유한군
G
{\displaystyle G}
의 원소
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
의 켤레류의 집합의 크기 는 궤도-안정자군 정리 에 따라 다음과 같다.
|
Cl
(
g
)
|
=
|
G
|
|
C
G
(
g
)
|
{\displaystyle |{\operatorname {Cl} }(g)|={\frac {|G|}{|{\operatorname {C} }_{G}(g)|}}}
여기서
C
G
(
−
)
{\displaystyle \operatorname {C} _{G}(-)}
는 중심화 부분군 이다.
유한군
G
{\displaystyle G}
의 켤레류의 수는 번사이드 보조정리 에 따라 다음과 같다.
|
Cl
(
G
)
|
=
1
|
G
|
∑
g
∈
G
|
C
G
(
g
)
|
{\displaystyle |{\operatorname {Cl} }(G)|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|{\operatorname {C} }_{G}(g)|}
여기서
C
G
(
−
)
{\displaystyle \operatorname {C} _{G}(-)}
는 중심화 부분군 이다.
유한군
G
{\displaystyle G}
의 켤레류들은
G
{\displaystyle G}
의 분할 을 이룬다. 따라서, 다음과 같은 공식이 성립하며, 이를 켤레류 방정식 (-類方程式, 영어 : class equation )이라고 한다.
|
G
|
=
∑
Cl
(
g
)
∈
Cl
(
G
)
|
Cl
(
g
)
|
=
|
G
|
∑
Cl
(
g
)
∈
Cl
(
G
)
1
|
C
G
(
g
)
|
=
|
Z
(
G
)
|
+
|
G
|
∑
Cl
(
g
)
∈
Cl
(
G
)
∖
{
{
c
}
:
c
∈
Z
(
G
)
}
1
|
C
G
(
g
)
|
{\displaystyle |G|=\sum _{\operatorname {Cl} (g)\in \operatorname {Cl} (G)}|{\operatorname {Cl} }(g)|=|G|\sum _{\operatorname {Cl} (g)\in \operatorname {Cl} (G)}{\frac {1}{|{\operatorname {C} }_{G}(g)|}}=|{\operatorname {Z} }(G)|+|G|\sum _{\operatorname {Cl} (g)\in \operatorname {Cl} (G)\setminus \{\{c\}\colon c\in \operatorname {Z} (G)\}}{\frac {1}{|{\operatorname {C} }_{G}(g)|}}}
여기서
C
G
(
−
)
{\displaystyle \operatorname {C} _{G}(-)}
는 중심화 부분군 이며,
Z
(
−
)
{\displaystyle \operatorname {Z} (-)}
는 군의 중심 이다.
특히,
1
=
∑
Cl
(
g
)
∈
Cl
(
G
)
1
|
C
G
(
g
)
|
{\displaystyle 1=\sum _{\operatorname {Cl} (g)\in \operatorname {Cl} (G)}{\frac {1}{|{\operatorname {C} }_{G}(g)|}}}
이므로, 이는 1의 이집트 분수 분해를 이룬다. 1을 주어진 개수의 이집트 분수들로 분해하는 방법은 유한하므로, 따라서 주어진 수의 켤레류를 갖는 유한군의 수는 유한하다. 예를 들어, 아벨 군 의 경우 이러한 이집트 분수 분해는
1
=
1
|
G
|
+
1
|
G
|
+
⋯
+
1
|
G
|
⏟
|
G
|
{\displaystyle 1=\underbrace {{\frac {1}{|G|}}+{\frac {1}{|G|}}+\dotsb +{\frac {1}{|G|}}} _{|G|}}
이다.
G
{\displaystyle G}
가 콤팩트 리 군 이라고 하자. 이 경우,
G
{\displaystyle G}
는 항상 극대 원환면
T
≤
G
{\displaystyle T\leq G}
을 가지며, 모든 원소
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
는
T
{\displaystyle T}
의 어떤 원소와 켤레 동치이다. 또한, 임의의
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
의 켤레류와
T
{\displaystyle T}
의 교집합 은
T
{\displaystyle T}
의 어떤 원소
t
∈
T
{\displaystyle t\in T}
의 바일 군 궤도 와 같다.
∀
g
∈
G
∃
t
∈
T
:
Cl
(
g
)
∩
T
=
Weyl
(
T
,
G
)
⋅
t
{\displaystyle \forall g\in G\exists t\in T\colon \operatorname {Cl} (g)\cap T=\operatorname {Weyl} (T,G)\cdot t}
다시 말해,
G
{\displaystyle G}
의 켤레류들의 공간은 몫공간 인 오비폴드
Cl
(
G
)
≅
T
/
Weyl
(
T
,
G
)
{\displaystyle \operatorname {Cl} (G)\cong T/\operatorname {Weyl} (T,G)}
와 표준적인 일대일 대응 을 갖는다.
특히, 항등원 근처의 ‘무한소 원소’(즉, 그 리 대수 의 원소)의 ‘켤레류’는 카르탕 부분 대수 의 바일 군 궤도, 즉 바일 방 의 원소가 된다.
아벨 군
G
{\displaystyle G}
의 경우, 켤레류는 (자명하게) 한원소 집합 이며, 따라서
Cl
(
G
)
≅
G
{\displaystyle \operatorname {Cl} (G)\cong G}
이다.
n
{\displaystyle n}
차 대칭군
Sym
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {Sym} (n)}
을 생각하자. 그 원소가 다음과 같은 꼴의 순환 분해를 갖는다고 하자.
(
a
1
,
1
⋯
a
1
,
n
1
)
(
a
2
,
1
⋯
a
2
,
n
2
)
⋯
(
a
k
,
1
⋯
a
k
,
n
k
)
{\displaystyle (a_{1,1}\dotsm a_{1,n_{1}})(a_{2,1}\dotsm a_{2,n_{2}})\dotsb (a_{k,1}\dotsm a_{k,n_{k}})}
즉,
k
{\displaystyle k}
개의 순환이 존재한다.
각 순환의 길이는
n
1
,
n
2
,
…
,
n
k
{\displaystyle n_{1},n_{2},\dotsc ,n_{k}}
이다. 편의상
1
≤
n
1
≤
n
2
≤
…
≤
n
k
{\displaystyle 1\leq n_{1}\leq n_{2}\leq \dotsc \leq n_{k}}
이며
∑
i
=
1
k
n
i
=
n
{\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{k}n_{i}=n}
이라고 하자. 즉,
(
n
1
,
n
2
,
…
,
n
k
)
{\displaystyle (n_{1},n_{2},\dotsc ,n_{k})}
는
n
{\displaystyle n}
의 자연수 분할 을 이룬다.
그렇다면, 대칭군의 두 원소
g
{\displaystyle g}
,
h
{\displaystyle h}
에 대하여, 만약
k
(
g
)
=
k
(
h
)
{\displaystyle k(g)=k(h)}
n
i
(
g
)
=
n
i
(
h
)
∀
i
∈
{
1
,
…
,
k
(
g
)
}
{\displaystyle n_{i}(g)=n_{i}(h)\qquad \forall i\in \{1,\dotsc ,k(g)\}}
일 경우, 두 원소가 같은 순환형 (영어 : cycle type )이라고 하자.
그렇다면, 대칭군에서, 두 원소가 켤레 동치일 필요 충분 조건 은 같은 순환형을 갖는 것이다. 즉, 그 켤레류의 집합은 다음과 같다.
Cl
(
Sym
(
n
)
)
≅
Part
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {Cl} (\operatorname {Sym} (n))\cong \operatorname {Part} (n)}
여기서 우변은
n
{\displaystyle n}
의 자연수 분할 들의 집합이다.
자연수 분할
(
n
1
,
n
2
,
…
,
n
k
)
{\displaystyle (n_{1},n_{2},\dotsc ,n_{k})}
이 주어졌을 때,
a
(
p
)
=
|
{
i
∈
{
1
,
…
,
k
}
:
p
=
n
i
}
|
∈
N
{\displaystyle a(p)=|\{i\in \{1,\dotsc ,k\}\colon p=n_{i}\}|\in \mathbb {N} }
를 정의하자. 그렇다면, 이 자연수 분할 에 대응하는 켤레류의 크기는
n
!
∏
p
=
1
n
a
(
p
)
!
p
a
(
p
)
{\displaystyle {\frac {n!}{\prod _{p=1}^{n}a(p)!p^{a(p)}}}}
이다. 다시 말해, 이 자연수 분할에 대응하는 중심화 부분군 의 크기는
∏
p
=
1
n
a
(
p
)
!
p
a
(
p
)
{\displaystyle \prod _{p=1}^{n}a(p)!p^{a(p)}}
이다.
리 군
SU
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {SU} (2)}
를 생각하자. 기하학적으로, 이는 3차원 초구
S
3
{\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}
와 미분 동형 이다. 이 경우, 극대 원환면 은 (1차원) 원군
T
=
U
(
1
)
{\displaystyle T=\operatorname {U} (1)}
이며, 이는 2×2 대각 행렬의 부분군
T
=
{
(
exp
(
i
θ
)
0
0
exp
(
−
i
θ
)
)
:
θ
∈
R
}
≤
{
M
∈
GL
(
2
;
C
)
:
det
M
=
1
,
M
†
M
=
1
2
×
2
}
=
SU
(
2
)
{\displaystyle T=\left\{{\begin{pmatrix}\exp(\mathrm {i} \theta )&0\\0&\exp(-\mathrm {i} \theta )\end{pmatrix}}\colon \theta \in \mathbb {R} \right\}\leq \left\{M\in \operatorname {GL} (2;\mathbb {C} )\colon \det M=1,\;M^{\dagger }M=1_{2\times 2}\right\}=\operatorname {SU} (2)}
으로 여길 수 있다. 이 경우, 바일 군 은 2차 대칭군 이며, 그 두 원소 가운데 항등원이 아닌 것은 원군 위에 다음과 같이 작용한다.
θ
↦
−
θ
{\displaystyle \theta \mapsto -\theta }
즉, SU(2)의 켤레류들의 공간은 반원
θ
∈
[
0
,
π
]
{\displaystyle \theta \in [0,\pi ]}
에 해당한다. 구체적으로, 행렬군 위에서 대각합 과 행렬식 은 유함수 이다. SU(2)의 경우 행렬식은 물론 상수 함수 1이지만, 그 대각합 은 자명하지 않으며, 사실 켤레류는 대각합으로 완전히 결정된다. 즉,
tr
(
exp
(
i
θ
)
0
0
exp
(
−
i
θ
)
)
=
2
cos
θ
{\displaystyle \operatorname {tr} {\begin{pmatrix}\exp(\mathrm {i} \theta )&0\\0&\exp(-\mathrm {i} \theta )\end{pmatrix}}=2\cos \theta }
이므로, 대각합의 값은
[
−
2
,
+
2
]
{\displaystyle [-2,+2]}
의 원소이다. 이는 3차원 초구의 ‘위도 ’로 해석할 수 있다. 켤레류는 같은 ‘위도’에 있지만, 다른 ‘경도 ’를 가지는 점들의 집합이며, 이는 (위도가 ‘북극’ 또는 ‘남극’이 아니라면) 2차원 구를 이룬다. ‘북극’과 ‘남극’은 각각 대각합이
±
2
{\displaystyle \pm 2}
가 되는 경우, 즉
θ
∈
{
0
,
π
}
{\displaystyle \theta \in \{0,\pi \}}
인 경우이며, 이 경우 켤레류는 한원소 집합
{
±
1
2
×
2
}
{\displaystyle \{\pm 1_{2\times 2}\}}
이다.
켤레류 방정식을 통하여, 작은 수의 켤레류를 갖는 유한군들의 목록을 계산할 수 있다. 켤레류의 수가 5개 이하인 유한군들의 목록은 다음과 같다.[ 3] :Table 1
켤레류의 수
군
이집트 분수 분해
1
자명군
1
{\displaystyle 1}
1
1
{\displaystyle {\tfrac {1}{1}}}
2
2차 대칭군
Sym
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {Sym} (2)}
1
2
+
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}}
3
3차 교대군
1
3
+
1
3
+
1
3
{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{3}}}
3차 대칭군
Sym
(
3
)
{\displaystyle \operatorname {Sym} (3)}
1
6
+
1
3
+
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{2}}}
4
4차 교대군
Alt
(
4
)
{\displaystyle \operatorname {Alt} (4)}
1
12
+
1
4
+
1
3
+
1
3
{\displaystyle {\tfrac {1}{12}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{3}}}
5차 정이면체군
Dih
(
5
)
{\displaystyle \operatorname {Dih} (5)}
1
10
+
1
5
+
1
5
+
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{10}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{2}}}
4차 순환군
Cyc
(
4
)
{\displaystyle \operatorname {Cyc} (4)}
1
4
+
1
4
+
1
4
+
1
4
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{4}}}
클라인 4원군
Cyc
(
2
)
2
{\displaystyle \operatorname {Cyc} (2)^{2}}
5
5차 순환군
Cyc
(
5
)
{\displaystyle \operatorname {Cyc} (5)}
1
5
+
1
5
+
1
5
+
1
5
+
1
5
{\displaystyle {\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{5}}}
4차 정이면체군
Dih
(
4
)
{\displaystyle \operatorname {Dih} (4)}
1
8
+
1
8
+
1
4
+
1
4
+
1
4
{\displaystyle {\tfrac {1}{8}}+{\tfrac {1}{8}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{4}}}
사원수군
Q
8
{\displaystyle Q_{8}}
5차 교대군
Alt
(
5
)
{\displaystyle \operatorname {Alt} (5)}
1
60
+
1
5
+
1
5
+
1
4
+
1
3
{\displaystyle {\tfrac {1}{60}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{3}}}
4차 대칭군
Sym
(
4
)
{\displaystyle \operatorname {Sym} (4)}
1
24
+
1
8
+
1
4
+
1
4
+
1
3
{\displaystyle {\tfrac {1}{24}}+{\tfrac {1}{8}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{3}}}
7차 정이면체군
Dih
(
7
)
{\displaystyle \operatorname {Dih} (7)}
1
14
+
1
7
+
1
7
+
1
7
+
1
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{14}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{2}}}
프로베니우스 군
Cyc
(
5
)
⋊
Cyc
(
4
)
{\displaystyle \operatorname {Cyc} (5)\rtimes \operatorname {Cyc} (4)}
1
20
+
1
5
+
1
4
+
1
4
+
1
4
{\displaystyle {\tfrac {1}{20}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{4}}}
프로베니우스 군
Cyc
(
7
)
⋊
Cyc
(
3
)
{\displaystyle \operatorname {Cyc} (7)\rtimes \operatorname {Cyc} (3)}
1
21
+
1
7
+
1
7
+
1
3
+
1
3
{\displaystyle {\tfrac {1}{21}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{3}}}
정확히
n
{\displaystyle n}
개의 켤레류를 갖는 유한군의 수는 다음과 같다. (OEIS 의 수열 A73043 )
1, 1, 2, 4, 8, 8, 12, 21, 26, 38, 35, 32, …