카르탕 행렬
수학에서, 카르탕 행렬(Cartan行列, 영어: Cartan matrix)은 특정 조건을 만족시키는 정수 정사각 행렬이다.
정의
편집정수 성분 정사각 행렬
가 다음 조건을 만족시킨다면, 카르탕 행렬이라고 한다.
- 모든 에 대하여,
- 모든 에 대하여, 만약 라면
- 모든 에 대하여, 만약 이라면
딘킨 도표
편집카르탕 행렬 가 주어졌을 때, 이에 대응하는 딘킨 도표(영어: Dynkin diagram)는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
이 데이터로부터 카르탕 행렬을 재구성할 수 있다.
분류
편집정사각 행렬 에 대하여, 만약
인 가 존재하지 않는다면, 을 분해 불가능 행렬(영어: indecomposable matrix)이라고 하자. 모든 행렬은 분해 불가능 행렬들의 직합으로 표현된다.
분해 불가능 카르탕 행렬 가운데, 다음과 같이 대각 행렬과 대칭 행렬의 곱으로 표현될 수 있는 것을 대칭화 가능 카르탕 행렬(영어: symmetric Cartan matrix)이라고 한다.
- ,
이 경우, 항상 의 대각선 성분을 양의 정수로, 의 성분을 유리수로 잡을 수 있다.
증명:
대칭화 가능 카르탕 행렬은 개의 실수 고윳값을 가진다. 대칭화 가능 카르탕 행렬 들은 그 고윳값에 따라 다음과 같이 분류된다.
예
편집1×1 카르탕 행렬은
밖에 없다.
2×2 카르탕 행렬들은 다음과 같다.
2×2의 경우, 만약 이라면 항상
으로 놓을 수 있어, 항상 대칭 카르탕 행렬이다. 의 고윳값은
이다.
이 경우,
역사
편집같이 보기
편집외부 링크
편집- “Cartan matrix”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Rowland, Todd. “Cartan matrix”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.