서 $f(x)=g(x)$ 이다.

예

위상 공간 $X$ 는 스스로의 조밀 집합이다. 반면, $X$ 전체가 아닌 $X$ 의 모든 닫힌집합은 $X$ 의 조밀 집합이 아니다.

유한 부분 집합의 여집합

자기 조밀 T₁ 공간 속에서, 임의의 유한 부분 집합의 여집합은 조밀 열린집합이다.

증명:

조밀 열린집합들은 교집합에 대하여 닫혀 있으므로, 임의의 $x\in X$ 에 대하여 $X\setminus \{x\}$ 가 조밀 열린집합임을 보이면 족하다.

$X\setminus \{x\}$ 는 T₁ 조건에 의하여 열린집합이다.
$X\setminus \{x\}$ 는 자기 조밀 공간 조건에 의하여 닫힌집합이 아니다. 따라서 $\operatorname {cl} (X\setminus \{x\})=X$ 이며, $X\setminus \{x\}$ 는 조밀 집합이다.

이산 공간

위상 공간 $X$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

이산 공간이다.
정확히 1개의 조밀 집합을 갖는다. (이는 물론 $X$ 전체이다.)

증명:

이산 공간 $X$ 에서 조밀 집합이 $X$ 전체 밖에 없다는 것은 자명하다. 반대로, 위상 공간 $X$ 가 이산 공간이 아니라고 하자. 그렇다면, 열린집합이 아닌 한원소 집합 $\{x\}\subseteq X$ 가 존재한다. 그렇다면, $X\setminus \{x\}$ 는 $X$ 의 조밀 집합이다.

비이산 공간

위상 공간 $X$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

비이산 공간이다.
$X$ 의 공집합이 아닌 모든 부분 집합은 조밀 집합이다.

증명:

비이산 공간 $X$ 에서 공집합이 아닌 모든 부분 집합이 조밀 집합이라는 것은 자명하다. 반대로, $X$ 가 비이산 공간이 아니라고 하자. 즉, 닫힌집합 $\varnothing \neq F\subsetneq X$ 가 존재한다고 하자. 그렇다면 $F$ 는 조밀 집합이 아니다.

실수선의 조밀 집합

실수선 $\mathbb {R}$ 의 부분 집합들을 생각하자.

유리수의 집합 $\mathbb {Q}$ 는 실수선의 조밀 집합이다.
무리수의 집합 $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ 역시 실수선의 조밀 집합이다.
반면, 자연수의 집합 $\mathbb {N}$ , 정수의 집합 $\mathbb {Z}$ 는 $\mathbb {R}$ 의 조밀 집합이 아니다.

임의의 세 실수 $a<b<c$ 에 대하여, $[a,b)\cup (b,c]=[a,c]\setminus \{b\}$ 는 $[a,c]$ 안의 조밀 집합이다.

각주

↑ Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.
↑ ^가 ^나 Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur, Jr. (1978). 《Counterexamples in topology》 (영어) 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-6290-9. ISBN 978-0-387-90312-5. MR 507446. Zbl 0386.54001. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

“Dense set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Dense”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Dense subspace”. 《nLab》 (영어).
“Definition: everywhere dense”. 《ProofWiki》 (영어).

[Munkres-1] Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.

[SS-2] 가 ^나 Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur, Jr. (1978). 《Counterexamples in topology》 (영어) 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-6290-9. ISBN 978-0-387-90312-5. MR 507446. Zbl 0386.54001. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

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