파울리-루반스키 벡터

파울리-루반스키 벡터(프랑스어: vecteur de Pauli-Lubański)는 운동량 4차원 벡터와 각운동량 4차원 텐서의 "4차원 벡터곱"인 유사벡터다. 대개 $W^{\mu }$로 나타낸다. 그 제곱 $W^{2}$은 각운동량의 노름으로서, 질량 $P^{2}$과 함께 푸앵카레 군의 두 카시미르 불변량을 이룬다. 폴란드의 유제프 루반스키 (폴란드어: Józef Kazimierz Lubański)가 1942년에 도입하였다.

정의

다음과 같이 정의한다. (여기서 $\epsilon$은 레비치비타 유사텐서고, $J^{\mu \nu }$는 각운동량, $P$는 운동량이다.)

$W_{\mu }={\frac {1}{2}}\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }J^{\nu \rho }P^{\sigma }$

파울리-루반스키 벡터는 운동량과 가환하지만, 각운동량과는 그렇지 않다. 교환관계는 다음과 같다.

$[P^{\mu },W^{\nu }]=0$

$[J^{\mu \nu },W^{\rho }]=i(g^{\rho \nu }W^{\mu }-g^{\rho \mu }W^{\nu })$

또한 항상 운동량과 4차원 직교한다.

$P\cdot W=0$

그 제곱 $W^{2}$은 카시미르 불변량을 이룬다. 즉 다른 모든 연산자와 가환한다.

$[P,W^{2}]=0$

$[J,W^{2}]=0$

그 값은 각운동량의 제곱이다. 즉 각운동량 ${\vec {J}}$을 생각하면

$W^{2}=-m^{2}({\vec {J}}\cdot {\vec {J}})$

여기서 $m$은 질량이다.

양자화

유질량장의 경우 $W^{2}$는 입자의 총 스핀을 나타낸다. 그 고윳값은 다음과 같다.

$W^{2}=W_{\mu }W^{\mu }=m^{2}s(s+1)$

여기서 $s$는 스핀이다.

무질량장의 경우 $W^{2}=0$이고, $W^{0}=-{\vec {J}}\cdot {\vec {P}}$는 나선도를 나타낸다.

같이 보기

• 위그너 분류
• 각운동량 연산자
• 유사벡터
• 유도 표현

참고 문헌

• Lubański, J. K. 《Physica》 9: 310. doi:10.1016/S0031-8914(42)90113-7. 
• Lubański, J. K. 《Physica》 9: 325. doi:10.1016/S0031-8914(42)90114-9.