카르탕 정리

복소기하학과 대수기하학에서 카르탕 정리(Cartan定理, 영어: Cartan’s theorems)는 슈타인 다양체 및 아핀 스킴 위의 연접층의 성질에 대한 두 개의 핵심적인 정리이다.

정의

슈타인 다양체 $X$ 위의 연접층 ${\mathcal {F}}$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

(카르탕 A정리 영어: Cartan’s theorem A) ${\mathcal {F}}$ 는 ${\mathcal {O}}_{X}$ -가군층으로서, ${\mathcal {F}}$ 의 대역적 단면들로부터 생성된다.
(카르탕 B정리 영어: Cartan’s theorem B) 임의의 $p>0$ 에 대하여, 층 코호몰로지 $H^{p}(X;{\mathcal {F}})$ 는 자명군이다.

아핀 스킴에 대해서도 유사한 정리가 성립한다. 임의의 아핀 스킴 $X$ 및 그 위의 준연접층 ${\mathcal {F}}$ 에 대하여,

(아핀 스킴에 대한 카르탕 A정리) ${\mathcal {F}}$ 는 ${\mathcal {O}}_{X}$ -가군층으로서, ${\mathcal {F}}$ 의 대역적 단면들로부터 생성된다.
(아핀 스킴에 대한 카르탕 B정리) 임의의 $p>0$ 에 대하여, 층 코호몰로지 $H^{p}(X;{\mathcal {F}})$ 는 자명군이다.^[1]^{:Theorem III.3.7}

앙리 카르탕이 1953년에 증명하였다.^[2] 아핀 스킴에 대한 카르탕 정리는 장피에르 세르가 1955년에 증명하였다.^[3]

↑ Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic Geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.
↑ Cartan, H. (1953). 〈Variétés analytiques complexes et cohomologie〉. 《Colloque sur les fonctions de plusieurs variables, tenu à Bruxelles, 1953》 (프랑스어). 리에주: Georges Thone. 41–55쪽. MR 0064154. Zbl 0053.05301.
↑ Serre, Jean-Pierre (1955). “Faisceaux algébriques cohérents” (PDF). 《Annals of Mathematics》 (프랑스어) 61 (2): 197–278. doi:10.2307/1969915. ISSN 0003-486X. JSTOR 1969915. MR 0068874. 2016년 4월 18일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 1월 15일에 확인함.

“Cartan theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Cartan theorem B”. 《nLab》 (영어).