준동형 정리

추상대수학에서 준동형 정리(準同型定理, 영어: homomorphism theorem)는 수학의 여러 분야에서 나타나는 준동형에 관한 기초적인 정리이다. 동형 정리와 밀접한 관련이 있으며, 이를 증명하는 데 이용되기도 한다.

정의

같은 형의 대수 구조 $A$ 와 $B$ 및 그 사이의 준동형 $\phi \colon A\to B$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 $A$ 위에 합동 관계 $\sim _{\phi }$ 를

a\sim _{\phi }a'\iff \phi (a)=\phi (a')\;\forall a,a'\in A

로 정의할 수 있다. $\sim _{\theta }$ 가 $\sim _{\phi }$ 보다 더 고른 $A$ 위의 합동 관계라고 하자. 즉,

a\sim _{\theta }a'\implies a\sim _{\phi }a'

라고 하자. 또한, $\theta \colon A\to A/{\sim }_{\theta }$ 가 자연스러운 몫 준동형이라고 하자. 준동형 정리에 따르면, 다음 명제들이 성립한다.

$\chi \circ \theta =\phi$ 인 준동형 $\chi \colon A/{\sim }_{\theta }\to B$ 가 유일하게 존재한다.
만약 $\phi$ 가 전사 함수라면 $\chi$ 역시 전사 함수이다.
만약 ${\sim }_{\theta }={\sim }_{\phi }$ 라면, $\chi$ 는 단사 함수이다.

이로부터 제1 동형 정리를 따름정리로 얻을 수 있다.

예

이 정리는 보편 대수학의 정리이므로, 임의의 대수 구조에 대하여 성립한다.

군에 대한 형태

군 준동형 $\phi \colon G\to H$ 및 정규 부분군 $K\vartriangleleft G$ 가 있고, $K\leq \ker \phi$ 라고 하자. $\theta \colon G\to G/K$ 가 몫 준동형이라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.^[1]

$\chi \circ \theta =\phi$ 인 군 준동형 $\chi \colon G/K\to H$ 가 유일하게 존재한다.
만약 $\phi$ 가 전사 함수라면 $\chi$ 역시 전사 함수이다.
만약 $K=\ker \phi$ 라면, $\chi$ 는 단사 함수이다.

환에 대한 형태

환 준동형 $\phi \colon R\to S$ 및 $R$ 의 아이디얼 ${\mathfrak {a}}\subset R$ 가 있고, ${\mathfrak {a}}\subset \phi ^{-1}(0)$ 이라고 하자. 또한, $\theta \colon R\to R/{\mathfrak {a}}$ 가 몫 준동형이라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.

$\chi \circ \theta =\phi$ 인 환 준동형 $\chi \colon R/{\mathfrak {a}}\to S$ 가 유일하게 존재한다.
만약 $\phi$ 가 전사 함수라면 $\chi$ 역시 전사 함수이다.
만약 ${\mathfrak {a}}=\phi ^{-1}(0)$ 이라면, $\chi$ 는 단사 함수이다.

가군에 대한 형태

환 $R$ 의 왼쪽 가군 $M,N$ 사이의 가군 준동형 $\phi \colon M\to N$ 및 $M$ 의 부분 가군 $P\subset M$ 가 있고, $P\subset \phi ^{-1}(0)$ 이라고 하자. 또한, $\theta \colon M\to M/P$ 가 몫 준동형이라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.