실수 의 이론에서, 실수의 완비성 (實數-完備性, 영어 : completeness of the real numbers )은 대략 '메꿔질 구멍이 없다'는 의미의, 실수의 핵심적 성질이다. 실수의 연속성 (實數-連續性, 영어 : continuity of real numbers )이라고도 불리는데, 함수의 연속성 과는 다른 개념이다. 공리적으로 정의된 실수에게 있어, 실수의 완비성은 증명할 필요가 없는 공리 이며, 이를 완비성 공리 (完備性公理, 영어 : completeness axiom )라고 한다. 완비성 공리는 순서체 공리와 함께 실수 공리 를 이룬다. 구성적으로 정의된 실수에게 있어, 실수의 완비성은 정리 이며, 이는 서로 다른 실수 모형 으로부터 서로 다른 방법으로 증명된다.
실수의 완비성의 서술 방법은 다양하며, 각기 다른 각도와 강조점이 있다. 상한 공리 또는 최소 상계 공리 (最小上界公理, 영어 : least upper bound axiom )는 가장 자주 사용되는 형태이며, 이에 따르면 실수 부분 집합 이 상계 를 가지면 반드시 상한 을 가진다. 이와 달리, 유리수 는 완비성을 만족하지 못한다. 예를 들어, 제곱이 2보다 작은 유리수들의 집합은 유리수 상계를 갖지만, 유리수 상한을 갖지 못한다.
상한 공리를 비롯한 일부 완비성 공리는 순서체 공리 아래 서로 동치이며, 순서체 공리와 이들 완비성 공리 가운데 하나로부터 실수의 모든 성질들을 유도할 수 있다. 그러나, 일부 완비성 공리는 보다 더 약한 공리이며, 순서체 공리와 이들 가운데 하나로부터 실수의 일부 성질들을 유도할 수 없다. 특히, 아르키메데스 성질 을 유도할 수 없는데, 약한 완비성 공리에 아르키메데스 성질을 추가하여 얻는 공리는 상한 공리와 동치이며, 순서체 공리와 함께 실수의 모든 성질들을 유도할 수 있다.
실수의 완비성 공리들은 다음과 같다. 이들 가운데 일부는 서로 동치이지 않다.
실수 부분 집합
S
⊂
R
{\displaystyle S\subset \mathbb {R} }
상계 는 다음을 만족시키는 실수
u
∈
R
{\displaystyle u\in \mathbb {R} }
임의의
s
∈
S
{\displaystyle s\in S}
s
≤
u
{\displaystyle s\leq u}
실수 부분 집합
S
⊂
R
{\displaystyle S\subset \mathbb {R} }
상한 은 다음 두 조건을 만족시키는 실수
u
∈
R
{\displaystyle u\in \mathbb {R} }
u
{\displaystyle u}
S
{\displaystyle S}
만약
u
′
{\displaystyle u'}
S
{\displaystyle S}
u
≤
u
′
{\displaystyle u\leq u'}
비슷하게, 실수 부분 집합의 하계 와 하한 을 정의할 수 있다.
상한 공리 는 다음과 같은 서로 비슷하며 동등한 방식으로 서술된다.
(상한 공리) 공집합 이 아닌, 상계 를 갖는 실수 부분 집합은 항상 상한 을 갖는다.
(하한 공리) 공집합 이 아닌, 하계 를 갖는 실수 부분 집합은 항상 하한 을 갖는다.
공집합 이 아닌 유계 실수 부분 집합은 항상 상한과 하한 을 갖는다.
상한 공리 가정 아래, 실수 부분 집합
S
⊂
R
{\displaystyle S\subset \mathbb {R} }
−
sup
(
−
S
)
{\displaystyle -\sup(-S)}
는
S
{\displaystyle S}
비슷하게, 하한 공리 가정 아래 상한 공리를 증명할 수 있다.
단조 수렴 정리 는 다음과 같은 서로 비슷하며 동등한 방식으로 서술된다.
바로 위 증명과 비슷하게, 단조 감소하며 하계를 갖는 수열
(
a
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
(
−
a
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (-a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
닫힌구간 의 열
(
I
n
=
[
a
n
,
b
n
]
)
n
∈
N
(
a
n
≤
b
n
∀
n
∈
N
)
{\displaystyle (I_{n}=[a_{n},b_{n}])_{n\in \mathbb {N} }\qquad (a_{n}\leq b_{n}\forall n\in \mathbb {N} )}
이
I
1
⊃
I
2
⊃
I
3
⊃
⋯
{\displaystyle I_{1}\supset I_{2}\supset I_{3}\supset \cdots }
|
I
n
|
→
0
(
n
→
∞
)
{\displaystyle |I_{n}|\to 0\qquad (n\to \infty )}
를 만족한다고 하자. 축소 구간 정리 에 따르면,
⋂
n
∈
N
I
n
=
{
c
}
{\displaystyle \textstyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}=\{c\}}
이게 되는
c
∈
R
{\displaystyle c\in \mathbb {R} }
⋂
n
∈
N
I
n
=
[
a
,
b
]
(
a
≤
b
)
{\displaystyle \textstyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}=[a,b]\qquad (a\leq b)}
이게 되는
a
,
b
∈
R
{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }
정리의 앞부분은 뒷부분에 포함되는 더 약한 명제이다.
실수 부분 집합
S
⊂
R
{\displaystyle S\subset \mathbb {R} }
⋃
i
∈
I
C
i
⊃
S
{\displaystyle \textstyle \bigcup _{i\in I}C_{i}\supset S}
{
C
i
}
i
∈
I
⊂
P
(
R
)
{\displaystyle \{C_{i}\}_{i\in I}\subset {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}
S
{\displaystyle S}
덮개 라고 한다.
하이네-보렐 정리 에 따르면, 실수 유계 닫힌구간 의 열린 구간 덮개는 항상 유한 부분 덮개를 갖는다. 풀어 말해, 실수 유계 닫힌구간을 어떤 열린 구간들로 '덮을' 수 있다면, 그들 중 유한 개의 열린 구간만을 골라서도 '덮을' 수 있다. 즉, 실수 유계 닫힌집합 은 항상 콤팩트 집합 이다.
실수 부분 집합
S
⊂
R
{\displaystyle S\subset \mathbb {R} }
극한점 은 서로 동치 인 다음 두 조건을 만족시키는 실수
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
임의의
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
S
∩
(
x
−
ϵ
,
x
+
ϵ
)
∖
{
x
}
≠
∅
{\displaystyle S\cap (x-\epsilon ,x+\epsilon )\setminus \{x\}\neq \varnothing }
임의의
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
S
∩
(
x
−
ϵ
,
x
+
ϵ
)
∖
{
x
}
{\displaystyle S\cap (x-\epsilon ,x+\epsilon )\setminus \{x\}}
극한점 성질에 따르면, 실수 유계 무한 집합 은 극한점 을 갖는다. 즉, 실수 유계 닫힌집합은 극한점 콤팩트 공간 이다.
볼차노-바이어슈트라스 정리 에 따르면, 유계 수열 은 수렴 부분 수열 을 갖는다. 즉, 실수 유계 닫힌집합은 점렬 콤팩트 공간 이다.
실수 코시 수열 은 임의의
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
N
∈
N
{\displaystyle N\in \mathbb {N} }
(
a
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
임의의
n
,
m
∈
N
{\displaystyle n,m\in \mathbb {N} }
n
,
m
>
N
{\displaystyle n,m>N}
|
a
n
−
a
m
|
<
ϵ
{\displaystyle |a_{n}-a_{m}|<\epsilon }
코시 성질에 따르면, 실수 코시 수열은 수렴 수열이다. 즉, 실수 집합은 완비 거리 공간 이다.
순서체 공리 아래, 다음 공리들이 서로 동치 이다. (즉, 이들 가운데 어느 하나라도 순서체 공리에 추가하면 실수의 한 가지 공리적 정의가 된다.)
상한 공리
단조 수렴 정리
축소 구간 정리
하이네-보렐 정리
극한점 성질
볼차노-바이어슈트라스 정리
코시 성질 + 아르키메데스 성질
약한 축소 구간 정리 + 아르키메데스 성질 또한, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
상한 공리 ⇍ 코시 성질 ⇒ 약한 축소 구간 정리 즉, 코시 성질과 약한 축소 구간 정리는 나머지 공리들보다 약한 공리이며, 아르키메데스 성질 을 추가하면 나머지 공리들과 동치이다.
증명 (단조 수렴 정리 ⇒ 축소 구간 정리):
단조 수렴 정리 가정 아래, 구간의 열
(
I
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (I_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
(
a
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
(
b
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
a
1
≤
a
2
≤
⋯
≤
b
2
≤
b
1
{\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq b_{2}\leq b_{1}}
이므로 둘 다 단조 유계 수열이다. 따라서 각자 어떤
a
,
b
∈
R
{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }
a
1
≤
a
2
≤
⋯
≤
a
≤
b
≤
⋯
≤
b
2
≤
b
1
{\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq a\leq b\leq \cdots \leq b_{2}\leq b_{1}}
이며, 따라서
[
a
,
b
]
⊂
⋂
n
∈
N
I
n
{\displaystyle \textstyle [a,b]\subset \bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}}
이제
c
∈
R
∖
[
a
,
b
]
{\displaystyle c\in \mathbb {R} \setminus [a,b]}
c
<
a
{\displaystyle c<a}
c
<
a
n
{\displaystyle c<a_{n}}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
c
∉
⋂
n
∈
N
I
n
{\displaystyle \textstyle c\notin \bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}}
증명 (축소 구간 정리 ⇒ 아르키메데스 성질):
(아르키메데스 성질은 바로 아래 증명에서 사용된다.) 축소 구간 정리 가정 아래, 임의의
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
n
x
≤
y
{\displaystyle nx\leq y}
x
,
y
>
0
{\displaystyle x,y>0}
(
I
n
=
[
n
x
,
2
y
−
n
x
]
)
n
∈
N
{\displaystyle (I_{n}=[nx,2y-nx])_{n\in \mathbb {N} }}
은 축소 구간 정리의 첫번째 전제를 만족한다. 따라서,
⋂
n
∈
N
I
n
=
[
a
,
b
]
(
a
≤
b
)
{\displaystyle \textstyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}=[a,b]\qquad (a\leq b)}
이게 되는
a
,
b
∈
R
{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
n
x
≤
a
{\displaystyle nx\leq a}
a
−
x
∉
[
a
,
b
]
{\displaystyle a-x\notin [a,b]}
a
−
x
∉
[
n
x
,
2
y
−
n
x
]
{\displaystyle a-x\notin [nx,2y-nx]}
a
−
x
<
n
x
{\displaystyle a-x<nx}
a
<
(
n
+
1
)
x
{\displaystyle a<(n+1)x}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
증명 (축소 구간 정리 ⇒ 하이네-보렐 정리):
축소 구간 정리 가정 아래, 유계 닫힌구간
J
0
=
[
a
,
b
]
{\displaystyle J_{0}=[a,b]}
{
C
i
}
i
∈
I
{\displaystyle \{C_{i}\}_{i\in I}}
[
a
,
a
+
b
2
]
{\displaystyle \textstyle \left[a,{\frac {a+b}{2}}\right]}
[
a
+
b
2
,
b
]
{\displaystyle \textstyle \left[{\frac {a+b}{2}},b\right]}
J
1
{\displaystyle J_{1}}
J
1
{\displaystyle J_{1}}
J
2
{\displaystyle J_{2}}
(
J
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (J_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
|
J
n
|
=
|
J
0
|
2
n
→
0
(
n
→
∞
)
{\displaystyle |J_{n}|={\frac {|J_{0}|}{2^{n}}}\to 0\qquad (n\to \infty )}
이므로, 축소 구간 정리의 전제를 만족한다. 또한, 그 속의 모든 구간은 유한 부분 덮개를 갖지 않는다. 따라서,
⋂
n
∈
N
J
n
=
{
c
}
{\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }J_{n}=\{c\}}
이게 되는
c
∈
R
{\displaystyle c\in \mathbb {R} }
c
∈
⋂
n
∈
N
J
n
⊂
[
a
,
b
]
⊂
⋃
i
∈
I
C
i
{\displaystyle c\in \bigcap _{n\in \mathbb {N} }J_{n}\subset [a,b]\subset \bigcup _{i\in I}C_{i}}
이다. 따라서,
c
∈
C
i
{\displaystyle c\in C_{i}}
i
∈
I
{\displaystyle i\in I}
C
i
{\displaystyle C_{i}}
c
{\displaystyle c}
C
i
{\displaystyle C_{i}}
c
{\displaystyle c}
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
|
J
n
|
→
0
{\displaystyle |J_{n}|\to 0}
J
n
⊂
(
c
−
ϵ
,
c
+
ϵ
)
⊂
C
i
{\displaystyle J_{n}\subset (c-\epsilon ,c+\epsilon )\subset C_{i}}
이게 되는
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
{
C
i
}
{\displaystyle \{C_{i}\}}
J
n
{\displaystyle J_{n}}
J
n
{\displaystyle J_{n}}
하이네-보렐 정리 가정 아래, 어떤 유계 무한 집합
S
⊂
[
a
,
b
]
{\displaystyle S\subset [a,b]}
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
|
S
∩
I
x
|
≤
1
{\displaystyle |S\cap I_{x}|\leq 1}
이게 되는
I
x
=
(
x
−
ϵ
x
,
x
+
ϵ
x
)
(
ϵ
x
>
0
)
{\displaystyle I_{x}=(x-\epsilon _{x},x+\epsilon _{x})\qquad (\epsilon _{x}>0)}
이 존재한다. 그렇다면,
{
I
x
:
x
∈
[
a
,
b
]
}
{\displaystyle \{I_{x}\colon x\in [a,b]\}}
는
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
{
I
x
1
,
I
x
2
,
…
,
I
x
n
}
{\displaystyle \{I_{x_{1}},I_{x_{2}},\ldots ,I_{x_{n}}\}}
을 갖는다. 이에 따라,
|
S
|
≤
|
(
S
∩
I
1
)
∪
(
S
∩
I
2
)
∪
⋯
(
S
∩
I
n
)
|
≤
n
{\displaystyle |S|\leq \left|(S\cap I_{1})\cup (S\cap I_{2})\cup \cdots (S\cap I_{n})\right|\leq n}
이며, 이는
S
{\displaystyle S}
증명 (극한점 성질 ⇒ 볼차노-바이어슈트라스 정리):
첫번째 명제 아래,
(
x
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
만약
(
x
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
만약 서로 같은 무한 개의 항이 존재하지 않는다면,
(
x
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
x
{\displaystyle x}
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
(
x
n
)
n
∈
N
∩
(
x
−
ϵ
,
x
+
ϵ
)
{\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\cap (x-\epsilon ,x+\epsilon )}
은 무한 집합이다. 따라서,
n
0
=
0
{\displaystyle n_{0}=0}
n
k
=
min
{
n
∈
N
:
n
>
n
k
−
1
∧
x
n
∈
(
x
−
1
k
,
x
+
1
k
)
}
{\displaystyle n_{k}=\min \left\{n\in \mathbb {N} \colon n>n_{k-1}\land x_{n}\in \left(x-{\frac {1}{k}},x+{\frac {1}{k}}\right)\right\}}
로 정의된
(
x
n
k
)
k
∈
N
{\displaystyle (x_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }}
(
x
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
증명 (볼차노-바이어슈트라스 정리 ⇒ 코시 성질):
볼차노-바이어슈트라스 정리 가정 아래,
(
a
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
a
n
k
→
a
{\displaystyle a_{n_{k}}\to a}
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
k
>
K
{\displaystyle k>K}
|
a
n
k
−
a
|
<
ϵ
2
{\displaystyle \textstyle |a_{n_{k}}-a|<{\frac {\epsilon }{2}}}
K
∈
N
{\displaystyle K\in \mathbb {N} }
n
,
m
>
N
{\displaystyle n,m>N}
|
a
n
−
a
m
|
<
ϵ
2
{\displaystyle \textstyle |a_{n}-a_{m}|<{\frac {\epsilon }{2}}}
N
>
K
{\displaystyle N>K}
n
>
N
{\displaystyle n>N}
|
a
n
−
a
|
≤
|
a
n
−
a
n
K
+
1
|
+
|
a
n
K
+
1
−
a
|
<
ϵ
{\displaystyle |a_{n}-a|\leq |a_{n}-a_{n_{K+1}}|+|a_{n_{K+1}}-a|<\epsilon }
이게 된다. 즉,
a
n
→
a
{\displaystyle a_{n}\to a}
증명 (볼차노-바이어슈트라스 정리 ⇒ 아르키메데스 성질):
볼차노-바이어슈트라스 정리 가정 아래, 임의의
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
n
x
≤
y
{\displaystyle nx\leq y}
x
,
y
>
0
{\displaystyle x,y>0}
(
n
x
)
n
∈
N
{\displaystyle (nx)_{n\in \mathbb {N} }}
n
k
x
→
y
0
{\displaystyle n_{k}x\to y_{0}}
k
∈
N
{\displaystyle k\in \mathbb {N} }
n
k
x
≤
y
0
{\displaystyle n_{k}x\leq y_{0}}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
n
x
≤
y
0
{\displaystyle nx\leq y_{0}}
y
0
−
x
<
n
k
x
{\displaystyle y_{0}-x<n_{k}x}
y
0
<
(
n
k
+
1
)
x
{\displaystyle y_{0}<(n_{k}+1)x}
k
∈
N
{\displaystyle k\in \mathbb {N} }
증명 (코시 성질 ⇒ 약한 축소 구간 정리):
코시 성질 가정 아래, 닫힌구간의 열
(
I
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (I_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
max
{
|
a
n
−
a
m
|
,
|
b
n
−
b
m
|
}
≤
b
min
{
n
,
m
}
−
a
min
{
n
,
m
}
→
0
(
n
,
m
→
∞
)
{\displaystyle \max\{|a_{n}-a_{m}|,|b_{n}-b_{m}|\}\leq b_{\min\{n,m\}}-a_{\min\{n,m\}}\to 0\qquad (n,m\to \infty )}
이다. 즉,
(
a
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
(
b
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
c
{\displaystyle c}
a
1
≤
a
2
≤
⋯
≤
c
≤
⋯
≤
b
2
≤
b
1
{\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq c\leq \cdots \leq b_{2}\leq b_{1}}
이며, 따라서
c
∈
⋂
n
∈
N
I
n
{\displaystyle \textstyle c\in \bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}}
이제
c
′
∈
⋂
n
∈
N
I
n
{\displaystyle \textstyle c'\in \bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}}
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
|
I
n
|
<
ϵ
{\displaystyle |I_{n}|<\epsilon }
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
|
c
−
c
′
|
≤
|
I
n
|
<
ϵ
{\displaystyle |c-c'|\leq |I_{n}|<\epsilon }
이다. 따라서,
c
′
=
c
{\displaystyle c'=c}
증명 (약한 축소 구간 정리 + 아르키메데스 성질 ⇒ 상한 공리):
축소 구간 정리 및 아르키메데스 성질 가정 아래,
a
0
∈
S
⊂
R
{\displaystyle a_{0}\in S\subset \mathbb {R} }
b
0
{\displaystyle b_{0}}
(
I
n
=
[
a
n
,
b
n
]
)
n
∈
N
{\displaystyle (I_{n}=[a_{n},b_{n}])_{n\in \mathbb {N} }}
I
0
=
[
a
0
,
b
0
]
{\displaystyle I_{0}=[a_{0},b_{0}]}
I
n
+
1
=
{
[
a
n
,
a
n
+
b
n
2
]
∀
s
∈
S
:
s
≤
a
n
+
b
n
2
[
a
n
+
b
n
2
,
b
n
]
∀̸
s
∈
S
:
s
≤
a
n
+
b
n
2
{\displaystyle I_{n+1}={\begin{cases}\left[a_{n},{\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\right]&\forall s\in S\colon s\leq {\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\\\left[{\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},b_{n}\right]&\not \forall s\in S\colon s\leq {\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\end{cases}}}
와 같이 정의되었을 때, 아르키메데스 성질에 따라, 축소 구간 정리의 전제를 만족한다. 따라서,
∩
n
∈
N
I
n
=
{
c
}
{\displaystyle \textstyle \cap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}=\{c\}}
c
∈
R
{\displaystyle c\in \mathbb {R} }
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
a
n
{\displaystyle a_{n}}
S
{\displaystyle S}
b
n
{\displaystyle b_{n}}
S
{\displaystyle S}
임의의
s
∈
S
{\displaystyle s\in S}
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
s
≤
b
n
≤
c
+
ϵ
{\displaystyle s\leq b_{n}\leq c+\epsilon }
인
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
c
−
ϵ
<
a
n
≤
c
{\displaystyle c-\epsilon <a_{n}\leq c}
인
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
c
{\displaystyle c}
S
{\displaystyle S}
유리수 순서체
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
2
∈
Q
{\displaystyle 2\in \mathbb {Q} }
{
x
∈
Q
:
x
2
<
2
}
{\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} \colon x^{2}<2\}}
는 실수 부분 집합으로서는 상한
2
∈
R
{\displaystyle {\sqrt {2}}\in \mathbb {R} }
(
3
,
3.14
,
3.141
,
3.1415
,
…
)
{\displaystyle (3,3.14,3.141,3.1415,\ldots )}
는 실수 수열로서는 원주율
π
∈
R
{\displaystyle \pi \in \mathbb {R} }
편집
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
R
(
(
t
)
)
{\displaystyle \mathbb {R} ((t))}
∑
n
=
k
∞
a
n
t
n
>
0
⇔
a
k
>
0
(
a
k
≠
0
)
{\displaystyle \sum _{n=k}^{\infty }a_{n}t^{n}>0\Leftrightarrow a_{k}>0\qquad (a_{k}\neq 0)}
이 경우 모든 코시 수열이 수렴한다. 왜냐 하면,
{
x
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}
r
∈
Z
{\displaystyle r\in \mathbb {Z} }
n
,
m
≥
N
⇒
|
x
n
−
x
m
|
<
t
r
{\displaystyle n,m\geq N\Rightarrow |x_{n}-x_{m}|<t^{r}}
N
∈
N
{\displaystyle N\in \mathbb {N} }
그러나
1
−
n
t
>
0
∀
n
∈
N
{\displaystyle 1-nt>0\quad \forall n\in \mathbb {N} }
R
(
(
t
)
)
{\displaystyle \mathbb {R} ((t))}
이 부분의 본문은 단조 수렴 정리입니다.
![{\displaystyle (I_{n}=[a_{n},b_{n}])_{n\in \mathbb {N} }\qquad (a_{n}\leq b_{n}\forall n\in \mathbb {N} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dda5c2c17c0f1278341fc543b3eaed8947d4e3d)
![{\displaystyle \textstyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}=[a,b]\qquad (a\leq b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a96bc19f51649f4cfc09b7e9aa02a67cf79e8ca)
![{\displaystyle \textstyle [a,b]\subset \bigcap _{n\in \mathbb {N} }I_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d3a8e6b118af0a9870b2abda91c2ffaa4c6f2dc)
![{\displaystyle c\in \mathbb {R} \setminus [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0e272c6b6031ca02d9b45cdcd8145f3959509b8)
![{\displaystyle (I_{n}=[nx,2y-nx])_{n\in \mathbb {N} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59f1f443dc6e042da05aadfcd263fc8f64570828)
![{\displaystyle a-x\notin [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3da6a75e5d0cc559b809cdae0e8b29cca37084b9)
![{\displaystyle a-x\notin [nx,2y-nx]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b252c3d8d67dd66794fcea51c3e545f7356ab34b)
![{\displaystyle J_{0}=[a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/effece41e6edef7704a23a1ff728a72ec510b0aa)
![{\displaystyle \textstyle \left[a,{\frac {a+b}{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa773f5d1354cf1251e949fa0e5958e920a8016e)
![{\displaystyle \textstyle \left[{\frac {a+b}{2}},b\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02ad58e7cf2f68a9bff53cbd8735e5787dd09c82)
![{\displaystyle c\in \bigcap _{n\in \mathbb {N} }J_{n}\subset [a,b]\subset \bigcup _{i\in I}C_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f511707895210f7f63267b7233f31d9694ca4e4a)
![{\displaystyle S\subset [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbe06fbdade81631d1cc5286c4cf8455947748b1)
![{\displaystyle \{I_{x}\colon x\in [a,b]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93500791f8115beb14cbe4cadecd8e5411752170)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle (I_{n}=[a_{n},b_{n}])_{n\in \mathbb {N} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/326c315f988d7f39f9b5584cf2ef6543add109d8)
![{\displaystyle I_{0}=[a_{0},b_{0}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9753d94abddb7cea828829522c6492994e5b0f63)
![{\displaystyle I_{n+1}={\begin{cases}\left[a_{n},{\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\right]&\forall s\in S\colon s\leq {\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\\\left[{\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},b_{n}\right]&\not \forall s\in S\colon s\leq {\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa15b3e9e7129826f9d244e43e66ebc4f2e6bf24)
